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Orbiformes et sphéroïdes : Les objets à largeur constante
Delannoy François
Created on October 9, 2024
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Transcript
Un jeu pour débuter
A tour de role, un joueur coupe une partie de la pièce en carton puis la donne à l'adversaire. L'adversaire gagne s'il parvient à l'insérer dans la fente (sans forcer).
Orbiformes et stéroïdes
François Delannoy Académie d'Amiens @IremJeuxAmiens
Commençons
Orbiformes et sphéroïdes
François Delannoy Académie d'Amiens @IremJeuxAmiens
Commençons
Comment s'y prenaient-ils ?
Solution 1
solution 2
Comment s'y prenaient-ils ?
Comment s'y prenaient-ils ?
Y aurait-il d'autres solutions ?
Y aurait-il d'autres solutions ?
Y aurait-il d'autres solutions ?
On recherche une figure à largeur constante !
Le triangle de Reuleaux
Le triangle de Reuleaux - Construction
A vous de jouer !
Les polygones de Reuleaux - Construction
Les polygones de Reuleaux adouci - Construction
Les polygones de Reuleaux quelconques - Construction
Des orbiformes à partir d'une famille de droites
construction d'Arman et Al
Les propriétés
Propriété 1 : Les figures orbiformes sont convexes.
Propriété 2 : On peut toujours construire une figure orbiforme à partir d'un polygone régulier possèdant un nombre impair de côtés. Son rayon sera alors supérieur ou égal à sa plus grande diagonale.
Propriété 3 : On peut toujours construire une figure orbiforme à partir d’un polygone avec un nombre impair de côtés. Son rayon sera alors supérieur ou égal à où les sont les longueurs des « grandes diagonales ».
Les propriétés
Propriété 4 : On peut toujours obtenir une courbe à largeur constante à partir d'une famille de n droites non parallèles en traçant des arcs de cercles centrés sur n points d'intersection.
Des orbiformes pour quoi faire ?
Faire des trous carrés
Le moteur de Wankel
Des roues de vélo
Attention : Ces roues ne tournent pas autour d'un centre fixe...
Des roues de vélo
Théorème de Barbier : Toutes les figures orbiformes d'une largeur donnée l ont toutes le même périmètre.
Les démonstrations : - Pour les polygones réguliers. - Généralisation grâce au problème de l'aiguille de Buffon. https://sorciersdesalem.math.cnrs.fr/Pi_par_hasard/buffon_plus.html
Des roues de vélo
Des roues de vélo
Des roues de vélo
Des roues de vélo
Des roues de vélo
Les bouches d'égout
Les bouches d'égout
Les monnaies
Les monnaies
Des pièces pas ronde ! Quel intérêt ?! Un problème qui ne manque pas d'aire.
Propriété : A largeur donnée, le cercle est la figure orbiforme d'aire maximale.
Propriété : A largeur donnée, le triangle de Reuleaux est la figure orbiforme d'aire minimale.
Les monnaies
Des pièces pas ronde ! Quel intérêt ?! Un problème qui ne manque pas d'aire.
Propriété : De manière générale, l'aire d'un polygone de Reuleaux à n côtés est donné par la formule :
Voyage en 3e dimension La révolution des polygones
Voyage en 3e dimension La révolution des polygones
Voyage en 3e dimension La révolution des polygones
Voyage en 3e dimension La révolution des polygones
Un tétraèdre de Reuleaux ?
Un tétraèdre de Reuleaux ?
Un tétraèdre de Reuleaux ? Le tétraèdre de Meissner !
Conjecture de Bonnesen et Fenchel : Le tétraèdre de Meissner est le sphéroïde de volume minimal.
Généralisation : des sphéroïdes en dimension supérieure.
Solide de Arman et Al
Merci pour votre attention
François Delannoy Académie d'Amiens @IremJeuxAmiens