P4- RA

P4: Respuesta temporal de sistemas dinámicos

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Índice del módulo

Ejercicios

Ejercicio 1

Introducción

Ejercicio 4

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Enlace práctica

Introducción

Respuesta temporal de sistemas dinámicos

Durante la realización de esta práctica observaremos como se comportar diferentes modelos, según su orden, ante las modificaciones de sus variables.

Vídeo explicativo sobre cómo varía la respuesta temporal de un sistema dinámico con sus ceros y polos.

Ejercicios

01

02

03

04

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4

Respuesta de sistemas de orden superior: polos dominantes

Respuesta de sistemas de segundo orden sin ceros

Influencia de ceros

Respuesta de sistemas de primer orden sin ceros

Ejercicio 1

Caso 1

Sistema de primer orden cuya ganancia en régimen permanente es 3 y su constante de tiempo es 5 segundos.

Simule y compare, empleando Simulin, la respuesta ante una entrada escalón unitario en los siguientes casos:

Caso 2

Sistema de primer orden con la misma ganancia, pero cuya constante de tiempo es de 2 segundos.

Caso 3

Sistema de primer orden cuya ganancia es 1, y su constante de tiempo es 5 segundos.

Conclusión

Sesiones de aprendizaje/01

01

Caso 1

Modelo

¿Cuánto vale su tiempo de establecimiento, utilizando el criterio del 95 %?

C. 95%

Cálculos

Ampliación

Sesiones de aprendizaje/01

01

Caso 1

Modelo

¿Cuál es el valor de la salida en régimen permanente, si la intensidad del escalón es 2?

Modificaciones en la entrada

Se puede observar que ante un cambio en la función escalón de la entrada del sistema, este en vez de alcanzar el régimen permanente en el valor 3, lo alcanza en el valor 6, esto ocurre debido a que la ganancia del modelo del sistema es 3, con lo cual ante un cambio de entrada del valor 1 al valor 2 se modifica el valor de la salida según la ganancia de 3 a 6.

Ampliación

Como se puede observar la salida no modificará su valor.

Sesiones de aprendizaje/01

01

Modelo

Caso 2

¿Cuál es el valor del tiempo de establecimiento?

Para ello usamos el criterio del 95%, usado en el apartado anterior.

Cálculos

C. 95%

Ampliación

Tiempo de simulación de 30 segundos.

Sesiones de aprendizaje/01

01

Caso 3

Modelo

¿Cuál es el valor del tiempo de establecimiento?

C. 95%

Cálculo

Ampliación

Tiempo de simulación 30 segundos.

Sesiones de aprendizaje/01

01

Conclusiones

Como podemos observar en esta representación se encuentran todas las funciones de transferencia utilizadas en el primer ejercicio. Se puede observar que la función amarilla correspondiente al primer caso y la función naranja correspondiente al tercer caso presentan la misma constante de tiempo, con lo cual también presentan el mismo tiempo de establecimiento en el régimen permanente. A diferencia de esas dos representaciones la azul corresponde al segundo caso y como se puede apreciar esta función al tener una menor constante de tiempo tarda menos en alcanzar el régimen permanente. Por otro lado la función amarilla y azul presentan la misma ganancia, lo que significa que ante la misma entrada escalón unitaria presentaran una salida en el régimen permanente de igual valor.

Tiempo de simulación 30 segundos.

Presentación del módulo

Ejercicio 2

Caso 1

Sistema de segundo orden con ganancia 2 y frecuencia natural 5 rad/s con diferentes coeficientes de amortiguamiento.

Simule y compare, empleando Simulink, la respuesta ante una entrada en escalón en los siguientes casos:

Caso 2

Sistema de segundo orden con ganancia 2 y frecuencia natural 15 rad/s con diferentes coeficientes de amortiguamiento.

Caso 3

¿Qué influencia tiene la frecuencia natural en la respuesta de los sistemas?

Caso 4

¿Qué influencia tiene el coeficiente de amortiguamiento?

Caso 5

¿En qué casos se produce sobreoscilación?

Sesiones de aprendizaje/01

02

Caso 1

Coeficientes de amortiguación: δ1= 2 δ2= 1 δ3= 0.7 δ4= 0.1

Ampliación

Ideas clave

Variables

Tiempo de simulación 20 segundos.

Sesiones de aprendizaje/01

02

Caso 2

Coeficientes de amortiguación: δ1= 2 δ2= 1 δ3= 0.7 δ4= 0.1

Ampliación

Ideas clave

Variables

Tiempo de simulación 20 segundos.

Sesiones de aprendizaje/01

02

Caso 3

Por comparación de los dos casos anteriores podemos observar que la frecuencia natural interviene en la velocidad en la que los diferentes modelos tienden al régimen permanente, todo esto partiendo de que ambos casos presentan el mismo tiempo de simulación.

Caso 1

Caso 2

Sesiones de aprendizaje/01

02

Caso 4

Como se ha respondido anteriormente en el caso 1, el coeficiente de amortiguamiento influye en las oscilaciones que presentará el modelo del sistema antes de tender a régimen permanente.

Explicación

Sesiones de aprendizaje/01

02

Caso 5

Podemos concluir tanto de manera teórica como gráfica que existirán sobreoscilaciones en los sistemas en los que el coeficiente de amortiguamiento sea menor que 1, pero siempre mayor que 0.En estos casos representados, podemos observar que la función verde y la función naranja presentan una sobreoscilación, estas dos funciones mencionadas son las que tienen como coeficiente de amortiguamiento 0.1 y 0.7 respectivamente.

Presentación del módulo

Ejercicio 3

Apartado 1

Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.

Apartado 2

Simule y compare la respuesta de este sistema y del sistema compuesto únicamente por el polo dominante.

Sesiones de aprendizaje/01

03

Apartado 1

Dado el sistema:

Obtenemos la siguiente simplificación al resolverlo:

Este será el modelo utilizado para realizar las comparaciones.

Cálculos (1)

Cálculos (2)

Ampliación

Cálculos (3)

Sesiones de aprendizaje/01

03

Apartado 2

El polo dominante en el sistema anterior es el -1, ya que es el más cercano al eje con lo cual es polo más lento. Con lo cual el sistema solo con su polo dominante sería:

Para poder eliminar los otros dos polos, se ha realizado un cociente a la ganancia con la multiplicación de los mismos. Esto para que la ganancia no se viera afectada por el cambio de polos, además de que de esta manera se mantiene el sistema como un sistema equivalente como se ha podido comprobar gráficamente.

Ampliación

Ideas clave

Cálculos (1)

Presentación del módulo

Ejercicio 4

Apartado 1

Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.

Apartado 2

Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.

Apartado 3

Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.

Apartado 4

Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.

Conclusiones

Gráficas

Sesiones de aprendizaje/01

04

Apartado 1

¿Cuál es el polo dominante de este sistema? Al contrario de lo que parecería el polo dominante no es el de -1 ya que este va a ser anulado por el cero situado en el denominador, entonces al simplificar y realizar los cálculos podemos observar que el polo dominante pasa a ser el -20.

Cálculos (2)

Cálculos (1)

Cálculos (3)

Ampliación

Función de transferencia.

Tiempo de simulación 20 segundos.

Sesiones de aprendizaje/01

04

Apartado 1

¿Qué sucede con los residuos correspondientes a los polos ubicados en -5 y -1? Podemos observar mediante la realización de cálculos de la diapositiva anterior que los coeficientes residuales de los polos correspondientes a -1 y -5 serán 0, por lo que se podría decir que los polos se anulan.

Cálculos

Ampliación

Función de transferencia.

Tiempo de simulación 20 segundos.

Sesiones de aprendizaje/01

04

Apartado 2

¿Cuál es el polo dominante de este sistema? El polo dominante de este sistema es el polo situado en -1.

Cálculos (2)

Cálculos (1)

Cálculos (3)

Ampliación

Función de transferencia.

Sesiones de aprendizaje/01

04

Apartado 2

¿Qué sucede con los residuos correspondientes a los polos ubicados en -5 y -1? En este caso el polo situado en -5 será anulado y el polo situado en -1 tendrá un coeficiente residual negativo. Además podemos observar gráficamente como hay un cambio más notorio que los demás antes de alcanzar el régimen permanente.

Cálculos

Ampliación

Tiempo de simulación 20 segundos

Sesiones de aprendizaje/01

04

Apartado 3

¿Qué efecto tiene el cero situado en -0.95?Dado el cero en -0.95 podemos observar como el coeficiente residual del polo situado en -1 tiene un valor positivo. Además gráficamente podemos observar como se presenta antes de llegar al régimen permanente una sobreoscilación.

Cálculos (2)

Cálculos (1)

Función de transferencia.

ampliación

Tiempo de simulación 20 segundos

Sesiones de aprendizaje/01

04

Apartado 4

¿Qué efecto tiene el cero situado en +5?De manera analítica ya se ha comprobado que en este caso dado ese cero no se anulará ningún polo. Gráficamente podemos observar como hay una oscilación hacia el eje y negativo antes de darse el aumento ante la entrada. Dado este cero podemos decir que se ha acrecentado el tramo de curva que gráficamente demonstraba que esta es sigmoidal.

Cálculos (1)

Cálculos (2)

Función de transferencia.

ampliación

Tiempo de simulación de 20 segundos.

Sesiones de aprendizaje/01

Gráficas

Tiempo de simulación de 20 segundos.

04

...

Apartado 1

Apartado 3

Apartado 2

Apartado 4

Sesiones de aprendizaje/01

Conclusiones

Ante el mismo tiempo de simulación, podemos observar las siguientes diferencias entre los cuatro apartados dependiendo la colocación de los ceros:- En el apartado 1, los ceros son iguales a los dos polos más lentos, con lo cual el sistema presenta una evolución hasta alcanzar el régimen permanente mucho más rápida que un sistema similar sin ceros. - En el apartado 2, ante un cero superior al polo de -1 (1.05), podemos observar que este mismo presentará un coeficiente residual negativo y además, gráficamente, podemos observar que es casi igual de rápido que el del apartado anterior pero antes de alcanzar el régimen permanente presenta un poco de retardo. - En el apartado 3, ante un cero inferior al polo de -1 (0.95), podemos observar que este mismo presentará un coeficiente residual positivo y además, gráficamente, podemos observar que es casi igual de rápido que el del primer apartado pero antes de alcanzar el régimen permanente presenta una sobreoscilación. - En el apartado 4, ante un cero de signo contrario al polo de -5 (+5), podemos que todos los polos presentarán coeficiente residual y además, gráficamente, podemos observar que este sistema ante la misma entrada es más lento que los tres apartados anteriores y además en la curva que caracteriza una onda sigmoidal presenta una oscilación por el lado negativo del eje y.

04

Onda sigmoidal, curva característica.

Curva que presenta la salida.

Podemos observar que los dos sistemas son bastante similares. En esta representación la función amarilla es el sistema con todos los polos y la función azul es el sistema solo con su polo dominante -1.

Sabiendo que la constante de tiempo en este caso es de 5 segundos. Aplicamos el criterio del 95% mencionado anteriormente y obtenemos que el valor del tiempo de establecimiento: ts= 15 s

Coeficientes de amortiguación: δ1= 2= d1 δ2= 1= d2 δ3= 0.7= d3 δ4= 0.1= d4 ωn=5 rad/s= wn

Variables utilizadas para definir los modelos:

4. La antitransformada (salida) será en este caso:

Modelo

ganancia en régimen permanente

Constante de tiempo

Para el cálculo de la salida se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior:

-Dado el sistema con ceros:

Se puede observar que uno de los ceros de este sistema está en el mismo valor que uno de los polos, lo que en este caso no modificará el polo dominante, pero si la respuesta temporal del sistema.

1. La salida ante una entrada escalón unitario será:

2. Mediante descomposición en fracciones simples obtenemos:

Como se puede observar la representación gráfica de los modelos, a menor coeficiente de amortiguamiento más oscilaciones presenta el modelo antes de llegar al régimen permanente. A menor coeficiente podemos observar que la representación no presenta oscilaciones antes de llegar al régimen permanente. Como aclaración la función verde representa la función coeficiente de amortiguamiento 0.1, la función naranja la de coeficiente de amortiguamiento 0.7, la azul representa la de coeficiente de amortiguamiento 1 y la amarilla la de coeficiente de amortiguamiento 2, esta última no presenta ninguna oscilación antes de tender al régimen permanente.

Para el cálculo de la salida se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior:

-Dado el sistema con ceros:

Se puede observar que los ceros de este sistema están en los mismos valores que dos de los polos, lo que modificará quién es el polo dominante y su influencia en la salida, como ya veremos a continuación.

1. La salida ante una entrada escalón unitario será:

2. Mediante descomposición en fracciones simples obtenemos:

Se modifica el valor final de la función escalón.

Se sabe que existen diferentes criterios en lo que respecta a la variable τ, estos son: - Criterio del 95%: ts=4τ (A continuación haremos uso de este criterio para el cálculo del tiempo de establecimiento). - Criterio del 98%: ts= 3τ - Criterio del 63.2%: aplicado a la diferencia de cotas en y, usado para calcular la constante de tiempo.

C. 63.2%

Sabiendo que la constante de tiempo es de 2 segundos. Aplicamos el criterio del 95% mencionado anteriormente y obtenemos que: ts= 6 s

La constante de tiempo en este caso es de 5 segundos y la ganancia en régimen permanente es 1.

Para el cálculo analítico de la salida realizamos el siguiente procedimiento:

4. Procedemos a simplificar las fracciones mediante un denominador común:

Para ello multiplicamos y evaluamos por el polo correspondiente a cada coeficiente. Obtenemos entonces cada coeficiente residual de cada polo.

Para el cálculo analítico de la salida realizamos el siguiente procedimiento:

5. Realizamos la antitransformada de cada polo con su respectivo coeficiente residual. Sabiendo que las antitransformadas de Laplace de las funciones principales son:

6. Antitransformada y salida del sistema.

4. La antitransformada (salida) será en este caso:

3. Realizando las simplificaciones obtenemos los siguientes coeficientes residuales:

Podemos observar que en este caso gracias a que el cero es menor que cero que al contrario que lo que pasaba en el apartado anterior, en este apartado, el coeficiente residual del polo situado en -1 será positivo.

4. La respuesta del sistema será, mediante la antitransformada de Laplace:

La constante de tiempo en este modelo es 2 segundos y la ganancia en régimen permanente se mantiene constante con respecto al primer caso.

Modelo

ganancia en régimen permanente

Constante de tiempo

Para el cálculo de la salida realizaremos el mismo procedimiento que en apartados anteriores.

Dado el sistema:

1. La salida ante una entrada escalón unitario será:

2. Mediante la simplificación por fracciones simples:

Se sabe que existen diferentes criterios en lo que respecta a la variable τ, estos son: - Criterio del 95%: ts=4τ (A continuación haremos uso de este criterio para el cálculo del tiempo de establecimiento). - Criterio del 98%: ts= 3τ - Criterio del 63.2%: aplicado a la diferencia de cotas en y, usado para calcular la constante de tiempo.

C. 63.2%

3. Simplificando obtenemos los siguientes coeficientes:

Como podemos observar y se predijo anteriormente dos de los polos han sido anulados por los ceros, obteniendo cómo único polo dominante el polo más rápido situado en -20.

Para el cálculo analítico de la salida realizamos el siguiente procedimiento:

1. Dado el sistema:

2. La salida sería el sistema multiplicado por la entrada (escalón unitario):

3. Por el método de descomposición de fracciones simples obtenemos:

Para el cálculo de la salida se realiza el mismo procedimiento del apartado anterior, obteniendo:

Podemos observar que se obtiene una salida que solo depende del polo más lento del sistema que en este caso es el -1, además también se puede destacar que este no presenta ningún coeficiente residual como aparece en el apartado anterior ante el mismo polo. Esto provoca la leve diferencia que se puede apreciar entre la salida del sistema del apartado 1 y la salida del sistema del apartado 2.

Sabemos que τ en este modelo tiene un valor de 5, con lo cual aplicando el criterio del 95% explicado anteriormente obtenemos que el tiempo de establecimiento de este sistema cuando alcanza el 95% es de 15 segundos.

El tiempo de simulación utilizado es de 50 segundos.

3. Simplificando obtenemos los siguientes coeficientes:

Como podemos observar y se predijo anteriormente en este caso el único polo que será anulado es el polo situado en -5, en este caso el polo situado en -1 presenta un coeficiente residual negativo, porque el cero colocado en este caso y el valor colocado en el denominador para mantener el valor de la salida son mayores que 1.

3. Simplificando el paso anterior, obtenemos los coeficientes residuales de cada polo:

Podemos observar que en este caso a pesar de que haya un cero en +5 como este no es igual al polo no le ocurre nada, con lo cual en este caso mantenemos todos los polos.

4. Con la antitransformada de Laplace y los coeficientes residuales obtenemos:

Para calcular la salida del sistema se utiliza el mismo método empleado en apartados anteriores.

Dado el sistema:

1. Su salida ante una entreda escalón unitario será:

2. Mediante el método de simplificación por fracciones simples:

Coeficientes de amortiguación: δ1= 2=d1 δ2= 1=d2 δ3= 0.7=d3 δ4= 0.1=d4 k=2 ωn=15 rad/s= wn

Se sabe que existen diferentes criterios en lo que respecta a la variable τ, estos son: - Criterio del 95%: ts=4τ (A continuación haremos uso de este criterio para el cálculo del tiempo de establecimiento). - Criterio del 98%: ts= 3τ - Criterio del 63.2%: aplicado a la diferencia de cotas en y, usado para calcular la constante de tiempo.

C. 63.2%

Podemos obsrvar que la tendencia con respecto al coeficiente de amortiguamiento es la misma que en el caso 1. Con respecto a la modificación de la frecuencia natural, podemos observar que ante un mismo tiempo de simulación que el caso 1, estas señales tienden antes al régimen permanente.