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P4- RA
Aylen Bodeman
Created on October 7, 2024
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Transcript
Empezar
P4: Respuesta temporal de sistemas dinámicos
Ejercicio 4
Introducción
Enlace práctica
Ejercicio 3
Ejercicio 2
Ejercicio 1
Ejercicios
Índice del módulo
Vídeo explicativo sobre cómo varía la respuesta temporal de un sistema dinámico con sus ceros y polos.
Respuesta temporal de sistemas dinámicos
Durante la realización de esta práctica observaremos como se comportar diferentes modelos, según su orden, ante las modificaciones de sus variables.
Introducción
04
Ejercicios
03
02
01
Ejercicio 4
Influencia de ceros
Ejercicio 3
Respuesta de sistemas de orden superior: polos dominantes
Respuesta de sistemas de segundo orden sin ceros
Ejercicio 2
Respuesta de sistemas de primer orden sin ceros
Ejercicio 1
Sistema de primer orden cuya ganancia en régimen permanente es 3 y su constante de tiempo es 5 segundos.
Caso 1
Sistema de primer orden con la misma ganancia, pero cuya constante de tiempo es de 2 segundos.
Caso 2
Sistema de primer orden cuya ganancia es 1, y su constante de tiempo es 5 segundos.
Caso 3
Conclusión
Simule y compare, empleando Simulin, la respuesta ante una entrada escalón unitario en los siguientes casos:
Ejercicio 1
01
Modelo
Ampliación
C. 95%
Cálculos
Sesiones de aprendizaje/01
¿Cuánto vale su tiempo de establecimiento, utilizando el criterio del 95 %?
Caso 1
01
Modelo
Ampliación
Modificaciones en la entrada
Se puede observar que ante un cambio en la función escalón de la entrada del sistema, este en vez de alcanzar el régimen permanente en el valor 3, lo alcanza en el valor 6, esto ocurre debido a que la ganancia del modelo del sistema es 3, con lo cual ante un cambio de entrada del valor 1 al valor 2 se modifica el valor de la salida según la ganancia de 3 a 6.
Como se puede observar la salida no modificará su valor.
Sesiones de aprendizaje/01
¿Cuál es el valor de la salida en régimen permanente, si la intensidad del escalón es 2?
Caso 1
01
Tiempo de simulación de 30 segundos.
Para ello usamos el criterio del 95%, usado en el apartado anterior.
Modelo
C. 95%
Cálculos
Ampliación
Sesiones de aprendizaje/01
¿Cuál es el valor del tiempo de establecimiento?
Caso 2
01
Modelo
C. 95%
Tiempo de simulación 30 segundos.
Ampliación
Cálculo
Sesiones de aprendizaje/01
¿Cuál es el valor del tiempo de establecimiento?
Caso 3
Tiempo de simulación 30 segundos.
01
Sesiones de aprendizaje/01
Como podemos observar en esta representación se encuentran todas las funciones de transferencia utilizadas en el primer ejercicio. Se puede observar que la función amarilla correspondiente al primer caso y la función naranja correspondiente al tercer caso presentan la misma constante de tiempo, con lo cual también presentan el mismo tiempo de establecimiento en el régimen permanente. A diferencia de esas dos representaciones la azul corresponde al segundo caso y como se puede apreciar esta función al tener una menor constante de tiempo tarda menos en alcanzar el régimen permanente. Por otro lado la función amarilla y azul presentan la misma ganancia, lo que significa que ante la misma entrada escalón unitaria presentaran una salida en el régimen permanente de igual valor.
Conclusiones
Presentación del módulo
Sistema de segundo orden con ganancia 2 y frecuencia natural 5 rad/s con diferentes coeficientes de amortiguamiento.
Caso 1
Sistema de segundo orden con ganancia 2 y frecuencia natural 15 rad/s con diferentes coeficientes de amortiguamiento.
Caso 2
¿Qué influencia tiene la frecuencia natural en la respuesta de los sistemas?
Caso 3
¿Qué influencia tiene el coeficiente de amortiguamiento?
Caso 4
¿En qué casos se produce sobreoscilación?
Caso 5
Simule y compare, empleando Simulink, la respuesta ante una entrada en escalón en los siguientes casos:
Ejercicio 2
02
Ampliación
Variables
Ideas clave
Tiempo de simulación 20 segundos.
Sesiones de aprendizaje/01
Coeficientes de amortiguación: δ1= 2 δ2= 1 δ3= 0.7 δ4= 0.1
Caso 1
02
Ampliación
Variables
Ideas clave
Tiempo de simulación 20 segundos.
Coeficientes de amortiguación: δ1= 2 δ2= 1 δ3= 0.7 δ4= 0.1
Sesiones de aprendizaje/01
Caso 2
Caso 2
02
Caso 1
Sesiones de aprendizaje/01
Por comparación de los dos casos anteriores podemos observar que la frecuencia natural interviene en la velocidad en la que los diferentes modelos tienden al régimen permanente, todo esto partiendo de que ambos casos presentan el mismo tiempo de simulación.
Caso 3
02
Explicación
Sesiones de aprendizaje/01
Como se ha respondido anteriormente en el caso 1, el coeficiente de amortiguamiento influye en las oscilaciones que presentará el modelo del sistema antes de tender a régimen permanente.
Caso 4
02
Sesiones de aprendizaje/01
Podemos concluir tanto de manera teórica como gráfica que existirán sobreoscilaciones en los sistemas en los que el coeficiente de amortiguamiento sea menor que 1, pero siempre mayor que 0.En estos casos representados, podemos observar que la función verde y la función naranja presentan una sobreoscilación, estas dos funciones mencionadas son las que tienen como coeficiente de amortiguamiento 0.1 y 0.7 respectivamente.
Caso 5
Presentación del módulo
Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.
Apartado 1
Simule y compare la respuesta de este sistema y del sistema compuesto únicamente por el polo dominante.
Apartado 2
Ejercicio 3
03
Ampliación
Cálculos (3)
Cálculos (2)
Cálculos (1)
Este será el modelo utilizado para realizar las comparaciones.
Obtenemos la siguiente simplificación al resolverlo:
Sesiones de aprendizaje/01
Dado el sistema:
Apartado 1
03
Ampliación
Cálculos (1)
Ideas clave
Para poder eliminar los otros dos polos, se ha realizado un cociente a la ganancia con la multiplicación de los mismos. Esto para que la ganancia no se viera afectada por el cambio de polos, además de que de esta manera se mantiene el sistema como un sistema equivalente como se ha podido comprobar gráficamente.
Sesiones de aprendizaje/01
El polo dominante en el sistema anterior es el -1, ya que es el más cercano al eje con lo cual es polo más lento. Con lo cual el sistema solo con su polo dominante sería:
Apartado 2
Presentación del módulo
Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.
Apartado 1
Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.
Apartado 2
Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.
Apartado 3
Simule y calcule la respuesta analítica del siguiente sistema ante un escalón de magnitud unidad.
Apartado 4
Gráficas
Conclusiones
Ejercicio 4
Función de transferencia.
04
Ampliación
Cálculos (1)
Cálculos (3)
Cálculos (2)
Tiempo de simulación 20 segundos.
Sesiones de aprendizaje/01
¿Cuál es el polo dominante de este sistema? Al contrario de lo que parecería el polo dominante no es el de -1 ya que este va a ser anulado por el cero situado en el denominador, entonces al simplificar y realizar los cálculos podemos observar que el polo dominante pasa a ser el -20.
Apartado 1
04
Ampliación
Cálculos
Tiempo de simulación 20 segundos.
Función de transferencia.
Sesiones de aprendizaje/01
¿Qué sucede con los residuos correspondientes a los polos ubicados en -5 y -1? Podemos observar mediante la realización de cálculos de la diapositiva anterior que los coeficientes residuales de los polos correspondientes a -1 y -5 serán 0, por lo que se podría decir que los polos se anulan.
Apartado 1
04
Función de transferencia.
Cálculos (3)
Cálculos (1)
Ampliación
Cálculos (2)
Sesiones de aprendizaje/01
¿Cuál es el polo dominante de este sistema? El polo dominante de este sistema es el polo situado en -1.
Apartado 2
04
Tiempo de simulación 20 segundos
Cálculos
Ampliación
Sesiones de aprendizaje/01
¿Qué sucede con los residuos correspondientes a los polos ubicados en -5 y -1? En este caso el polo situado en -5 será anulado y el polo situado en -1 tendrá un coeficiente residual negativo. Además podemos observar gráficamente como hay un cambio más notorio que los demás antes de alcanzar el régimen permanente.
Apartado 2
04
ampliación
Cálculos (1)
Cálculos (2)
Tiempo de simulación 20 segundos
Función de transferencia.
Sesiones de aprendizaje/01
¿Qué efecto tiene el cero situado en -0.95?Dado el cero en -0.95 podemos observar como el coeficiente residual del polo situado en -1 tiene un valor positivo. Además gráficamente podemos observar como se presenta antes de llegar al régimen permanente una sobreoscilación.
Apartado 3
04
ampliación
Tiempo de simulación de 20 segundos.
Cálculos (1)
Cálculos (2)
Función de transferencia.
Sesiones de aprendizaje/01
¿Qué efecto tiene el cero situado en +5?De manera analítica ya se ha comprobado que en este caso dado ese cero no se anulará ningún polo. Gráficamente podemos observar como hay una oscilación hacia el eje y negativo antes de darse el aumento ante la entrada. Dado este cero podemos decir que se ha acrecentado el tramo de curva que gráficamente demonstraba que esta es sigmoidal.
Apartado 4
Apartado 3
Apartado 4
Apartado 2
Apartado 1
04
Tiempo de simulación de 20 segundos.
Sesiones de aprendizaje/01
...
Gráficas
Curva que presenta la salida.
Onda sigmoidal, curva característica.
04
Ante el mismo tiempo de simulación, podemos observar las siguientes diferencias entre los cuatro apartados dependiendo la colocación de los ceros:- En el apartado 1, los ceros son iguales a los dos polos más lentos, con lo cual el sistema presenta una evolución hasta alcanzar el régimen permanente mucho más rápida que un sistema similar sin ceros. - En el apartado 2, ante un cero superior al polo de -1 (1.05), podemos observar que este mismo presentará un coeficiente residual negativo y además, gráficamente, podemos observar que es casi igual de rápido que el del apartado anterior pero antes de alcanzar el régimen permanente presenta un poco de retardo. - En el apartado 3, ante un cero inferior al polo de -1 (0.95), podemos observar que este mismo presentará un coeficiente residual positivo y además, gráficamente, podemos observar que es casi igual de rápido que el del primer apartado pero antes de alcanzar el régimen permanente presenta una sobreoscilación. - En el apartado 4, ante un cero de signo contrario al polo de -5 (+5), podemos que todos los polos presentarán coeficiente residual y además, gráficamente, podemos observar que este sistema ante la misma entrada es más lento que los tres apartados anteriores y además en la curva que caracteriza una onda sigmoidal presenta una oscilación por el lado negativo del eje y.
Sesiones de aprendizaje/01
Conclusiones
Podemos observar que los dos sistemas son bastante similares. En esta representación la función amarilla es el sistema con todos los polos y la función azul es el sistema solo con su polo dominante -1.
Sabiendo que la constante de tiempo en este caso es de 5 segundos. Aplicamos el criterio del 95% mencionado anteriormente y obtenemos que el valor del tiempo de establecimiento: ts= 15 s
Variables utilizadas para definir los modelos:
Coeficientes de amortiguación: δ1= 2= d1 δ2= 1= d2 δ3= 0.7= d3 δ4= 0.1= d4 ωn=5 rad/s= wn
4. La antitransformada (salida) será en este caso:
Constante de tiempo
ganancia en régimen permanente
Modelo
2. Mediante descomposición en fracciones simples obtenemos:
1. La salida ante una entrada escalón unitario será:
Se puede observar que uno de los ceros de este sistema está en el mismo valor que uno de los polos, lo que en este caso no modificará el polo dominante, pero si la respuesta temporal del sistema.
-Dado el sistema con ceros:
Para el cálculo de la salida se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior:
Como se puede observar la representación gráfica de los modelos, a menor coeficiente de amortiguamiento más oscilaciones presenta el modelo antes de llegar al régimen permanente. A menor coeficiente podemos observar que la representación no presenta oscilaciones antes de llegar al régimen permanente. Como aclaración la función verde representa la función coeficiente de amortiguamiento 0.1, la función naranja la de coeficiente de amortiguamiento 0.7, la azul representa la de coeficiente de amortiguamiento 1 y la amarilla la de coeficiente de amortiguamiento 2, esta última no presenta ninguna oscilación antes de tender al régimen permanente.
2. Mediante descomposición en fracciones simples obtenemos:
1. La salida ante una entrada escalón unitario será:
Se puede observar que los ceros de este sistema están en los mismos valores que dos de los polos, lo que modificará quién es el polo dominante y su influencia en la salida, como ya veremos a continuación.
-Dado el sistema con ceros:
Para el cálculo de la salida se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior:
Se modifica el valor final de la función escalón.
C. 63.2%
Se sabe que existen diferentes criterios en lo que respecta a la variable τ, estos son: - Criterio del 95%: ts=4τ (A continuación haremos uso de este criterio para el cálculo del tiempo de establecimiento). - Criterio del 98%: ts= 3τ - Criterio del 63.2%: aplicado a la diferencia de cotas en y, usado para calcular la constante de tiempo.
Sabiendo que la constante de tiempo es de 2 segundos. Aplicamos el criterio del 95% mencionado anteriormente y obtenemos que: ts= 6 s
La constante de tiempo en este caso es de 5 segundos y la ganancia en régimen permanente es 1.
Para ello multiplicamos y evaluamos por el polo correspondiente a cada coeficiente. Obtenemos entonces cada coeficiente residual de cada polo.
4. Procedemos a simplificar las fracciones mediante un denominador común:
Para el cálculo analítico de la salida realizamos el siguiente procedimiento:
6. Antitransformada y salida del sistema.
5. Realizamos la antitransformada de cada polo con su respectivo coeficiente residual. Sabiendo que las antitransformadas de Laplace de las funciones principales son:
Para el cálculo analítico de la salida realizamos el siguiente procedimiento:
4. La antitransformada (salida) será en este caso:
Podemos observar que en este caso gracias a que el cero es menor que cero que al contrario que lo que pasaba en el apartado anterior, en este apartado, el coeficiente residual del polo situado en -1 será positivo.
4. La respuesta del sistema será, mediante la antitransformada de Laplace:
3. Realizando las simplificaciones obtenemos los siguientes coeficientes residuales:
La constante de tiempo en este modelo es 2 segundos y la ganancia en régimen permanente se mantiene constante con respecto al primer caso.
Constante de tiempo
ganancia en régimen permanente
Modelo
2. Mediante la simplificación por fracciones simples:
1. La salida ante una entrada escalón unitario será:
Dado el sistema:
Para el cálculo de la salida realizaremos el mismo procedimiento que en apartados anteriores.
C. 63.2%
Se sabe que existen diferentes criterios en lo que respecta a la variable τ, estos son: - Criterio del 95%: ts=4τ (A continuación haremos uso de este criterio para el cálculo del tiempo de establecimiento). - Criterio del 98%: ts= 3τ - Criterio del 63.2%: aplicado a la diferencia de cotas en y, usado para calcular la constante de tiempo.
Como podemos observar y se predijo anteriormente dos de los polos han sido anulados por los ceros, obteniendo cómo único polo dominante el polo más rápido situado en -20.
3. Simplificando obtenemos los siguientes coeficientes:
3. Por el método de descomposición de fracciones simples obtenemos:
2. La salida sería el sistema multiplicado por la entrada (escalón unitario):
1. Dado el sistema:
Para el cálculo analítico de la salida realizamos el siguiente procedimiento:
Podemos observar que se obtiene una salida que solo depende del polo más lento del sistema que en este caso es el -1, además también se puede destacar que este no presenta ningún coeficiente residual como aparece en el apartado anterior ante el mismo polo. Esto provoca la leve diferencia que se puede apreciar entre la salida del sistema del apartado 1 y la salida del sistema del apartado 2.
Para el cálculo de la salida se realiza el mismo procedimiento del apartado anterior, obteniendo:
El tiempo de simulación utilizado es de 50 segundos.
Sabemos que τ en este modelo tiene un valor de 5, con lo cual aplicando el criterio del 95% explicado anteriormente obtenemos que el tiempo de establecimiento de este sistema cuando alcanza el 95% es de 15 segundos.
Como podemos observar y se predijo anteriormente en este caso el único polo que será anulado es el polo situado en -5, en este caso el polo situado en -1 presenta un coeficiente residual negativo, porque el cero colocado en este caso y el valor colocado en el denominador para mantener el valor de la salida son mayores que 1.
3. Simplificando obtenemos los siguientes coeficientes:
Podemos observar que en este caso a pesar de que haya un cero en +5 como este no es igual al polo no le ocurre nada, con lo cual en este caso mantenemos todos los polos.
4. Con la antitransformada de Laplace y los coeficientes residuales obtenemos:
3. Simplificando el paso anterior, obtenemos los coeficientes residuales de cada polo:
2. Mediante el método de simplificación por fracciones simples:
1. Su salida ante una entreda escalón unitario será:
Para calcular la salida del sistema se utiliza el mismo método empleado en apartados anteriores.
Dado el sistema:
Coeficientes de amortiguación: δ1= 2=d1 δ2= 1=d2 δ3= 0.7=d3 δ4= 0.1=d4 k=2 ωn=15 rad/s= wn
C. 63.2%
Se sabe que existen diferentes criterios en lo que respecta a la variable τ, estos son: - Criterio del 95%: ts=4τ (A continuación haremos uso de este criterio para el cálculo del tiempo de establecimiento). - Criterio del 98%: ts= 3τ - Criterio del 63.2%: aplicado a la diferencia de cotas en y, usado para calcular la constante de tiempo.
Podemos obsrvar que la tendencia con respecto al coeficiente de amortiguamiento es la misma que en el caso 1. Con respecto a la modificación de la frecuencia natural, podemos observar que ante un mismo tiempo de simulación que el caso 1, estas señales tienden antes al régimen permanente.