disequazioni di secondo grado.pptx

DISEQUAZIONI e SISTEMI DI SECONDO GRADO e GRADO SUPERIORE

Prof.ssa Eleonora Castagna

Definizione

Una disequazione è una disuguaglianza fra due espressioni letterali, legate da uno dei simboli >, <, ≥, ≤, per la quale cerchiamo i valori che, sostituiti alle incognite, la rendono vera. Una disequazione è:

• lineare o di primo grado se l’incognita compare al primo grado;

• numerica se non ci sono altre lettere oltre l’incognita, altrimenti è letterale;

• intera se, quando ci sono frazioni, l’incognita compare solo al numeratore, altrimenti è fratta.

Due disequazioni sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

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Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020

Principi di equivalenza

Primo principio di equivalenza: aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione uno stesso numero (o espressione che non restringa le condizioni di esistenza), si ottiene una disequazione equivalente. Dal primo principio derivano le seguenti regole, analoghe per equazioni e disequazioni.

• Regola del trasporto: data una disequazione, possiamo trasportare un termine da un membro all’altro a patto di cambiare il suo segno.

• Regola di cancellazione: data una disequazione, possiamo cancellare termini uguali da membri diversi.

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Principi di equivalenza

Secondo principio di equivalenza: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per un numero diverso da zero (o per un’espressione che non possa annullarsi e che non restringa le condizioni di esistenza), otteniamo una disequazione equivalente:

• mantenendo lo stesso verso, se il numero è positivo;
• cambiando verso, se il numero è negativo.

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Intervalli

Per scrivere o rappresentare graficamente le soluzioni delle disequazioni sono utili gli intervalli di numeri reali. Un intervallo è:

• illimitato se è costituito da tutti i numeri che precedono un certo numero (intervallo illimitato inferiormente) o che lo seguono (intervallo illimitato superiormente);

• limitato se è formato da tutti i valori compresi fra due numeri.

Rispetto a un suo estremo, un intervallo è chiuso se comprende l’estremo, aperto se non lo comprende.

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Rappresentazione degli intervalli

Un intervallo può essere rappresentato in tre modi diversi:

• graficamente sulla retta reale;
• mediante disuguaglianze;
• con le parentesi quadre.

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Interpretazione grafica di una disequazione

ESEMPIO

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Segno di un trinomio di secondo grado

Studiare il segno di un polinomio significa stabilire per quali valori della variabile esso è rispettivamente positivo, nullo o negativo. Il segno di un trinomio di secondo grado ax2 + bx + c, con a ≠ 0, dipende dal segno di a e dal segno del discriminante Δ dell’equazione associata ax2 + bx + c = 0.

Info

Info

Chiamiamo intervallo delle radici l’intervallo dei valori compresi fra le radici x1 e x2.

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Interpretazione grafica di un trinomio di secondo grado

ESEMPIO

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Segno di un trinomio di secondo grado

ESEMPIO

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Risoluzione di una disequazione di secondo grado

Una disequazione è di secondo grado intera se è possibile scriverla nella forma normale ax2 + bx + c > 0, con a ≠ 0 e positivo, o nelle analoghe con i simboli <, ≥, ≤. Risolvere una disequazione significa trovare tutte le sue soluzioni. Per farlo è necessario risolvere l’equazione associata, determinando il discriminante e le eventuali radici.

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Risoluzione di una disequazione di secondo grado

ESEMPIO

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Risoluzione di una disequazione di secondo grado

Disequazioni incomplete

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Disequazioni di grado superiore al secondo

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Disequazioni frazionarie

Procedura

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Sistemi di disequazioni

ESEMPIO

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Problemi

Come tradurre dal linguaggo

• almeno, non meno di, supera al più, non prima, al minimo: si usa ≥,
• al massimo, al più, non supera, non più di, non superiore a, è inferiore di almeno: si usa ≤
• supera: si usa >
• è inferiore: si usa <
• è compreso tra : x1<x<x2

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ESEMPIO

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