Géométrie dynamique

Géométrie dynamique

Cycle 3

Objectifs

Revoir les objectifs de l'enseignement de la géométrie

Faire un point sur les programmes

Apports théoriques en géométrie

Découverte des potentialités de l'application Géogébra et prise en main de l'outil

Appui sur les travaux

- Changements de regard nécessaires sur les figures Raymond DUVAL - Enseigner la géométrie élémentaire : enjeux, ruptures et continuités Marie-Jeanne PERRIN GLORIAN, Anne-Cécile MATHÉ, Thomas BARRIER

Du côté de l'enseignant

Du côté de l'élève

Et pour vous ?

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objectifs de l'enseignement de la géométrie

Acquérir des connaissances et des automatismes pour la suite de la scolarité

Acquérir des connaissances et compétences utiles pour la vie quotidienne

Acquérir des connaissances utiles en milieu professionnel

Renforcer les aptitudes à raisonner et à argumenter dans toutes les disciplines

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Les liens avec les domaines du socle

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Faire un point sur les programmes

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Éléments didactiques

Les différents niveaux de géométrie

Qui suis-je ?

Qui suis-je ?

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Dessin 2

Dessin 1

Dessin 3

Qui suis-je ?

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Dessin 1

Cela se voit. Je le sais parce que je l'ai vu et que je possède des connaissances antérieures.

Géométrie de la perception « Est vrai ce que je vois » Je me base sur mon oeil et mes connaissances antérieures.

Qui suis-je ?

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Dessin 2

Je sais que cette figure a des propriétés. Je peux le montrer en utilisant des instrument.

Géométrie instrumentée « Est vrai ce que je mesure » Sont vraies les propriétés contrôlées à l’aide d'instruments.

Qui suis-je ?

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Dessin 3

Cette figure est un carré.Un langage codé graphique m’indique que j’ai raison car... A=B=C=D= 90° [AB]=[BC] =[CD]=[DA]

Géométrie déductive « Est vrai ce que je prouve » (sous entendu avec une propriété)

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différents niveaux de géométrie

Géométrie de la perception : Est vrai ce qui est vu comme tel. J'utilise mes yeux et mes connaissances antérieures.

Dans un premier temps : Les validations sont perceptives ou instrumentées. Dans tous les cas, la validation est l’interprétation de la perception. Un élève considère qu’un carré n’est pas un rectangle.

Géométrie instrumentée : Sont vraies les propriétés contrôlées à l'aide d'instruments. J'utilise mes instruments de géométrie.

En cycle 3, vers la géométrie déductive. La validation est un raisonnement déductif.Un élève peut alors considérer qu’un carré est un rectangle particulier.

Géométrie déductive : Est vrai ce qui est démontré. J'utilise des théorèmes.

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différents niveaux de géométrie

• Au cycle 1 : la reconnaissance est globale : géométrie perceptive • Au cycle 2 : elle est également perceptive en début de cycle. La vérification s’effectue grâce aux instruments : géométrie instrumentée • Au cycle 3 : structuration de définitions et de propriétés. Les élèves se détachent progressivement des mesures effectuées directement sur les figures : géométrie argumentée

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différents niveaux de géométrie

Les programmes attirent l’attention sur la nécessité de faire évoluer au cours de la scolarité obligatoire le regard que les enfants portent sur les figures géométriques et ils mettent en avant, entre autres, la reproduction de figures comme source de problèmes permettant d’introduire les notions géométriques plus générales et de faire évoluer le regard porté sur les figures.

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Introduction du programme Espace et Géométrie du cycle 2

« Les notions de géométrie plane et les connaissances sur les figures usuelles s’acquièrent à partir de manipulations et de résolutions de problèmes (reproduction de figures, activités de tri et de classement, description de figures, reconnaissance de figures à partir de leur description, tracés en suivant un programme de construction simple). La reproduction de figures diverses, simples et composées est une source importante de problèmes de géométrie dont on peut faire varier la difficulté en fonction des figures à reproduire et des instruments disponibles. Les concepts généraux de géométrie (droites, points, segments, angles droits) sont présentés à partir de tels problèmes. »

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Introduction du programme Espace et Géométrie du cycle 3

« Prolongeant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèves de passer progressivement d'une géométrie où les objets (le carré, la droite, le cube, etc.) et leurs propriétés sont essentiellement contrôlés par la perception à une géométrie où le recours à des instruments devient déterminant, pour aller ensuite vers une géométrie dont la validation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation. Différentes caractérisations d’un même objet ou d’une même notion s’enrichissant mutuellement permettent aux élèves de passer du regard ordinaire porté sur un dessin au regard géométrique porté sur une figure. Les situations faisant appel à différents types de tâches (reconnaître, nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire) portant sur des objets géométriques, sont privilégiées afin de faire émerger des concepts géométriques (caractérisations et propriétés des objets, relations entre les objets) et de les enrichir. Un jeu sur les contraintes de la situation, sur les supports et les instruments mis à disposition des élèves, permet une évolution des procédures de traitement des problèmes et un enrichissement des connaissances. »

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différents types de tâches en géométrie

Reconnaître : identifier, de manière perceptive, en utilisant des instruments ou en utilisant des définitions et des propriétés, une figure géométrique plane ou un solide. Exemple : reconnaître qu’un quadrilatère est un rectangle ou reconnaître un rectangle parmi un ensemble de figures géométriques.

Reproduire : construire une figure géométrique à partir d’un modèle fourni avec les mêmes dimensions ou en respectant une certaine échelle. Exemple : reproduire une figure complexe en la décomposant en plusieurs figures simples.

Nommer : utiliser à bon escient le vocabulaire géométrique pour désigner une figure géométrique plane ou un solide ou certains de ses éléments. Exemple : nommer différents éléments d’un disque : rayon, diamètre, centre.

Représenter : reconnaître ou utiliser les premiers éléments de codage d’une figure géométrique plane ou de représentation plane d’un solide (perspective, patron).

Vérifier : s’assurer, en recourant à des instruments ou à des propriétés, que des objets géométriques vérifient certaines propriétés (points alignés, droites perpendiculaires, etc.), ou s’assurer de la nature d’une figure géométrique ou d’un solide.

Construire : réaliser une figure géométrique plane ou un solide à partir d’un programme de construction, un texte descriptif, une figure à main levée, etc.

Décrire : élaborer un message en utilisant le vocabulaire géométrique approprié et en s’appuyant sur les caractéristiques d’une figure géométrique pour en permettre sa représentation ou son identification. Exemple : jeu du portrait.

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Les situations problèmes : Reproduction et restauration de figure

Les situations problèmes en géométrie sont une entrée pour :

• La construction de connaissances (ex: la perpendicularité)

• La maîtrise de procédures géométriques (ex: construire un angle droit)

• La compréhension du vocabulaire particulier

(ex: angle droit, perpendiculaire = un segment perpendiculaire à une droite en un point particulier)

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Les situations problèmes

Inclure les élèves dans une démarche de résolution de problèmes c'est :

• Chercher : en s’interrogeant sur la manière de décomposer une figure complexe en figures simples pour pouvoir la reproduire.

• Modéliser : le sol de la classe par un rectangle ou un autre polygone pour le dessiner à une certaine échelle.

• Représenter : un pavé droit par un dessin en perspective cavalière ou un dessin à main levée pour mettre en place une stratégie de construction.

• Raisonner : pour pouvoir construire une figure en utilisant une définition ou des propriétés connues.

• Calculer : pour disposer des données nécessaires pour effectuer une construction.

• Communiquer en rédigeant un programme de construction ou en utilisant des codes sur une figure dessinée à main levée.

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Raisonner = développer ses fonctions exécutives

La planification : organiser les étapes nécessaires à la résolution d'un problème.

La récupération active d’informations en mémoire : faire appel aux connaissances antérieures pour éclairer les nouvelles situations ou problèmes.

La mise à jour : Adapter ses connaissances ou informations en fonction des nouvelles données disponibles. Dans le raisonnement, cela aide à ajuster les idées ou stratégies lorsqu'on reçoit des informations contradictoires ou nouvelles.

La lutte contre sa propre inhibition : Cela signifie éviter de se laisser distraire par des idées ou des réponses automatiques qui ne sont pas adaptées à la situation.

La flexibilité mentale : Cela consiste à être capable de changer de stratégie ou de perspective en fonction des besoins. Dans le raisonnement, la flexibilité mentale aide à envisager différentes solutions ou à voir le problème sous un nouvel angle.

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Mise en pratique

Reproduisez la figure suivante :

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Mise en pratique

Travaux d'élèves :

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obstacles

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Le changement de regard

Trois "visions" des figures suivant le regard qu'on est capable d'y porter : la vision surfaces (2d)

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Le changement de regard

Trois "visions" des figures suivant le regard qu'on est capable d'y porter : la vision lignes (1d)

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Le changement de regard

Trois "visions" des figures suivant le regard qu'on est capable d'y porter : la vision points (0d)

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Le changement de regard

Que voyez-vous :

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Les situations problèmes

2 types de raisonnements :

• La réutilisation adaptée (Comment avais-je fait pour vérifier qu'il s'agissait d'un carré ?)

• Problème où il n'y a pas de solution existante (trouver un point dans une figure à compléter)

qui vont se travailler autour de :

• Figures imposées (retrouver les carrés)

• Programmes libres (terminer cette figure)

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Les situations problèmes

Comment faire ?

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Le changement de regard

Vision surface

Vision lignes

Vision points

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Le changement de regard

Enrichir le regard des élèves sur les figures signifie les amener progressivement à développer une vision lignes des figures puis une vision points.

Acquérir cette flexibilité permet d’appréhender les différentes composantes de la figure et les relations entre elles.

Les principales relations de base sont : l’appartenance (par exemple, le fait pour un point d’être ou non sur une droite ou sur un cercle), l’égalité de longueur, la perpendicularité, le parallélisme...et la géométrie met en jeu des grandeurs : les angles, les distances...

Un des objectifs que nous traiterons est de travailler ce changement de regard. C'est à dire aider les élèves à passer du regard ordinaire porté sur un dessin au regard géométrique porté sur une figure.

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D'autres obstacles observés

- La mesure est prioritaire - Les élèves n'osent pas prolonger ou faire apparaître les éléments de construction - L'usage d'un vocabulaire spécifique - L'usage du matériel de géométrie - Verbliser et expliquer le raisonnement

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Exemple : la reproduction d'une figure

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Exemple : premier programme

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D'autres exemples

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Le programme de construction

On pourra relever les caractéristiques et propriétés de ce type de texte particulier qui s’apparente pour les élèves à une recette de cuisine. Son objectif est de permettre de construire une figure. Il est décrit sous forme de phrases courtes, le plus souvent à l’impératif ou à l’infinitif, une liste d’actions mathématiques à suivre dans l’ordre chronologique. Les actions décrites et les objets énoncés sont mathématiques et non techniques (par exemple on dira « Construire le cercle de centre O et qui passe par le point A » mais pas « Prendre le compas, placer la pointe sèche sur le point O et la mine sur A puis tourner » et inversement).

Un temps important doit être dédié à la verbalisation.

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Deuxième programme

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Réalisation sur géogébra

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bilan avec géogébra

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La géométrie dynamique

En quoi cela consiste-t-il ?Ce terme désigne un espace géométrique dans lequel les objets construits peuvent être manipulés et déplacés sans perdre les propriétés qui leur ont été attribuées. Par extension, ce terme désigne les outils logiciels qui permettent cette construction, dont Géogébra.DONC, SI ON déplace l’objet : - Il conserve sa forme = construction correcte. - Il ne conserve pas sa forme = construction incorrecte.L’aspect dynamique favorise une pédagogie par l’erreur et amène l’élève à s’autoévaluer.

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La géométrie dynamique

Exemple : "les 3 carrés"

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La géométrie dynamique

Valeurs ajoutées

Véritable travail de recherche pour l’élève. Importance du langage et des interactions. Mise en œuvre d’une pédagogie par l’erreur. Auto-évaluation et auto-régulation de l’élève. La reproduction suppose l’analyse de la figure et la déduction d’une chronologie de construction. La phase de tracé est allégée par rapport au travail sur feuille, ce qui libère de la capacité intellectuelle pour l’analyse et la construction.

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La géométrie dynamique

https://www.geogebra.org/classic/gy3y9tjq

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La géométrie dynamique

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- Créer une "appliquette"

Pour aller plus loin :

Le voilier

L'homme de Vitruve

https://www.geogebra.org/m/tfwa2cwe

https://www.geogebra.org/m/zpsv8wzt

Construire :

- au cycle 4 et au lycée, la géométrie fournit de nouveaux outils performants (la trigonométrie, le théorème de Pythagore, les vecteurs, les équations ou systèmes d’équations, etc.) pour résoudre certains problèmes, mais une bonne compréhension et une bonne utilisation de ces notions nécessitent une réelle connaissance des configurations étudiées à l’école élémentaire et au collège ; - l’initiation à la programmation de déplacements menée aux cycles 2 et 3 dans le cadre du thème « Espace et géométrie » se poursuit au cycle 4 dans le cadre d’un nouveau thème « Algorithmique et programmation » qui sert de base non seulement à l’enseignement, obligatoire pour tous, d’algorithmique au sein des programmes de mathématiques du lycée d’enseignement général et technologique, mais aussi d’enseignements optionnels comme l’enseignement d’exploration « Informatique et création numérique » proposé en seconde.

- des connaissances géométriques sont bien évidemment essentielles pour tous les métiers du bâtiment (maçon, architecte, peintre, etc.) et plus largement tous les métiers impliquant la construction d’objets en trois dimensions (dessinateur industriel, menuisier, cuisiniste, etc.) ; - par ailleurs, les travaux menés dans le cadre de l’initiation à la programmation de déplacements, menés aux cycles 2 et 3, sont une première étape pour acquérir les notions informatiques de base, aujourd’hui nécessaires à l’exercice de toute activité professionnelle.

Vérifier :

- Dès le cycle 2, les élèves raisonnent et argumentent en utilisant les définitions et propriétés connues pour établir, par exemple, la nature d’une figure plane qui leur est présentée. Ainsi, un élève de CE2 ou CM1 peut établir qu’un quadrilatère est un rectangle en s’appuyant sur la définition (Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits) et en utilisant une équerre pour vérifier que les quatre angles du quadrilatère sont droits. Il peut ensuite établir qu’il ne s’agit pas d’un carré en s’appuyant sur une propriété (Un carré a ses quatre côtés de la même longueur) et, en utilisant une règle graduée, qu’un côté mesure 3 cm et 8 mm alors qu’un autre côté mesure 4 cm et 1 mm.

Représenter :

Reproduire :

Décrire :

- un vocabulaire permettant de nommer les différentes formes géométriques usuelles en deux ou trois dimensions qui permettent de modéliser certains objets qui nous entourent ; cette modélisation permet ensuite de calculer des grandeurs (périmètre d’un terrain que l’on doit entourer d’une clôture, aire d’un mur que l’on doit tapisser, volume d’une pièce dont on doit assurer l’aération, etc.) ; - comprendre certaines représentations de l’espace (cartes, plans, dessins en perspective) et pouvoir s’en servir ou en construire ; - des connaissances en programmation, en anticipant des déplacements dans le plan ou l’espace, qui préparent les élèves à l’introduction d’algorithmes en informatique.

Introduction du programme Espace et Géométrie du cycle 3

« Prolongeant le travail amorcé au cycle 2, les activités permettent aux élèves de passer progressivement d'une géométrie où les objets (le carré, la droite, le cube, etc.) et leurs propriétés sont essentiellement contrôlés par la perception à une géométrie où le recours à des instruments devient déterminant, pour aller ensuite vers une géométrie dont la validation s’appuie sur le raisonnement et l’argumentation. Différentes caractérisations d’un même objet ou d’une même notion s’enrichissant mutuellement permettent aux élèves de passer du regard ordinaire porté sur un dessin au regard géométrique porté sur une figure. Les situations faisant appel à différents types de tâches (reconnaître, nommer, comparer, vérifier, décrire, reproduire, représenter, construire) portant sur des objets géométriques, sont privilégiées afin de faire émerger des concepts géométriques (caractérisations et propriétés des objets, relations entre les objets) et de les enrichir. Un jeu sur les contraintes de la situation, sur les supports et les instruments mis à disposition des élèves, permet une évolution des procédures de traitement des problèmes et un enrichissement des connaissances. »

Introduction du programme Espace et Géométrie du cycle 2

« Les notions de géométrie plane et les connaissances sur les figures usuelles s’acquièrent à partir de manipulations et de résolutions de problèmes (reproduction de figures, activités de tri et de classement, description de figures, reconnaissance de figures à partir de leur description, tracés en suivant un programme de construction simple). La reproduction de figures diverses, simples et composées est une source importante de problèmes de géométrie dont on peut faire varier la difficulté en fonction des figures à reproduire et des instruments disponibles. Les concepts généraux de géométrie (droites, points, segments, angles droits) sont présentés à partir de tels problèmes. »

Reconnaître et nommer :

Perpendiculaires = réutilisation adaptée

Construire un point inconnu = pas de solution existante