Réciproque et contraposée du théorème de Pythagore

Chapitre 2 :

Théorème de pythagore

sommaire

Partie 1

Qu'est-ce qu'une réciproque

partie 2

Une réciproque est-elle toujours vraie ?

partie 3

La réciproque du théorème de Pythagore

partie 4

Qu'est-ce qu'une contraposée ?

partie 5

La contraposée du théorème de Pythagore

Qu'est-ce qu'une réciproque ?

Voici une phrase (à pression athmosphérique 1) :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

l'eau bout.

l'eau est à plus de 100°C

Voici LA RéCIPROQUE DE CETTE PHRASE :

Proposition 1 :

Proposition 2

Si

l'eau bout.

alors

l'eau est à plus de 100°C

POUR ECRIRE LA RECIPROQUE D'UNE PHRASE, IL FAUT INVERSER LES 2 PROPOSITIONS.

Cette réciproque est vraie !

Qu'est-ce qu'une réciproque ?

Voici une phrase (on admet qu'il s'agit d'un polygône) :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

je suis un quadrilatère.

j'ai 4 côtés

Ecrire la réciproque de cette phrase :

Cette réciproque est-elle vraie ?

Qu'est-ce qu'une réciproque ?

Voici une phrase (on admet qu'il s'agit d'un polygône) :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

je suis un quadrilatère.

j'ai 4 côtés

Voici LA RéCIPROQUE DE CETTE PHRASE :

Proposition 1 :

Proposition 2

Si

je suis un quadrilatère

alors

j'ai 4 côtés

Cette réciproque est vraie !

Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie ?

Voici une phrase :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

j'ai 4 pattes.

je suis un chat

Ecrire la réciproque de cette phrase :

Cette réciproque est-elle vraie ?

Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie ?

Voici une phrase :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

j'ai 4 pattes.

je suis un chat

Voici LA RéCIPROQUE DE CETTE PHRASE :

Proposition 1 :

Proposition 2

Si

j'ai 4 pattes

alors

je suis un chat.

Cette réciproque n'est pas toujours vraie ! En effet, si j'ai 4 pattes je ne suis pas forcément un chat ! Je suis peut-être un chien !

Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie ?

Voici une phrase :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

j'ai des cours de maths.

je suis en 4e

Ecrire la réciproque de cette phrase :

Cette réciproque est-elle vraie ?

Est-ce qu'une réciproque est toujours vraie ?

Voici une phrase :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

j'ai des cours de maths.

je suis en 4e

Voici LA RéCIPROQUE DE CETTE PHRASE :

Proposition 1 :

Proposition 2

Si

j'ai des cours de maths

alors

je suis en 4e.

Cette réciproque n'est pas toujours vraie ! En effet, si j'ai des cours de maths je ne suis pas forcément en 4e ! Je peux être en 6e ou en CP !

La réciproque du théorème de pythagore

Voici le théorème de Pythagore :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

BC²=AB²+AC²

ABC est un triangle rectangle en A

hypoténuse

Ecrire la réciproque du théorème de Pythagore :

A ton avis, cette réciproque est-elle vraie ?

La réciproque du théorème de pythagore

Voici le théorème de Pythagore :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

BC² = AB² + AC²

ABC est un triangle rectangle en A

hypoténuse

Voici la réciproque du théorème de Pythagore :

ABC est un triangle rectangle en A

Si

BC² = AB² + AC²

alors

La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu'un triangle est rectangle !

UN EXEMPLE :

Le triangle fED est-il rectangle ?

5 cm

3 cm

4 cm

SOLUTION :

Le plus grand côté est FE.

D'autre part : FD² + DE² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25

D'une part : FE² = 5² = 25

Donc on a : FE² = FD² + DE ²Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle FED est rectangle en D.

UN autre EXEMPLE :

Le triangle ABC est-il rectangle ?

7,5 cm

6 cm

4 ,5 cm

SOLUTION :

Le plus grand côté est ...

D'autre part : ...

D'une part : ...

Donc on a : ......................................Donc d'après ....................................................................... , le triangle ........... est .............................. en ........

UN autre EXEMPLE :

Le triangle ABC est-il rectangle ?

7,5 cm

6 cm

4 ,5 cm

SOLUTION :

Le plus grand côté est AC.

D'autre part : AB² + BC² = 6² + 4,5² = 36 + 20,25 = 56,25

D'une part : AC² = 7,5² = 56,25

Donc on a : AC² = AB² + BC²Donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.

Qu'est-ce qu'une contraposée ?

Voici une phrase :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

je suis un adulte.

j'ai 18 ans

Voici LA CONTRAPOSEE DE CETTE PHRASE :

Négation proposition 1 :

Négation proposition 2

Si

je ne suis pas un adulte

alors

je n'ai pas 18 ans.

Pour écrire la contraposée d'une phrase, il fautinverser les 2 propositions et les mettre à la forme négative. UNE CONTRAPOSEE EST TOUJOURS VRAIE à condition que la phrase au début soit vraie !

qu'est-ce qu'une contraposée ?

Voici une phrase :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

mon diamètre est de 4 cm.

je suis un cercle de rayon 2 cm

Ecrire la contrposée de cette phrase :

La contraposée est vraie !

Qu'est-ce qu'une contraposée ?

Voici une phrase :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

mon diamètre est de 4 cm.

je suis un cercle de rayon 2 cm

Voici LA CONTRAPOSEE DE CETTE PHRASE :

Négation proposition 1 :

Négation proposition 2

Si

mon diamètre n'est pas de 4 cm

alors

je ne suis pas un cercle de rayon 2 cm.

Une contraposée est vraie !

la contraposée du théorème de pythagore

Voici le théorème de Pythagore :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

BC²=AB²+AC²

ABC est un triangle rectangle en A

Ecrire la contraposée du théorème de Pythagore :

Une contraposée est vraie !

La contraposée du théorème de pythagore

Voici le théorème de Pythagore :

Proposition 1 :

Proposition 2

alors

Si

BC² = AB² + AC²

ABC est un triangle rectangle en A

hypoténuse

Voici la contraposée du théorème de Pythagore :

Si

BC² ≠ AB² + AC²

alors

le triangle ABC n'est pas rectangle en A

La contraposée du théorème de Pythagore sert à prouver qu'un triangle n'est pas rectangle !

UN EXEMPLE :

Le triangle SVT est-il rectangle ?

9,5 cm

2,3 cm

9,2 cm

SOLUTION :

Le plus grand côté est ST.

D'autre part : SV² + TV² = 2,3² + 9,2² = 5,29 + 84,64 = 89,93

D'une part : ST² = 9,5² = 90,95

Donc on a : ST² ≠ SV² + VT ²Donc d'après la contrposée du théorème de Pythagore, le triangle SVT n'est pas rectangle.

UN autre EXEMPLE :

Le triangle DBC est-il rectangle ?

11 cm

8 cm

7 cm

SOLUTION :

Le plus grand côté est ...

D'autre part : ...

D'une part : ...

Donc on a : ......................................Donc d'après ....................................................................... , le triangle ..........................................

UN autre EXEMPLE :

Le triangle DBC est-il rectangle ?

11 cm

8 cm

7 cm

SOLUTION :

Le plus grand côté est DC.

D'autre part : DB² + BC² = 8² + 7² = 64 + 49 = 113

D'une part : DC² = 11² = 121

Donc on a : DC² ≠ DB² + BC ²Donc d'après la contrposée du théorème de Pythagore, le triangle DBC n'est pas rectangle.

FIN !