Aleatoriedad

La Aleatoriedad

Simulación

Números aleatorios y pseudoaleatorios

Un número aleatorio es un valor que se obtiene al azar, para identificarlo debe ser asignado a un rango de valores; por ejemplo, puede pertenecer al grupo 1 a 10, o bien, a un conjunto infinito de valores, por lo tanto, cada número tiene la misma probabilidad de ser elegido. Es importante mencionar que la elección de un número no depende de la elección de otro, es decir, no se realiza en un orden concreto.

pseudoaleatorios

Se les denomina de esta forma porque se obtienen de un conjunto de operaciones a partir del número generado en algún paso anterior; por ejemplo, pueden iniciar en el 30 y de ahí generar números aleatorios utilizando una fórmula que no sobrepase el 100

Es importante tener en cuenta que los generadores congruenciales pueden producir secuencias con patrones predecibles si las constantes se eligen incorrectamente, o bien, si se utiliza una semilla débil.

En esta operación cada uno de los elementos representa lo siguiente

Generadores congruenciales

Es un algoritmo matemático utilizado para generar una secuencia de números pseudoaleatorios. Tiene su origen en el año 1951 y utiliza una fórmula matemática que genera el siguiente número de la secuencia a partir del número anterior.

En la estadística, sirve para evaluar la aleatoriedad de datos binarios, es decir, de los números que sólo pueden tomar los valores de 0 y 1. Esto se basa en la idea de contar el número de rachas, o sea, las secuencias consecutivas de valores iguales en los datos, determinando si la secuencia de datos binarios exhibe un patrón sistemático, o bien, si los valores parecen ser generados al azar.

Contrastes de aleatoriedad e independencia

Kolmogórov-Smirnov

Se utiliza principalmente para comparar la distribución empírica de los datos observados con una distribución teórica continua, como la distribución normal, la uniforme o la exponencial. Con ella se evalúa el grado de alejamiento de los datos con respecto a la distribución empírica.

Kolmogórov-Smirnov

Medidas de bondad de ajuste

Son un resumen de la discrepancia que se presenta entre los valores observados y los valores esperados en el modelo de estudio. Dichas medidas se utilizan para comprobar si dos muestras se obtienen a partir de dos distribuciones idénticas, o bien, para detectar si las frecuencias siguen una distribución específica.

Chi cuadradaEs una técnica estadística utilizada para determinar si hay una diferencia significativa entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas en una distribución de frecuencias; se utiliza principalmente cuando se trabaja con variables categóricas o discretas.

Generación de variables aleatorias

En la vida cotidiana existen muchos elementos que dependen de variables, como el peso, la altura o la edad de una persona, así como la distribución geográfica de la población; aunque estos elementos se comportan de una forma aleatoria, es posible hacer inferencias sobre ellos cuando se conoce cómo se distribuyen los datos, de tal forma que se facilite la comprensión de fenómenos complejos de las poblaciones humanas.

Teorema central del límite

Algoritmo de Box-Muller

Métodos generales de simulación

el teorema central del límite es una herramienta de análisis estadístico que contribuye a la realización de inferencias sobre la distribución de observaciones de datos, con lo que es posible construir modelos de simulación que se acerquen de forma eficiente al comportamiento real de los sistemas.

Para la aplicación de este teorema deben considerarse los siguientes tres elementos:

Teorema central del límite

Se trata de una herramienta estadística en la que se determina que, dada una muestra aleatoria lo suficientemente grande de la población, la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal.El teorema central del límite permitirá establecer cómo se comportan las muestras independientemente de su tamaño

Para la resolución de este algoritmo, se recurre a funciones trigonométricas

Algoritmo de Box-Muller

El algoritmo de Box-Muller se basa en la transformación de coordenadas polares en coordenadas cartesianas utilizando variables aleatorias uniformemente distribuidas. A partir de dos números aleatorios uniformes independientes y distribuidos entre 0 y 1, el algoritmo genera dos números aleatorios que se distribuyen en una curva normal.

La simulación de Montecarlo es una técnica estadística utilizada para estimar resultados mediante el muestreo aleatorio y repetido, calculando los posibles resultados de un suceso incierto. Fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial por John von Neumann y Stanisław Ulam y recibe su nombre en referencia a un famoso casino localizado en Mónaco, ya que su enfoque de modelado es similar al juego de la ruleta.

Métodos generales de simulación

Las variables aleatorias son funciones que asignan valores numéricos a los resultados posibles de un experimento aleatorio, para generarlos se emplean diversos métodos en la simulación, uno de ellos se centra en la información de las variaciones del sistema a lo largo del tiempo.

Método basado en distribución empírica Se deriva de una distribución empírica de las variaciones experimentadas. Para ello, se debe recopilar datos empíricos de las variaciones o de las pérdidas experimentadas en un sistema o proceso a lo largo del tiempo. Cabe aclarar que la calidad de sus resultados dependerá del tipo de datos empíricos recopilados.

• Permite generar muestras aleatorias de una distribución discreta con eficiencia constante, ya que los pasos de preparación y construcción sólo se realizan una vez. Esto lo hace particularmente útil en casos donde se necesite generar múltiples muestras aleatorias de una distribución discreta con probabilidades desiguales.

Método de Alias

• Este método permite reducir las comparaciones localizando las zonas en las que se encuentran los números pseudoaleatorios que se han producido. Usando la búsqueda indexada, se utiliza un índice para realizar saltos más grandes y reducir la cantidad de comparaciones necesarias.

Búsqueda indexada

Método de simulación de variables aleatorias discretas

para la simulación de variables que cambian en cada evento o suceso se han desarrollado métodos específicos que tienen una mayor eficiencia para la simulación de sucesos discretos.

Transformación inversa

• Es un enfoque útil para generar valores aleatorios de una distribución específica en simulaciones. Al utilizar la función de distribución acumulativa inversa, se puede mapear un número aleatorio uniforme a un valor correspondient e en la distribución objetivo, permitiendo así simular variables aleatorias con la distribución deseada.