Plan_4e_LFI_Victor

Sept-Oct

Nov-Déc

Janv-Fev

Mars-Avr

Mai-Juin

RITUEL 2

RITUEL 4

RITUEL 1

RITUEL 5

RITUEL 3

RITUEL 6

2 La soustraction

1 L'addition

3 Somme algébrique

maths 4e RITUEL 1Nombres relatifs

➢ Connaître les règles d'addition et de soustraction de nombres relatifs. ➢ Savoir additionner et soustraire des nombres relatifs.

Rituel 1 : Addition et soustractions de nombres relatifs 1 AdditionRègle de calcul : Pour additionner deux nombres relatifs : Cas 1 : Les deux nombres ont le même signe

on ajoute les distances à zéro ;
le résultat est de même signe.

Cas 2 : Les deux nombres ont des signes différents :

on soustraie la plus petite distance à zéro à la plus grande ;
le résultat a le même signe que le nombre ayant la plus grande distance à zéro.

Exemple : Cas 1 : (+5)+(+8)=(+13) (-7)+(-8)=(-15) Cas 2 : (+3)+(-12)=(-9) (+8)+(-5)=(+3) Méthode :

3 Somme algébriqueDéfinition : Une somme algébrique est une suite d’additions et de soustractions de nombres relatifs. Exemple : S = (+12) + (-15) + (+7) – (+17) - (-4) : est une somme algébrique. Méthode 1 : On simplifie directement l’écriture Méthode 2 : On effectue les calculs de la somme algébrique S et on regroupe les de gauche à droite après avoir termes positifs et les termes négatifs. simplifié l’écriture

2 SoustractionPropriété : Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Exemple : A=(-12) - (-2) On transforme la soustraction en addition, puis on prend l'opposé. A=(-12) + (+2) A=(-10)

2 Probabilités des issues : Exemple

1 Notion de probabilités

maths 4e RITUEL 2GRANDEURS COMPOSEESProbabilités

➢ Savoir utiliser l'égalité d = v t pour des calculs de distance parcourue, de vitesse et de temps. ➢ Savoir changer d'unités de vitesse (mètre par seconde et kilomètre par heure). ➢ Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilités : expérience aléatoire, issue, probabilité. ➢ Savoir calculer une probabilité dans des situations simples d'équiprobabilité.

2 Grandeurs quotient

1 Grandeurs produit

1 Grandeurs

2 Probabilités

1 Grandeurs1.1 Grandeurs produitDéfinition : Une grandeur produit est obtenue en multipliant au moins deux grandeurs simples. Exemples : Les aires et les volumes sont des grandeurs produits. Voici d'autres grandeurs produits :

1.2 Grandeurs QuotientDéfinition : Une grandeur quotient est obtenue en divisant deux grandeurs simples. Exemples :

Conversion km/h en m/s : POUR PASSER DES KM/H A M/S, ON MULTIPLIE PAR 1000 ET ON DIVISE PAR 3600 Un avion de chasse vole à la vitesse constante de 500 m/s. Quelle distance aura-t-il parcouru (en km) en 2heures ? En 1 s, il parcourt 500 m ; en 3600s,en 1 heure soit 1800 km. Il parcourt donc 3600 km en 2 heures. POUR PASSER DES M/S A KM/H, ON MULTIPLIE PAR 3600 ET ON DIVISE PAR 1000

1 Notion de probabilitéDéfinition : Une expérience est dite aléatoire lorsqu'elle a plusieurs résultats ou issues possibles et que l'on ne peut pas prévoir avec certitude quelle issue se produira. Vocabulaire : Dire que le résultat d’une expérience est dû au hasard signifie qu’on ne pouvait pas prévoir ce résultat avant de réaliser cette expérience. Exemples : Lancer un dé, jouer au loto, jouer à pile ou face, tirer une boule dans une urne opaque. Vocabulaire : On lance un dé bien équilibré à six faces numérotées de 1 à 6 et on note le numéro de la face supérieure obtenue. On a 6 résultats possibles : 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 Il n’y a qu’une possibilité d’obtenir 5. On dit qu’on a une chance sur six d’obtenir le nombre 5, que l’on peut aussi noter

2 Probabilité des issues : ExempleExemples : Voici trois urnes opaques différentes contenant 10 boules : On tire une boule au hasard dans chaque urne.

Dans l’urne A : Il est très probable de tirer une boule rouge, en effet il y a 7 boules rouges et 3 boules blanches. Donc on a de tirer une boule rouge etde tirer une boule blanche.
Dans l’urne B : Il est certain de tirer une boule rouge, en effet il n’y a que des boules rouges. Donc on ade tirer une boule rouge.
Dans l’urne C : Il est impossible de tirer une boule rouge, en effet il n’y a aucune boule rouge. Donc on ade tirer une boule rouge

Remarque : Un jeu est équitable si les participants ont autant de chances de gagner au départ. On parle de situation équiprobable. Propriétés :

La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme des probabilités des issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

Maths 4e RITUEL 3Distributivite

➢ Savoir développer une expression littérale ➢ Savoir développer en utilisant la double distributivité

simple distributivite

double distributivite

Exercices en vidéo

1 Simple distributivité

2 Double distributivité

Maths 4e RITUEL4PERIMETRE AIREVOLUME

➢ Connaître et savoir appliquer les formules pour calculer la longueur, l’aire des surfaces usuelles et le volume des solides usuels étudiés tout au long du collège.

1 Périmètre

11.1 Unités de longueur

1.3 Longueur / Périmètre d'un cercle

2.3 Aire du parallélogramme

2.2 Aires des figures usuelles

2.1 Unités d'aire

2 Aire

1.2 Périmètre d'un polygone

3 Volume

3.1 Prisme droit et cylindre

3.2 Pyramide et cône de révolution

3.3 Boule

3 Volume 3.1 Pyramide et cône de révolution

3.2 Volume du pyramide et du cône

3.3 Volume d'une boule

1 Périmètres1.1 Unités de longueur

1.2 Périmètre d’un polygoneDéfinition : Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour ( exprimée dans une unité donnée). Exemple : Le périmètre du polygone ABCDE est égal à 23,2 cm.

1.3 Longueur/ périmètre d’un cercleFormule : où r est le rayon du cercle. Exemple : Le périmètre d’un cercle de rayon 7,5 cm est d’environ 47 cm.

2 Aires2.1 Unités d’aire km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

2.2 Aires des figures usuellesDéfinition : L’aire d’une figure est la mesure de sa surface, exprimée dans une unité d’aire donnée.

3 Aire du parallélogrammeFormule :

Maths 4e RITUEL 5Puissance de 10

➢ Connaître la définition d'une puissance de 10. Savoir calculer les puissances de 10. Savoir écrire un nombre décimal sous forme de puissance de 10. Savoir utiliser les égalités suivantes (où m et n sont des entiers relatifs) : ➢ Connaître la définition de l'écriture scientifique. Savoir écrire un nombre décimal en notation scientifique. Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur. ➢ Savoir résoudre des problèmes comportant des puissances.

4 Ecriture scientifique

3 Produit et quotient

1 Carré et cube d'un nombre relatif

2 Puissance de 10

3.1 Produit3.2 Quotient3.3 Puissance de puissance

Séquence 10 : Puissance de 101 Carré et cube d’un nombre relatif Soit a un nombre relatif. Définitions :

Le produit a ✕ a se note a² et se dit « a au carré ».
Le produit a ✕ a ✕ a se note a3 et se dit « a au cube ».

Exemples : Remarque : Il ne faut pas confondre : et Vocabulaires : Dans les expressions ci-dessus, les entiers 2 ou 3 sont appelés exposants. On dit que 25 est une puissance de 5 Convention : Dans une expression numérique sans parenthèse, on commence par les puissances.

4 Écriture Scientifique Définition : Un nombre positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il est de la forme :a ✕ où a est un nombre décimal dont la partie entière est comprise entre 1 et 9, n est un nombre entier relatif Exemples : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :

3.2 Quotient

3 Produit et quotient 3.1 Produit

3.3 Puissance de puissance

2 Puissance de 10 Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2.

Arithmétique

Théorème de Pythagore

Nombres relatifs Partie 2

Mathématiques 4e

Période 1

527395

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Connaître le théorème de Pythagore. ➢ Savoir calculer la longueur d'un côté à partir de celle des deux autres. En donner une valeur exacte ou approchée à l'aide de la calculatrice. ➢ Savoir utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes en s'en servant pour le calcul de longueurs.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Connaître les définitions de multiples, de diviseurs et de notion de nombres premiers ➢ Simplifier une fraction pour la rendre irréductible.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Connaître les règles de multiplication et de division de nombres relatifs : connaître la règle des signes et les priorités de calcul. ➢ Savoir calculer le produit ou le quotient de nombres relatifs. ➢ Savoir calculer des expressions contenant des nombres relatifs.

Proportionnalité

Nombres relatifs Partie 2

Les solides

Mathématiques 4e

Période 2

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Calculer le volume d'un cône de révolution ou d'une pyramide à l'aide de la formule : V = (B x h)/3. ➢ Savoir réaliser le patron d'une pyramide et le patron d'un cône de révolution.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Savoir utiliser, dans le plan muni d'un repère, la caractérisation de la proportionnalité sous la forme d'alignement de points avec l'origine. ➢ Savoir mettre en œuvre la proportionnalité dans des situations simples utilisant à la fois des pourcentages et des quantités ou des effectifs.

Repérage dans l'espace

Mathématiques 4e

Période 3

Calcul littéral

FractionsPartie 1

Réciproque du théorème de Pythagore

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Savoir simplifier une fraction et savoir donner une autre fraction égale à une fraction donnée. ➢ Savoir comparer deux nombres relatifs en écriture fractionnaire. ➢ Connaître les règles d'addition et de soustraction des nombres relatifs en écriture fractionnaire. ➢ Savoir résoudre des problèmes comportant des fractions.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Connaître la réciproque du théorème de Pythagore. ➢ Démontrer qu'un triangle est rectangle ou démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle à partir de la longueur de ses côtés. ➢ Savoir utiliser la réciproque pour résoudre des problèmes.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Connaître la définition des termes : développer, factoriser, distribuer, réduire. ➢ Savoir développer des expressions du type k(a+b), k(a-b) sur des exemples numériques ou littéraux. ➢ Savoir factoriser des expressions simples. ➢ Savoir réduire une expression littérale du type 3x-(4x-2), 2x-3x+x²…. ➢ Savoir calculer la valeur d'une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. Savoir s'en servir pour tester une égalité.

Fractions Partie 2

Statistiques

Puissance de 10

Mathématiques 4e

Période 4

Réciproque du théorème de Pythagore

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Calculer la moyenne ou une moyenne pondérée (4ème) d’une série de données. ➢ Calculer l’étendue, la médiane d’une série statistique. ➢ Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule. ➢ Créer un graphique à partir des données d’une feuille de calcul. ➢ Savoir trier, ordonner et exploiter des données. ➢ Savoir interpréter des données statistiques.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Connaître la définition d'une puissance de 10. Savoir calculer les puissances de 10. Savoir écrire un nombre décimal sous forme de puissance de 10. Savoir utiliser les égalités suivantes (où m et n sont des entiers relatifs) : ➢ Connaître la définition de l'écriture scientifique. Savoir écrire un nombre décimal en notation scientifique. Utiliser la notation scientifique pour obtenir un encadrement ou un ordre de grandeur. ➢ Savoir résoudre des problèmes comportant des puissances.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Connaître les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et de division des nombres relatifs en écriture fractionnaire. ➢ Savoir résoudre des problèmes comportant des fractions.

Translation - Rotation

Equation

Probabilités

Mathématiques 4e

Période 5

Statistiques

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Savoir construire l'image d'un point, d'une demi-droite, d'une droite, d'un segment, d'un cercle, d'un angle et d'une figure. ➢ Connaître les parallélogrammes intervenant dans une translation. ➢ Savoir déterminer s'il existe une transformation pour passer d'une figure à l'autre. ➢ Connaître les propriétés de la translation et de la rotation et savoir les utiliser pour résoudre des problèmes.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Faire approcher la notion de probabilités et de faire découvrir et travailler le vocabulaire à partir d’exemples concrets. ➢ Travailler les arbres de probabilités.

Compétences évaluées dans cette séquence : ➢ Savoir résoudre une équation contenant des développements qui aboutissent à une équation du type a x + b = c x + d. ➢ Savoir effectuer le test d'égalité. ➢ Savoir mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue, savoir interpréter le résultat.

Maths 4e scratch

Découvrir les algorithmes

Quelle est la différence entre un algorithmeetun programme ?

Découvrir le logiciel Sratch

Prise en main

Définition :Un algorithme est une liste d'instructions, à suivre dans un certain ordre, qui aboutit à un ou des résultat(s) souhaité(s). Exemple : L'algorithme ci-dessous permet de tracer un cercle de centre A et de rayon 3 cm. * Placer un point A sur une feuille.* Prendre un compas avec un écartement de 3 cm.* Pointer le compas sur A.* Poser le crayon.* Effectuer un tour complet.

Définition : Un programme est un algorithme écrit dans un langage que peut comprendre une machine (ordinateur, téléphone, calculatrice … ) Exemple : Le programme suivant sert à démarrer un lave-vaisselle dans 3 heures.

Découvrir le logiciel Scratch

Zone de script Il faut glisser/déposer les blocs ici pour écrire un programme.

La scène C'est la zone où l'on peut voir le lutin exécuter le programme en se déplaçant ou en réalisant d'autres actions.

Les blocs La liste des blocs d'instructions du menu choisi apparaît ici.

Les menus Les différentes instructions sont classées par menu de couleur.

Cliquer ici pour choisir un nouveau lutin

Cliquer ici pour choisir ou créer un arrière plan.

Drapeau vert/Bouton stop Il sert à démarrer ou arrêter un programme

Zone de saisie Il suffit de cliquer sur cette zone pour modifier les paramètres du bloc.

maths 4e séquence 1

➢ Connaître les définitions de multiples, de diviseurs et de notion de nombres premiers ➢ Simplifier une fraction pour la rendre irréductible.

Méthode

1 Multiple et diviseur

2 Nombres premiers

Trouver les diviseurs communs à deux nombres

1.1 Définitions 1.2 Critères de divisibilité

Trouver tous les diviseurs d'un nombre

3.1 Définitions3.2 Différentes méthodesApplications

3 Fraction irréductible

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Séquence 1 : Arithmétique 1 Rappel : Multiples et diviseurs 1.1 Définition Définition : Soient a et b deux entiers naturels. On dit que a est un diviseur de b s’il existe un entier k tel que b = k ✕ a (si la division de b par a « tombe juste »). Dans ce cas, on peut aussi dire que : a divise b. b est divisible par a. b est un multiple de a. Exemple : 91 = 7 ✕ 13. On dit que : 91 est un multiple de 7 ou que 7 est un diviseur de 91 ou que 7 divise 91. Remarques :

1 et a sont toujours des diviseurs de a car a = a ✕ 1.
1 est un diviseur commun à tous les nombres.

1.2 Critères de divisibilités Critères de divisibilité : Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0, 2 ,4 ,6 ou 8. Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. Un nombre entier est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres (à droite) est divisible par 4. Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Un nombre entier est divisible par 10 lorsque son chiffre des unités est 0. Exemples : Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12. Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.

Exemple : Trouver tous les diviseurs communs à 12 et 18. On dresse la liste des diviseurs de 12. 12 = 1 x 12 12 = 2 x 6 12 = 3 x 4 Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4; 6 ; 12. On dresse la liste des diviseurs de 18. 18 = 1 x 18 18 = 2 x 9 18 = 3 x 6 Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9; 18. On compare les deux listes : les diviseurs communs à 12 et 18 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 6.

2 Nombres premiers Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Exemples : Voici les nombres premiers inférieur à 20 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19. Remarques :

1 n’est pas un nombre premier car il n’a qu’un seul diviseur.
Deux nombres entiers sont premiers entre eux signifie que leur seul diviseur commun est 1.

3 Fraction irréductible 3.1 Définition Définition : On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

3.2 Différentes méthodes Exemple : Rendre irréductible Méthode 1 : En utilisant les critères de divisibilité. 120 et 84 sont pairs, donc on peut les diviser par 2 : 60 et 42 sont pairs donc on peut les diviser par 2 : 30 et 21 sont des multiples de 3 donc on peut les diviser par 3 : Méthode 2 : En décomposant par facteurs premiers. Méthode 3 : PGCD. HORS PROGRAMME

Maths 4e séquence 2

➢ Connaître le théorème de Pythagore. ➢ Savoir calculer la longueur d'un côté à partir de celle des deux autres. En donner une valeur exacte ou approchée à l'aide de la calculatrice. ➢ Savoir utiliser le théorème de Pythagore pour résoudre des problèmes en s'en servant pour le calcul de longueurs.

Théorème de Pythagore

Problème

Problème exercice

Notions à connaître

Théorème de Pythagore

2 Théorème de PythagoreVocabulaire : Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. Exemple : si ABC est un triangle rectangle en A, alors l'hypoténuse est le côté [BC]. Remarque : l'hypoténuse est aussi le côté du triangle rectangle qui a la plus grande longueur. Théorème : Si un triangle est rectangle, alors le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Le théorème de Pythagore sert à calculer des longueurs. Exemple d’utilisation : Calculer BC On sait que le triangle ABC est rectangle en A. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC² BC² = 8² + 6² BC² = 64 + 36 BC² = 100 BC =10 Le segment [BC] mesure 10 cm Calculer SL On sait que le triangle SDL est rectangle en S. On peut donc utiliser le théorème de Pythagore: DL² = SD² + SL² 13² = 12² + SL² => SL² = 13² − 12² SL² =169 − 144 SL² = 25 SL = 5 Le segment [SL] mesure 5 cm

Séquence 2 : Théorème de Pythagore1 Notions à connaître

Le carré d’un nombre s’obtient en multipliant ce nombre par lui-même.

Soit un nombre : (se lit « au carré »). Un « carré » est toujours positif.

Soit un nombre positif : le nombre positif dont le carré est égal à s’appelle la racine carrée de et se note

Le nombre sur la seconde ligne est obtenu en faisant le carré du nombre sur la première ligne . Le nombre sur la première ligne est obtenu en faisant la racine carrée du nombre sur la seconde ligne. Exemples : Compléter le tableau suivant :

maths 4e séquence 3

➢ Connaître les règles de multiplication et de division de nombres relatifs : connaître la règle des signes et les priorités de calcul. ➢ Savoir calculer le produit ou le quotient de nombres relatifs. ➢ Savoir calculer des expressions contenant des nombres relatifs.

2 Quotients de deux nombres relatifs

1 Produits de deux nombres relatifs

3 Règle de calcul

1.1 Règle : produit de deux nombres 1.2 Signe d’un produit de nombres relatifs

Séquence 3 : Nombres relatifs (Partie 2)1 Produits de deux nombres relatifs1.1 Règle : produit de deux nombresPropriété : Pour multiplier deux nombres relatifs, on applique la règle des signes suivante :

le produit de deux nombres de même signe est positif,
le produit de deux nombres de signes contraire est négatif,
puis on effectue le produit des distances à zéro.

Exemples :

2 Quotients de deux nombres relatifsPropriété : Pour diviser deux nombres relatifs, on effectue le quotient des distances à zéro et on applique la règle des signes de la multiplication. Exemples : Remarque : On note le signe - devant la fraction

3 Règle de calculRègle : Dans une suite de calculs (succession d’opérations) :

On effectue en priorité les calculs entre parenthèses.
En l'absence de parenthèses (ou à l'intérieur de celles-ci) on effectue dans l'ordre :

tous les carrés et les cubes
ensuite toutes les multiplications et les divisions
puis en dernier les additions et les soustractions

Exemples :

1.2 Signe d’un produit de nombres relatifsLe signe d’un produit de nombres relatifs non nuls dépend du nombre de facteurs négatifs, il est positif s’il y en a un nombre pair et négatif s’il y en a un nombre impair.

maths 4e séquence 3

2 Quotients de deux nombres relatifs

1 Produits de deux nombres relatifs

3 Règle de calcul

1.1 Règle : produit de deux nombres 1.2 Signe d’un produit de nombres relatifs

le produit de deux nombres de même signe est positif,
le produit de deux nombres de signes contraire est négatif,
puis on effectue le produit des distances à zéro.

Exemples :

3 Règle de calculRègle : Dans une suite de calculs (succession d’opérations) :

On effectue en priorité les calculs entre parenthèses.
En l'absence de parenthèses (ou à l'intérieur de celles-ci) on effectue dans l'ordre :

tous les carrés et les cubes
ensuite toutes les multiplications et les divisions
puis en dernier les additions et les soustractions

Exemples :

maths 4e séquence 4

➢ Calculer le volume d'un cône de révolution ou d'une pyramide à l'aide de la formule : V = (B x h)/3. ➢ Savoir réaliser le patron d'une pyramide et le patron d'un cône de révolution.

2.1 Définition2.2 Patron2.3 Volume

1 Pyramide

2 Cône de révolution

1.1 Définition1.2 Patron1.3 Volume

2 Cône de révolution 2.1 Définitions

2.2 Patron

Séquence 4 : Les solides 1 Pyramide 1.1 Définitions Définition : Remarques :

2.3 Volume

1.3 Volume

1.2 Différents exemples et patrons

1 Reconnaître une situation de proportionnalité

2 Caractérisation graphique de la proportionnalité

3 POURCENTAGE

Maths 4e séquence 5

➢ Savoir utiliser, dans le plan muni d'un repère, la caractérisation de la proportionnalité sous la forme d'alignement de points avec l'origine. ➢ Savoir mettre en œuvre la proportionnalité dans des situations simples utilisant à la fois des pourcentages et des quantités ou des effectifs.

Rappels : Reconnaître une situation de proportionnalité

Remplir un tableau de proportionnalité

Rappel

Calcul

Pourcentage dans la réunion de deux groupes

Séquence 5 : Proportionnalité1 Reconnaître une situation de proportionnalité1.1 Rappels : Reconnaître une situation de proportionnalitéDéfinition : Deux grandeurs proportionnelles permettent de passer de l'une à l'autre en multipliant ou en divisant toujours par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé coefficient de proportionnalité. Exemple : Méthode 1 : On calcule le coefficient de proportionnalité. Méthode 2 : On peut ajouter ou soustraire deux colonnes pour en obtenir une troisième Méthode 3 : On peut multiplier ou diviser une colonne pour obtenir une deuxième Méthode 4 : On peut utiliser l'égalité de tous les produits en croix

1.2 Remplir un tableau de proportionnalité On peut utiliser les méthodes précédentes ou la quatrième proportionnelle. Propriété : L'égalité des produits en croix permet de calculer une quatrième proportionnelle sans utiliser le coefficient de proportionnalité lorsqu'on connaît les trois autres valeurs. Pour cela, on multiplie les nombres en diagonale, puis on divise par la 3ème valeur connue. Exemple : 2,5 kg de pommes coûtent 6 euros. Combien coûtent 1,8 kg ? Prix 6 ? Poids 2,5 1,8 1,8 kg de pommes coûtent 4,32 euros

3 Pourcentage3.1 RappelPropriété : Appliquer un pourcentage à une quantité revient à la multiplier par une fraction. Exemple : 40% de 600 euros :

3.3 Pourcentage dans la réunion de deux groupesExercice : Dans un collège, parmi les 250 élèves de 6ème et 5ème, 20 % viennent en vélo au collège et parmi les 300 élèves de 4ème et 3ème, 70 % des élèves arrivent en vélo au collège. Quel est le pourcentage des élèves qui viennent à vélo dans ce collège ?

3.2 CalculFormule : Pour augmenter une valeur numérique de x% on multiplie celle-ci par Pour diminuer une valeur numérique de x% on multiplie celle-ci par Exemple : Une veste coûte 80 euros et sera soldé de 20 %. Quel sera son nouveau prix ? OU Total 100 80 Réduction 20 16 Remarque : Les pourcentages ne s'additionnent pas ni ne se soustraient. Exemple : Une télé coûtant 210 euros est soldée de 20 % et une semaine après on effectue en plus un rabais de 30 %. Au total a-t-on soldé cette télé de 50 % ? Quel est le plus avantageux ?

2 Caractérisation graphique de la proportionnalitéPropriétés :

Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors les points sont alignés sur une droite passant par l'origine.
Si les points sont alignés sur une droite passant par l'origine du repère, alors les deux grandeurs sont proportionnelles.

Exemple : Nous allons représenter le périmètre d’un carré en fonction de la longueur du côté ainsi que son aire dans le même repère. Le périmètre du carré est proportionnel à la longueur de son côté. Le coefficient est 4. P = c x 4. Les points de sa représentation graphique sont alignés sur une droite qui passe par l’origine. L’aire du carré n’est pas proportionnelle à la longueur du côté. Les points de sa représentation graphique ne sont pas alignés.

Maths 4e séquence 6

➢ Connaître la définition des termes : développer, factoriser, distribuer, réduire. ➢ Savoir développer des expressions du type k(a+b), k(a-b) sur des exemples numériques ou littéraux. ➢ Savoir factoriser des expressions simples. ➢ Savoir réduire une expression littérale du type 3x-(4x-2), 2x-3x+x²…. ➢ Savoir calculer la valeur d'une expression littérale en donnant aux variables des valeurs numériques. Savoir s'en servir pour tester une égalité.

1 Expression littérale

2 Tableur

1.1 Définitions

1.2 Réduire une expression littérale

1.3 Supprimer des parenthèses

3 Développer et factoriser

3.1 Développer une expression littérale

3.2 Factoriser une expression littérale

Séquence 6 : Calcul littéral1 Expression littérale1.1 DéfinitionsDéfinition : Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont désignés par des lettres. Si une même lettre apparaît plusieurs fois dans l’expression, elle désigne le même nombre. Règle : On peut supprimer le signe ✕ quand il est suivi d’une lettre ou d’une parenthèse. Exemple : 4 ✕ a s’écrit 4 a a ✕ 4 a ✕ b s’écrit a b 2 ✕ ( b - 3) s’écrit 2 (b – 3) 6 ✕ 2 ne s’écrit pas 62 !!!

1.2 Réduire une expression littéraleDéfinition : Réduire une expression littérale, c'est l'écrire sous la forme d'une somme contenant le moins de termes possibles. Pour réduire une expression, on regroupe les « termes identiques » entre eux (« les nombres avec les nombres », « les x avec les x », « les x² avec les x² » , etc.) et on effectue les calculs pour chaque groupe de termes. Exemple:

1.3 Supprimer des parenthèsesDéfinition : Pour supprimer des parenthèses qui ne sont pas suivies d’un signe + ou – dans une expression, on utilise les règles suivantes :

s'il y a un signe "+" devant la parenthèse, on supprime le signe "+" et les parenthèses.
s'il y a un signe "–" devant la parenthèse, on supprime le signe "–" et les parenthèses en changeant le signe de chaque terme à l'intérieur des parenthèses.

Exemples :

3.2 Factoriser une expression littérale Factorisation, c’est transformer une somme en produit. Pour factoriser, il faut trouver l’élément commun dans l’expression (un nombre ou une lettre). Exemples :

3 Développer et factoriser3.1 Développer une expression littéraleDévelopper, c’est transformer un produit en une somme. Pour développer, on utilise les formules de distributivité suivantes : Soient k, a et b trois nombres relatifs. On a : Exemples : Remarque : Supprimer les parenthèses revient à multiplier par 1 ou - 1 Exemples : Exercice : Sans utiliser la calculatrice, détailles les calculs faits mentalement pour trouver le résultat de :

25 x 101 ;
35 x 99 ;
24 x 12.

2 TableurLe volume de la boîte dépend de la longueur qu’on enlève. Appelons cette longueur x. En effet, les dimensions (en cm) de la boîte sont :

longueur : 20 – 2 x
largeur : 20 – 2 x Le « fond » est un carré.
hauteur : x

Nous allons utiliser le tableur pour tester différentes valeurs de x. Un tableur est un logiciel de la forme d’un tableau où l’on peut effectuer des calculs entre les nombres écrits dans les cases de ce tableau. Ce n’est rien qu’une grosse calculatrice. Les cases sont appelées des cellules. Pour effectuer des calculs, on peut repérer ces cellules par leur colonne et leur ligne. Par exemple : 5 est écrit dans la cellule A2 Pour effectuer des calculs, il faut toujours commencer par taper le signe « = ».

Maths 4e séquence 7

1 Sur le pavé droit

Séquence 7 : Repérage dans l'espace 1 Sur le pavé droitDéfinition : Pour repérer un point dans l’espace, il faut trois coordonnées : son abscisse x, son ordonnées y et son altitude z. Exemple : On donne le repère de l’espace représenté ci-dessous défini à parti du parallélépipède ABCDEFGH. Donner l’abscisse, l’ordonnée et l’altitude des sommets du parallélépipède et du milieu K du segment K du segment [FG]. A( 0 ; 0 ; 0 ) E( 0 ; 0 ; 4 ) B( 0 ; 5 ; 0 ) F( 0 ; 5 ; 4 ) C( 7 ; 5 ; 0 ) G( 7 ; 5 ; 4 ) D( 7 ; 0 ; 0 ) H( 7 ; 0 ; 4 ) K( 3,5 ; 5 ; 4 ) Remarque : L’ordre à une importance : (Abscisse ; Ordonnée ; Altitude )

maths 4e séquence 8

➢ Savoir simplifier une fraction et savoir donner une autre fraction égale à une fraction donnée. ➢ Savoir comparer deux nombres relatifs en écriture fractionnaire. ➢ Connaître les règles d'addition et de soustraction des nombres relatifs en écriture fractionnaire. ➢ Savoir résoudre des problèmes comportant des fractions.

EGALITE DE FRACTION

ADDITION ET SOUSTRACTION

2.1 Avec le même dénominateur

2.2 Avec des dénominateurs différents

Séquence 8 : Addition et soustraction de fractions1 Égalité de fractionPropriété : Exemples :

2 Addition et Soustraction 2.1 Avec le même dénominateurPropriétés : Pour additionner (ou soustraire) deux nombres en écriture fractionnaire de même dénominateur :

On additionne les numérateurs
On garde le dénominateur commun.

Formules : Exemples :

2.2 Avec des dénominateurs différents Il est impossible d’additionner ou soustraire des fractions qui ont des dénominateurs différents. Méthode :

Il faut mettre les fractions au même dénominateur. Pour cela, il faut trouver un multiple commun ou multiplier les dénominateurs entre eux.
On applique la propriété ci-dessus.

Exemples : Calculer Remarque : Il faut toujours simplifier les réponses trouvées, si possible.

Maths 4e séquence 9

➢ Connaître la réciproque du théorème de Pythagore. ➢ Démontrer qu'un triangle est rectangle ou démontrer qu'un triangle n'est pas rectangle à partir de la longueur de ses côtés. ➢ Savoir utiliser la réciproque pour résoudre des problèmes.

L’égalité de Pythagore

Exemples d'utilisation

Notion réciproque

Valeur exacte valeur absolue

Réciproque du théorème de Pythagore

Démonstration

2 Exemples d’utilisationExemple d’utilisation 1 : Soit un triangle DEF tel que DE = 13 cm ; DF = 12 cm et EF = 5cm. Démontrer que le triangle DEF est rectangle. Dans le triangle DEF, DE est le plus grand côté : DE² = 13² = 169 DF² + FE² = 12² +5² DF² + FE² = 144 +25 DF² + FE² = 169 On constate que DE² = DF² + FE².L’égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle DEF est rectangle en F. Exemple d’utilisation 2 : Soit un triangle ABC tel que AB = 3 cm ; AC = 4 cm et BC = 6cm. Démontrer que le triangle ABC n’est pas rectangle. Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté : BC² = 6² = 36 AB² + AC² = 3² + 4² AB² + AC² = 9 +16 AB² + AC² = 25 On constate que BC² ≠ AB² + AC². L’égalité de Pythagore n’est pas vérifiée, donc le triangle ABC n’est pas rectangle.

Séquence 9 : Réciproque du théorème de Pythagore1 L’égalité de Pythagore Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle. L’égalité de Pythagore sert à démontrer qu'un triangle est rectangle. Méthode :

Faire un schéma de la situation
Identifier le plus grand côté
Calculer séparément les carrés
Conclusion

Maths 4e séquence 9

L’égalité de Pythagore

Exemples d'utilisation

Notion réciproque

Valeur exacte valeur absolue

Réciproque du théorème de Pythagore

Démonstration

Faire un schéma de la situation
Identifier le plus grand côté
Calculer séparément les carrés
Conclusion

Maths 4e séquence 10

4 Ecriture scientifique

3 Produit et quotient

1 Carré et cube d'un nombre relatif

2 Puissance de 10

3.1 Produit3.2 Quotient3.3 Puissance de puissance

Séquence 10 : Puissance de 101 Carré et cube d’un nombre relatif Soit a un nombre relatif. Définitions :

Le produit a ✕ a se note a² et se dit « a au carré ».
Le produit a ✕ a ✕ a se note a3 et se dit « a au cube ».

3.2 Quotient

3 Produit et quotient 3.1 Produit

3.3 Puissance de puissance

2 Puissance de 10 Soit n un nombre entier supérieur ou égal à 2.

maths 4e séquence 11

➢ Connaître les règles d'addition, de soustraction, de multiplication et de division des nombres relatifs en écriture fractionnaire. ➢ Savoir résoudre des problèmes comportant des fractions.

MULTIPLICATION

INVERSE, QUOTIENT

REGLE DE CALCUL

2.1 L'inverse d'un nombre

2.2 Quotient de deux fractions

Séquence 11 : Fractions (Partie2)1 Multiplication Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Soit a, b, c et d quatre nombres relatifs, avec b et d différents de zéro. On peut écrire :

2 Inverse, quotient 2.1 L’inverse d’un nombre

3 Règle de calcul Les règles de priorité pour les calculs de fractions sont les mêmes que pour les calculs avec des nombres relatifs.

2.2 Quotient de deux fractions

3 Représentations graphique

2 Utilisation de la feuille de calcul

1.4 Médiane

1.3 Moyenne

1.2 Etendue

1.1 Vocabulaire

Séquence 12 : Statistiques 1 Caractéristiques de position et de dispersion1.1 Vocabulaire Voici les notes obtenues par deux élèves lors du second trimestre : Fanny : 15 ; 12 ; 12 ; 10 ; 8 ; 12 ; 12 ; 10. Bertrand : 15 ; 13 ; 11 ; 15 ; 10 ; 3 ; 12 ; 14 ; 16. Définition : La population étudiée ici est un élève (Fanny ou Bertrand) Le caractère étudié est les notes obtenues par l’élève L’effectif total est 8 pour Fanny ou 9 pour Bertrand (nombre de notes) Les valeurs du caractère sont de 0 à 20 La fréquence d’une donnée est le quotient de son effectif par le nombre total des données de cette série (ou effectif total). Exemple : Pour Fanny, la fréquence de la note 10 est donc égale à ou 25 %.

1.2 Étendue Définition : L’étendue d’une série de données est égale à la différence des valeurs extrêmes. C’est une caractéristique de dispersion. Exemple : Pour Bertrand, la dispersion est égale à 16 – 3 = 13 Pour Fanny, la dispersion est égale à 15 – 8 = 7 Il y a 13 notes d’écarts entre la plus haute et la plus basse pour Bertrand et 7 pour Fanny.

1.3 MoyenneMéthode : Pour calculer une moyenne d’une série de valeurs, on effectue la somme de toutes les valeurs et on divise par l’effectif total. Exemple : La moyenne de Bertrand est d’environ de 12 sur 20 Remarque : Lorsqu’une valeur apparaît plusieurs fois, on calcule alors la moyenne pondérée d’une série statistique. Elle s’obtient en 3 étapes : On calcule le produit de chaque valeur par leur coefficient, Puis, on additionne ces produits, Enfin, on divise ce résultat par l'effectif total. Exemple : La moyenne de Fanny est d'environ de 10 sur 20

1.4 Médiane Définition : La médiane d’une série statistique est un nombre (pas forcement une donnée de la série) qui partage cette série en deux sous-séries de même effectif : c’est une caractéristique de position. Exemple : Pour déterminer une médiane, il faut d’abord ranger toutes les valeurs dans l’ordre croissant. Il y a deux cas : Dans chaque cas, il y a autant de valeurs au-dessus qu’en dessous de la médiane. Au moins 50% des notes de Bertrand sont inférieur ou égale à 13. Au moins 50% des notes de Bertrand sont supérieur ou égale à 13.

2 Utilisation d'une feuille de calcul

Maths 4e séquence 12

➢ Calculer la moyenne ou une moyenne pondérée (4ème) d’une série de données. ➢ Calculer l’étendue, la médiane d’une série statistique. ➢ Créer, modifier une feuille de calcul, insérer une formule. ➢ Créer un graphique à partir des données d’une feuille de calcul. ➢ Savoir trier, ordonner et exploiter des données. ➢ Savoir interpréter des données statistiques.

3 Représentations graphiques Exemple : Dans ce tableau, la répartition des notes d’une classe de 4ème à un contrôle d’Histoire.

Exercice

3 Représentations graphique

2 Utilisation de la feuille de calcul

1.4 Médiane

1.3 Moyenne

1.2 Etendue

1.1 Vocabulaire

2 Utilisation d'une feuille de calcul

Maths 4e séquence 12

3 Représentations graphiques Exemple : Dans ce tableau, la répartition des notes d’une classe de 4ème à un contrôle d’Histoire.

Exercice

Maths 4e séquence 13

➢ Savoir résoudre une équation contenant des développements qui aboutissent à une équation du type a x + b = c x + d. ➢ Savoir effectuer le test d'égalité. ➢ Savoir mettre en équation et résoudre un problème conduisant à une équation du premier degré à une inconnue, savoir interpréter le résultat.

1 Vocabulaire

Equations

2 Tester une égalité

3 Méthode de résolution

4 Résolution de problème

Séquence 13 : Équations1 VocabulaireUne équation est une égalité contenant une inconnue (souvent appelée x). Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de x qui rendent cette égalité vraie ; ce sont les solutions de l'équation. Exemple : 4 x = 2 x + 10 est une équation d'inconnue x. Remarque : Dans l'exemple ci-dessus, 4x est le premier membre de l'équation ou membre de gauche et 2x + 10 est le second membre de l'équation ou membre de droite.

2 Tester une égalitéPour tester une égalité, il suffit de remplacer lepar une valeur donnée et vérifié que l’on obtient le même résultat de part et d’autre du =. Exemples : Tester l’égalitépour, puis pour Pour 4 ✕ 2 = 8 et 2 ✕ 2 + 10 = 4 + 10 = 14 donc l’égalité est fausse pour Pour 4 ✕ 5 = 20 et 2 ✕ 5 + 10 = 10 + 10 = 20 donc l’égalité est vraie pour

3 Méthode de résolution On veut résoudre l'équation: Remarque : Il est souhaitable de vérifier son résultat ! Pour cela, on remplace x par la solution trouvée dans l'énoncé.

4 Résolution de problème

Maths 4e séquence 14

➢ Savoir construire l'image d'un point, d'une demi-droite, d'une droite, d'un segment, d'un cercle, d'un angle et d'une figure. ➢ Connaître les parallélogrammes intervenant dans une translation. ➢ Savoir déterminer s'il existe une transformation pour passer d'une figure à l'autre. ➢ Connaître les propriétés de la translation et de la rotation et savoir les utiliser pour résoudre des problèmes.

3 Frise et pavage

2 Rotation

1 Translation

Reconnaitre

Construire

Exercices

Reconnaitre

Exercice

Construire

3 Frise et PavageDéfinition : Une frise est une figure géométrique constituée d’un motif de base reproduit dans une seule direction par des translations et/ou des symétries. Exemple : Définition : Un pavage est une façon de remplir un plan à l’aide d’un motif qui se répète sans laisser d’espace libre et sans superposition entre les motifs. Exemple : En prenant pour motif de base le dessin suivant, on obtient le pavage ci-contre en effectuant des symétries centrales et des translations :

2 RotationDéfinition : Quand on fait tourner une figure autour d’un point et d’un certain angle (sans la déformer ou l’agrandir) tout en respectant un sens, on dit qu e l’on fait une rotation. Exemple : La figure A’B’C’D’ est obtenue par rotation de la figure ABCD autour du point O avec un angle de 60° dans le sens des aiguilles d’une montre. Remarques :

La forme et la taille de la figure sont conservées.
Le point O est invariant.

Méthode de construction : Construire l’image du point M par la rotation de centre O et d’angle 120° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.

On construit la demi-droite [O x) tel que l’anglemesure 120° dans le sens contraire des aiguilles d’une montre.
A l’aide du compas, on reporte la longueur OM sur la demi-droite [O x) à partir du point O.

Séquence 14 : Translations et Rotations 1 Translation Définition : Quand on fait glisser une figure, on dit que l’on fait une translation. Remarque : Une translation fait glisser une forme dans une direction, un sens et une longueur donnés. Exemple : Sur la figure ci-dessous, on peut décrire cette translation en disant qu’on s’est déplacé horizontalement de 3 carreaux vers la droite et de 1 carreau vers le haut. Remarques :

La forme et la taille de la figure sont conservées.
et les droitessont parallèles.
AA'B'A est un parallélogramme.

Méthode de construction : Placer le point D, image de C par la translation qui transforme A en B.

Tracer la parallèle à (AB) passant par C,
Reporter la longueur de [AB] tel que AB = CD Ou
On prend l'écartement entre A et B et on pointe sur C pour former un premier arc de cercle.
On prend l'écartement entre A et C et on pointe sur B pour former un deuxième arc de cercle.

Maths 4e séquence 15

➢ Faire approcher la notion de probabilités et de faire découvrir et travailler le vocabulaire à partir d’exemples concrets. ➢ Travailler les arbres de probabilités.

1 Vocabulaire

2 Probabilité d’un évènement

Séquence 15 : Probabilités 1 VocabulaireDéfinitions : Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat avec certitude. Chacun des résultats possibles de l’expérience est appelé issue. Exemple : Si on lance un dé à 6 faces. On ne peut pas savoir à l’avance le résultat et cette expérience admet six issues : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. Définitions :

Un événement A est un ensemble d’issues. On dit qu’il est réalisé lorsque le résultat de l’expérience est l’une des issues qui le composent.
Un événement certain est toujours réalisé. Il contient toutes les issues.

Propriétés :

La probabilité d'une issue est un nombre compris entre 0 et 1.
La somme des probabilités des issues d'une expérience aléatoire est égale à 1.

Un événement impossible n’est jamais réalisé. Il ne contient aucune issue. Exemples : Avec l’exemple précédent,

l’événement A : « On obtient un nombre impair » est un événement réalisé par les issues {1 ; 3 ; 5}.
L’événement B : « On obtient 4 » est un événement réalisé par une issue {4}.
L’événement C :« On obtient 7 » est un événement impossible. Il ne contient aucune issue.
L’événement D : « On obtient un nombre compris entre 1 et 6 inclus » est un événement certain. Il contient les 6 issues.

2 Probabilité d'un évènementDéfinitions : Lorsqu’on effectue un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’un événement A se rapproche d’une « fréquence théorique », appelé probabilité d’un événement A et notée p(A). Définition : Lorsque toutes les issues d’une expérience ont la même probabilité, on dit qu’il s’agit d’une situation d’équiprobabilité. Exemple : Dans notre exemple, on a autant de chance d’obtenir chaque chiffre. Propriétés : Si dans une expérience, toutes les issues ont la même probabilité, la probabilité d’un événement A est donc : Exemple : On reprend l’exemple précédent.

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LET’S GO TO LONDON!

SLYCE DECK

ENERGY KEY ACHIEVEMENTS

CULTURAL HERITAGE AND ART KEY ACHIEVEMENTS

ABOUT THE EEA GRANTS AND NORWAY

DOWNFALLL OF ARAB RULE IN AL-ANDALUS

HUMAN AND SOCIAL DEVELOPMENT KEY

Transcript