Presentación Esencial

La aleatoriedad y los modelos para la generación de variables aleatorias.

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¡Vamos!

Números aleatorios y pseudoaleatorios

Un número aleatorio es un valor que se obtiene al azar, para identificarlo debe ser asignado a un rango de valores; por ejemplo, puede pertenecer al grupo 1 a 10, o bien, a un conjunto infinito de valores, por lo tanto, cada número tiene la misma probabilidad de ser elegido. Es importante mencionar que la elección de un número no depende de la elección de otro, es decir, no se realiza en un orden concreto.

Una barrera de seguridad que se implementa en la mayoría de aplicaciones móviles en las que se realizan operaciones bancarias es el uso de un token de seguridad, el cual consiste en una serie de números aleatorios que cambian en determinado intervalo para comprobar la identidad del usuario, así, se impide el acceso a la cuenta a personas no autorizadas.

Números pseudoaleatorios

Se les denomina de esta forma porque se obtienen de un conjunto de operaciones a partir del número generado en algún paso anterior; por ejemplo, pueden iniciar en el 30 y de ahí generar números aleatorios utilizando una fórmula que no sobrepase el 100.Ventajas; Son un método muy eficiente para la generación de números aleatorios debido a su bajo costo y rapidez.Desventajas; Debido a su carácter finito, ya que el intervalo de números tiene un límite, es posible que los valores aleatorios se repitan con frecuencia.

Generadores congruenciales

Es un algoritmo matemático utilizado para generar una secuencia de números pseudoaleatorios. Tiene su origen en el año 1951 y utiliza una fórmula matemática que genera el siguiente número de la secuencia a partir del número anterior.Representacion

Contrastes de bondad de ajuste

Son un resumen de la discrepancia que se presenta entre los valores observados y los valores esperados en el modelo de estudio. Dichas medidas se utilizan para comprobar si dos muestras se obtienen a partir de dos distribuciones idénticas, o bien, para detectar si las frecuencias siguen una distribución específica.Kolmogórov-Smirnov; Se utiliza principalmente para comparar la distribución empírica de los datos observados con una distribución teórica continua, como la distribución normal, la uniforme o la exponencial. Con ella se evalúa el grado de alejamiento de los datos con respecto a la distribución empírica.Chi cuadrada; Es una técnica estadística utilizada para determinar si hay una diferencia significativa entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas en una distribución de frecuencias; se utiliza principalmente cuando se trabaja con variables categóricas o discretas.

P-valor

indica cuál es la probabilidad de obtener un valor del estadístico de contraste, permitiendo identificar si la observación de los datos corresponde a una distribución de probabilidad o no. Cuando estos valores son pequeños, se puede afirmar que las observaciones se comportan como la distribución de probabilidad establecida.

Contrastes de aleatoriedad e independencia

• Los números generados no siguen ningún patrón.
• Las observaciones son independientes.
• Las observaciones son aleatorias.

En la estadística, sirve para evaluar la aleatoriedad de datos binarios, es decir, de los números que sólo pueden tomar los valores de 0 y 1. Esto se basa en la idea de contar el número de rachas, o sea, las secuencias consecutivas de valores iguales en los datos, determinando si la secuencia de datos binarios exhibe un patrón sistemático, o bien, si los valores parecen ser generados al azar.Los algoritmos de cifrado utilizan claves que son esencialmente cadenas de números aleatorios para proteger la información, para ello, se emplean generadores criptográficos que producen este tipo de valores, ya que, si los números son predecibles, los atacantes podrían descubrir la clave y descifrar la información protegida. Además, los números aleatorios se usan para verificar la identidad de los usuarios por medio de tokens con números al azar.

Generación de variables aleatorias

Teorema central del límiteEl teorema central del límite es una herramienta poderosa en estadística que permite realizar inferencias sobre grandes poblaciones de datos; dado que este método trabaja con muestras aleatorias, es importante conocer en primer lugar a qué se refiere este concepto y cuáles son sus características.Se trata de una herramienta estadística en la que se determina que, dada una muestra aleatoria lo suficientemente grande de la población, la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal.

Aplicacion

Estimación y pruebas; Permite realizar inferencias de los parámetros de una población y comprobar hipótesis acerca de ellos; por ejemplo, si dos poblaciones tienen medias diferentes se define cuál es su comportamiento.Predicción y pronóstico; Usando técnicas de análisis de datos es posible establecer cómo se comportarán los intervalos de datos de una muestra.Análisis de muestras; Cuando las distribuciones de las muestras no se conocen, permite realizar inferencias de su distribución independientemente del tamaño de la muestra.Simulación; Permite generar datos aleatorios que sigan una distribución normal, ayudando a crear modelos realistas.

Algoritmo de Box-Muller

El algoritmo de Box-Muller se basa en la transformación de coordenadas polares en coordenadas cartesianas utilizando variables aleatorias uniformemente distribuidas. A partir de dos números aleatorios uniformes independientes y distribuidos entre 0 y 1, el algoritmo genera dos números aleatorios que se distribuyen en una curva normal.

APLICACION

Modelado; Genera números aleatorios que respondan a los datos observados, permitiendo modelar el comportamiento de fenómenos naturales, por ello, resulta útil en la ingeniería y la ciencia.Simulación; Permite la generación de datos aleatorios con distribuciones normales para la simulación de sistemas complejos, como redes de comunicación o sistemas financieros.

• Logaritmo natural
• Seno
• Coseno

Métodos generales de simulación

Las variables aleatorias son funciones que asignan valores numéricos a los resultados posibles de un experimento aleatorio, para generarlos se emplean diversos métodos en la simulación, uno de ellos se centra en la información de las variaciones del sistema a lo largo del tiempo.

Método basado en distribución empírica

Se deriva de una distribución empírica de las variaciones experimentadas. Para ello, se debe recopilar datos empíricos de las variaciones o de las pérdidas experimentadas en un sistema o proceso a lo largo del tiempo. Cabe aclarar que la calidad de sus resultados dependerá del tipo de datos empíricos recopilados.

Simulación de Montecarlo

La simulación de Montecarlo es una técnica estadística utilizada para estimar resultados mediante el muestreo aleatorio y repetido, calculando los posibles resultados de un suceso incierto. Fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial por John von Neumann y Stanisław Ulam y recibe su nombre en referencia a un famoso casino localizado en Mónaco, ya que su enfoque de modelado es similar al juego de la ruleta.

CARACTERISTICAS

Muestreo aleatorio; Permite estimar resultados basados en un muestreo al azar siguiendo una distribución de probabilidad específica, por ejemplo, la distribución de probabilidad normal.Alta capacidad; Es especialmente adecuado para modelar y cuantificar la incertidumbre en problemas complejos, permitiendo considerar la imprecisión de las variables de entrada de un sistema.Flexibilidad; Puede adaptarse a diversos tipos de problemas, desde la simulación de sistemas físicos hasta la optimización de carteras financieras. Escalabilidad; A medida que aumenta el poder de procesamiento y los recursos computacionales, es posible realizar simulaciones con un mayor número de muestras para obtener estimaciones más precisas.

DEFINICIONES

Transformación inversa; Es un enfoque útil para generar valores aleatorios de una distribución específica en simulaciones. Al utilizar la función de distribución acumulativa inversa, se puede mapear un número aleatorio uniforme a un valor correspondiente en la distribución objetivo, permitiendo así simular variables aleatorias con la distribución deseada.Búsqueda indexada; Este método permite reducir las comparaciones localizando las zonas en las que se encuentran los números pseudoaleatorios que se han producido. Usando la búsqueda indexada, se utiliza un índice para realizar saltos más grandes y reducir la cantidad de comparaciones necesarias.Método de Alias; Permite generar muestras aleatorias de una distribución discreta con eficiencia constante, ya que los pasos de preparación y construcción sólo se realizan una vez. Esto lo hace particularmente útil en casos donde se necesite generar múltiples muestras aleatorias de una distribución discreta con probabilidades desiguales.

CONCEPTO

La simulación de sistemas financieros usando el método Montecarlo proporciona una forma robusta y precisa de valorar activos, gestionar riesgos de inversiones, optimizar carteras y analizar el impacto de diferentes variables en los resultados financieros. Además, ayuda a tomar decisiones más fundamentadas para invertir en ciertos productos o mercados, así como a comprender mejor la incertidumbre inherente en los mercados financieros.

Por su atencion , muchas gracias