LIMITES Y CONTINUIDAD

Límites y Continuidad

Joselyn Guadalupe Zapata Mut

06/10/18

Índice

Unidad 2: Límites y Continuidad

2.1 Introducción al concepto de límite.

2.1.4 Propiedades de los límites.

2.2.3 Límites de funciones trascendentes.

2.3 Continuidad en un punto y en un intervalo.

2.1.1Definición intuitiva de límites

2.2 Cálculo de límites por métodos algebraicos

2.2.3.1. Trigonométricas.

2.4 Tipos de discontinuidades.

2.2.3.2. Exponenciales y logarítmicas.

2.1.2 Concepto de indeterminación y sus distintas formas.

2.2.1 Límites laterales.

2.3.4 Límites infinitos y al infinito.

2.2.2 Límites de funciones racionales.

2.1.3 Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico.

Introducción

UNIDAD 2

Los límites son uno de los conceptos fundamentales en matemáticas, especialmente en cálculo y análisis. Nos permiten describir el comportamiento de una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor específico. Los límites son esenciales para definir conceptos clave como la derivada y la integral, que a su vez son fundamentales para entender el cambio y la acumulación en numerosos contextos científicos y de ingeniería. Además, el estudio de los límites ayuda a resolver problemas de indeterminación, continuidad y divergencia, proporcionando herramientas poderosas para el análisis de fenómenos en matemáticas y más allá.

02

2.1

Introducción al concepto de límite

Límite de una función en una variable real

"El límite de una función describe el comportamiento de la función a medida que la variable independiente se aproxima a un valor específico." La idea de límite de una función f(x), cuando x se aproxima a un valor a se desarrolla asignando valores a x cada vez más pequeños en tanto ésta se aproxima al número a.

2.1.1

Definición intuitiva de límite

Definición intuitiva de límite.

"Intuitivamente, el límite de 𝑓(𝑥) cuando x se aproxima 𝑎 ,a es el valor al que se acerca 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 se aproxima 𝑎." Es decir, representa el valor al que se aproxima una función cuando la variable independiente se acerca a un determinado valor, sin necesariamente alcanzarlo.

2.1.2

Concepto de indeterminación y sus distintas formas.

Interdeminación

Una indeterminación matemática es una expresión algebraica que aparece en el cálculo de los límites y cuyo resultado no se puede predecir. Cuando aparece una indeterminación en un límite, el límite depende de la propia función. Esto conlleva que, aunque aparezca la misma indeterminación, el límite puede ser distinto para funciones distintas.

2.1.3

Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico.

Método de tabulación

La creación de una tabla es una forma de determinar límites mediante información numérica. Creamos una tabla de valores en la que los valores de entrada de x se acercan a a de ambos lados. Luego determinamos si los valores de salida se acercan cada vez más a algún valor real, el límite L.

Método gráfico

Para determinar visualmente si existe un límite a medida que x se acerca a a, observamos el gráfico de la función cuando x está muy cerca de x=a. En la Figura observamos el comportamiento del gráfico a ambos lados de a.

2.1.4

Propiedades de los límites.

Propiedades de los límites.

Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites. Sean f(x) y g(x) dos funciones definidas en un mismo intervalo en donde está el valor a del límite y k una constante.

2.2

Cálculo de límites por métodos algebraicos.

Cálculo de límites por métodos algebraicos:

"El cálculo algebraico de límites implica el uso de técnicas como factorización, racionalización y simplificación."

Factorización

Racionalización

Multiplicación

2.2.1

Límites laterales.

Límites laterales

"Un límite lateral es el valor que toma la función cuando 𝑥 se aproxima a 𝑎 desde un solo lado, ya sea por la izquierda (𝑥→𝑎−) o por la derecha (𝑥→𝑎+ )."

""Limite por la derecha"

""Limite por la izquierda"

2.2.2

Límites de funciones racionales.

Límites de funciones racionales

"Los límites de funciones racionales se calculan simplificando la expresión y evaluando el límite directamente." Donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(x) no puede ser 0 (para que la función esté bien definida). El objetivo es encontrar el límite de f(x) cuando x tiende a un número específico o al infinito.

2.2.3

Límites de funciones trascendentes.

Límites de funciones trascendentes

"Las funciones trascendentes son aquellas funciones matemáticas que no pueden ser expresadas algebraicamente a través de un número finito de operaciones algebraicas, como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Estas incluyen las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y las hiperbólicas."

2.2.3.1

Trigonométricas.

Trigonométricas

Se ha visto que los límites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular por sustitución directa. Cada una de las seis funciones trigonométricas básicas también posee esta deseable propiedad. O sea, el límite de cada función trigonométrica en un punto es igual a la imagen de la función en ese punto.

2.2.3.2

Exponenciales y logarítmicas.

Logarítmicas

Exponenciales

Recordemos que las funciones logarítmicas son funciones reales que tienen la forma f(x)= log ax, donde a es un número positivo distinto de 1 y x es un número positivo (estas restricciones vienen dadas por la definición de logaritmo). La función logarítmica es continua en su dominio, los números reales positivos. Su rango es el conjunto de los números reales.

Recordemos que la función exponencial es del tipo f(x)=ax, siendo a un número positivo diferente de 1. La variable de la función está en el exponente. Si la base a es mayor que 1 (a>1), la función exponencial es continua y estrictamente creciente y su dominio es el conjunto de los números reales. Si, por el contrario, a es menor que 1 (0<a<1), la función es estrictamente decreciente.

2.2.4

Límites infinitos y al infinito.

Límites infinitos y al infinito

"Un límite infinito ocurre cuando la función crece sin límite a medida que 𝑥 se aproxima a un valor, mientras que un límite al infinito ocurre cuando 𝑥 se aproxima a infinito."

2.3

Continuidad en un punto y en un intervalo.

En un intervalo

En un punto

Una función f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b), si es continua en todo punto del intervalo. Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a. b] si es continua en (a, b) y:

En términos de límites podemos decir que una función es continua en un punto x0 si: Aunque también podemos decir que una función es continua en un punto x0 si está definida en ese punto f(x0).

2.4

Tipos de discontinuidades.

REFERENCIAS

Matesfacil. (n.d.). Indeterminación: Infinito partido por infinito. Ejemplos y regla de L'Hopital. Matesfacil. https://www.matesfacil.com/BAC/limites/indeterminaciones/introduccion/indeterminacion-forma-indeterminada-infinito-partido-ejemplos-lhopital.html OpenStax. (n.d.). Hallar los límites: Enfoques numéricos y gráficos. OpenStax. https://openstax.org/books/prec%C3%A1lculo-2ed/pages/12-1-hallar-los-limites-enfoques-numericos-y-graficos Universo Fórmulas. (n.d.). Propiedades de los límites. Universo Fórmulas. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/propiedades-limites/ Universidad Nacional Autónoma de México. (n.d.). Procedimientos algebraicos para determinar el límite de funciones. Portal Académico CCH UNAM. https://portalacademico.cch.unam.mx/calculo1/concepto-del-limite-de-una-funcion/procedimientos-algebraicos-para-determinar-el-limite-de-funciones

REFERENCIAS

Autor desconocido. (n.d.). Límites - Clases (PDF). http://virtuallearning.260mb.net/Documentos/L%C3%ADmites%20-%20clases.pdf?i=1 Fisicalab. (n.d.). Límites laterales. Fisicalab. https://www.fisicalab.com/apartado/limites-laterales Flamath. (n.d.). Límites de funciones trascendentes. Flamath. https://flamath.com/limites-funciones-trascendentes Calculolímitesycontinuidad. (n.d.). Límites infinitos y límites al infinito. Wordpress. https://calculolimitesycontinuidad.wordpress.com/limites-infinitos-limites-al-infinito/ Curso para la UNAM. (n.d.). Continuidad en un punto y en un intervalo. Curso para la UNAM. https://cursoparalaunam.com/continuidad-en-un-punto-y-en-un-intervalo Funciones.xyz. (n.d.). Tipos de discontinuidades. Funciones.xyz. https://www.funciones.xyz/tipos-de-discontinuidades/.

Conclusión

En resumen, los límites son un concepto fundamental en el estudio de las matemáticas, que permiten comprender el comportamiento de las funciones en puntos críticos y a lo largo de intervalos. A través de las diferentes técnicas de cálculo, como métodos algebraicos, tabulares y gráficos, hemos explorado cómo los límites nos ayudan a analizar la continuidad y las discontinuidades de las funciones. Además, hemos aprendido sobre las propiedades de los límites y su aplicación en diversas funciones, incluyendo las racionales y trascendentes. La importancia de los límites se extiende más allá del ámbito académico, ya que son esenciales en campos como la física, la ingeniería y la economía, donde se requiere modelar cambios y comportamientos complejos.

¡Gracias!

Para determinar si existe un límite izquierdo, observamos la rama del gráfico a la izquierda de x=a, pero cerca de x=a. Aquí es donde x<a. Vemos que las salidas se acercan a algún número real L por lo que hay un límite izquierdo.Para determinar si existe un límite derecho, observe la rama del gráfico a la derecha de x=a, pero cerca de x=a. Aquí es donde x>a. Vemos que las salidas se acercan a algún número real L, por lo que hay un límite derecho.

Resolver con factorización

Cuando tenemos una expresión algebraica fraccionaria o racional, debemos proceder de la siguiente manera:1. Factorizamos las expresiones algebraicas en el numerador y en el denominador. 2. Simplificamos los factores que sean iguales arriba y abajo. 3. Reemplazamos la variable por el valor dado y obtenemos el resultado del límite. 4. Si aún no se ha quitado la indeterminación, repetimos los pasos 1 al 3 hasta levantar la indeterminación-

Resolver con racionalización

Para resolver un límite con este caso, debemos proceder de la siguiente manera: 1. Multiplicamos arriba y abajo por el radical del denominador. 2. Factorizamos las expresiones algebraicas en el numerador y en el denominador. 3. Simplificamos los factores que sean iguales arriba y abajo. 4. Reemplazamos la variable por el valor dado y obtenemos el resultado del límite. 5. Si aún no se ha quitado la indeterminación, repetimos los pasos 1 al 4 hasta levantar la indeterminación.

Resolver multiplicando por el conjugado

Para resolver un límite con este caso, debemos proceder de la siguiente manera: 1. Multiplicamos arriba y abajo por el conjugado del denominador para cancelar las raíces del denominador. 2. Factorizamos las expresiones algebraicas en el numerador y en el denominador. 3. Simplificamos los factores que sean iguales arriba y abajo. 4. Reemplazamos la variable por el valor dado y obtenemos el resultado del límite. 5. Si aún no se ha quitado la indeterminación, repetimos los pasos 1 al 4 hasta levantar la indeterminación.

El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la izquierda es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores menores que a. Pueden darse los siguientes casos.

El valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a a por la derecha es el valor al que se acerca y=f(x) cuando x se acerca a a tomando valores mayores que a. Pueden darse los siguientes casos.