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Transcript

Aleatoriedad y modelos para

la generación de variables aleatorias

Definición

La aleatoriedad describe procesos cuyos resultados no pueden predecirse de forma determinista, pero que siguen una distribución o patrón probabilístico, algunos ejemplos son: Lanzamiento de una moneda, la tirada de un dado, el clima. Algunas caracteristicas claves pueden ser la incertidumbre ya que no se puede predecir el resultado exacto y la distribución, por que aunque el resultado específico es incierto, los patrones a largo plazo pueden seguir una distribución predecible

Numeros Pseudoaleatorios
Numeros Aleatorios

Números aleatorios y pseudoaleatorios

Un número aleatorio es un valor que se obtiene al azar, para identificarlo debe ser asignado a un rango de valores; por ejemplo, puede pertenecer al grupo 1 a 10, o bien, a un conjunto infinito de valores, por lo tanto, cada número tiene la misma probabilidad de ser elegido.

Se les denomina de esta forma porque se obtienen de un conjunto de operaciones a partir del número generado en algún paso anterior; por ejemplo, pueden iniciar en el 30 y de ahí generar números aleatorios utilizando una fórmula que no sobrepase el 100.

Generadores congruenciales

¿Qué es un generador congruencial lineal?Es un algoritmo matemático utilizado para generar una secuencia de números pseudoaleatorios. Tiene su origen en el año 1951 y utiliza una fórmula matemática que genera el siguiente número de la secuencia a partir del número anterior.Es importante tener en cuenta que los generadores congruenciales pueden producir secuencias con patrones predecibles si las constantes se eligen incorrectamente, o bien, si se utiliza una semilla débil.

Es una técnica estadística utilizada para determinar si hay una diferencia significativa entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas en una distribución de frecuencias; se utiliza principalmente cuando se trabaja con variables categóricas o discretas.

Se utiliza principalmente para comparar la distribución empírica de los datos observados con una distribución teórica continua, como la distribución normal, la uniforme o la exponencial. Con ella se evalúa el grado de alejamiento de los datos con respecto a la distribución empírica.

Chi cuadrada
Kolmogórov-Smirnov

Son un resumen de la discrepancia que se presenta entre los valores observados y los valores esperados en el modelo de estudio. Dichas medidas se utilizan para comprobar si dos muestras se obtienen a partir de dos distribuciones idénticas, o bien, para detectar si las frecuencias siguen una distribución específica.

Contrastes de bondad de ajuste

Contrastes de aleatoriedad e independencia

En la estadística, sirve para evaluar la aleatoriedad de datos binarios, es decir, de los números que sólo pueden tomar los valores de 0 y 1. Esto se basa en la idea de contar el número de rachas, o sea, las secuencias consecutivas de valores iguales en los datos, determinando si la secuencia de datos binarios exhibe un patrón sistemático, o bien, si los valores parecen ser generados al azar.

Teorema central del límite

El teorema central del límite es una herramienta poderosa en estadística que permite realizar inferencias sobre grandes poblaciones de datos; dado que este método trabaja con muestras aleatorias, Se trata de una herramienta estadística en la que se determina que, dada una muestra aleatoria lo suficientemente grande de la población, la distribución de las medias muestrales seguirá una distribución normal.

Algoritmo de Box-Muller

El algoritmo de Box-Muller se basa en la transformación de coordenadas polares en coordenadas cartesianas utilizando variables aleatorias uniformemente distribuidas. A partir de dos números aleatorios uniformes independientes y distribuidos entre 0 y 1, el algoritmo genera dos números aleatorios que se distribuyen en una curva normal.

La simulación de Montecarlo es una técnica estadística utilizada para estimar resultados mediante el muestreo aleatorio y repetido, calculando los posibles resultados de un suceso incierto. Fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial por John von Neumann y Stanisław Ulam y recibe su nombre en referencia a un famoso casino localizado en Mónaco, ya que su enfoque de modelado es similar al juego de la ruleta.

Método de simulación de Montecarlo

Se deriva de una distribución empírica de las variaciones experimentadas. Para ello, se debe recopilar datos empíricos de las variaciones o de las pérdidas experimentadas en un sistema o proceso a lo largo del tiempo. Cabe aclarar que la calidad de sus resultados dependerá del tipo de datos empíricos recopilados.

Método basado en distribución empírica

Las variables aleatorias son funciones que asignan valores numéricos a los resultados posibles de un experimento aleatorio, para generarlos se emplean diversos métodos en la simulación

Métodos generales de simulación

Permite generar muestras aleatorias de una distribución discreta con eficiencia constante, ya que los pasos de preparación y construcción sólo se realizan una vez. Esto lo hace particularmente útil en casos donde se necesite generar múltiples muestras aleatorias de una distribución discreta con probabilidades desiguales.

Método de Alias
Búsqueda indexada

Método de simulación de variables aleatorias discretas

Transformación inversa

Es un enfoque útil para generar valores aleatorios de una distribución específica en simulaciones. Al utilizar la función de distribución acumulativa inversa, se puede mapear un número aleatorio uniforme a un valor correspondiente en la distribución objetivo

Este método permite reducir las comparaciones localizando las zonas en las que se encuentran los números pseudoaleatorios que se han producido. Usando la búsqueda indexada, se utiliza un índice para realizar saltos más grandes y reducir la cantidad de comparaciones necesarias.

Utilizar simuladores en línea para cada tipo de distribución y para generar números aleatorios, con gráficos que muestren en tiempo real cómo varían los resultados al cambiar los parámetros.

¿Dónde crees que puedes aplicar los conceptos de aleatoriedad en tu vida diaria?

En conclusión la aleatoriedad es una herramienta poderosa en matemáticas, ciencia, y tecnología, los modelos probabilísticos permiten describir y simular fenómenos inciertos, la generación de números aleatorios es esencial para aplicaciones como criptografía, simulaciones y aprendizaje automático.

Conclusión

Gracias.