UNIDAD 2 CALCULO DIFERENCIAL

UNIDAD 2

Introducción al concepto de límite de una función de variable real:

Empezar

Chable Chi Abraham Alejandro

2.2.3 Límites de funciones trascendentes:

2.1.1 Definición intuitiva de límite

2.2.3.1. Trigonométricas.

2.1.2 Concepto de indeterminación y sus distintas formas:

2.2.3.2. Exponenciales y logarítmicas.

2.1.3 Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico.

2.3.4 Límites infinitos y al infinito.

2.1.4 Propiedades de los límites.

2.3 Continuidad en un punto y en un intervalo.

2.2 Cálculo de límites por métodos algebraicos:

2.4 Tipos de discontinuidades.

2.2.1 Límites laterales.

2.2.2 Límites de funciones racionales.

2.1.1 Definición intuitiva de límite

El concepto de límite se refiere a la idea de qué valor se acerca una función a medida que la variable independiente se acerca a cierto punto.

2.1.2 Concepto de indeterminación y sus distintas formas:

Una indeterminación o indeterminada es una operación cuyo resultado no está definido. Es habitual obtener este tipo de expresiones al intentar resolver límites, ya sean en un punto o en el infinito.

¿Qué camino tomar cuando se presenta una operación indeterminada en la resolución de un límite?

CUADRO RESUMEN

ESPECIFICACIONES

2.1.3 Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico.

Método Tabular

El primer paso en el método tabular es el ordenamiento de los datos, esto quiere decir, el ajuste de los datos conforme a un antes y un después. El ordenamiento puede ser ascendente o descendente, conforme los datos vayan antes de un dato mayor o menor respectivamente.

2.1.3 Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico.

Método Grafico

El método gráfico para calcular límites de una función se basa en visualizar el comportamiento de la función al aplicar el límite en un punto, tanto por la derecha como por la izquierda

2.1.4 Propiedades de los límites.

Las propiedades de los límites son operaciones que se pueden emplear para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. Al tratarse de operaciones, también se le denimina álgebra de los límites.

Propiedad de la función potencial

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Unicidad del límite:

Debilidades

Propiedad de la función exponencial

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Propiedad de la suma:

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Propiedad de la resta

Propiedad de la función potencial exponencial:

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Propiedad del producto

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Propiedad de la función constante:

Propiedad de la raíz:

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Propiedad de la función logarítmica:

Propiedad del cociente:

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2.2 Cálculo de límites por métodos algebraicos:

Para calcular el límite de una función por métodos algebraicos, se pueden utilizar los métodos de sustitución directa o de factorización

2.2.1 Límites laterales.

El concepto de límite lateral es el mismo, pero considerando que x se aproxima al punto a por su derecha o por su izquierda.

En las funciones racionales (fracciones de polinomios), los puntos que anulan al denominador son puntos donde, generalmente, los límites laterales no coinciden.

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2.2.2 Límites de funciones racionales.

Donde, lim es la manera abreviada de escribir límite, x → a se lee «cuando x tiende al valor a en la función», es decir, cuando la variable x toma valores muy cercanos al valor a y L es el resultado del límite.

EJEMPLO:

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2.2.3 Límites de funciones trascendentes:

Las funciones trascendentes son aquellas funciones matemáticas que no pueden ser expresadas algebraicamente a través de un número finito de operaciones algebraicas, como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y raíces. Estas incluyen las funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y las hiperbólicas.

2.2.3.1. Trigonométricas.

El límite de cada función trigonométrica en un punto es igual a la imagen de la función en ese punto.

Ejemplo

2.2.3.2. Exponenciales

Límites de las funciones exponenciales en un punto y en el infinito. Además, veremos cómo solucionar las indeterminaciones donde intervienen exponenciales.

Algunos límites notables de las funciones exponenciales son:

Cuando a>1:

2.2.3.2. Logarítmicas.

Los límites de las funciones logarítmicas en un punto y en el infinito y también analizamos una propiedad que nos permite calcular el límite del logaritmo de una función.

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2.3.4 Límites infinitos y al infinito.

El límite de una función real en el infinito (o en el menos infinito) es el valor al que se aproxima la función (es decir, su coordenada y) a medida que la coordenada x se hace "más y más grande".

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2.3.4 Límites infinitos y al infinito.

El límite de una función cuando x tiende a infinito es L si podemos conseguir que f(x) esté tan próximo a L como queramos, dándole a x valores suficientemente grandes.

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2.3 Continuidad en un punto

En términos de límites podemos decir que una función es continua en un punto x0 si:

Es decir: podemos decir que una función es continua de 3 formas:

Aunque también podemos decir que una función es continua en un punto x0 si está definida en ese punto f(x0).

2.3 Continuidad en un intervalo

Una función f(x) es continua en un intervalo abierto (a, b), si es continua en todo punto del intervalo. Una función f(x) es continua en un intervalo cerrado [a. b] si es continua en (a, b) y:

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2.4 Tipos de discontinuidades.

Discontinua evitable: La función presenta esta discontinuidad cuando los límites laterales son iguales y finitos, pero este valor no coincide con f(a) o f(a) no existe

Discontinua inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales.

Discontinua inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es infinito o no existe.

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BIBLIOGRAFIA

Serra, B. R. (2024, March 30). Propiedades de los límites. Universo Formulas. https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/propiedades-limites/

Límites laterales, con problemas resueltos. (n.d.). https://www.matesfacil.com/BAC/limites/laterales/limites-laterales-ejemplos-problemas-resueltos-graficas-ejemplos.html

Límite de funciones racionales - Mi Profe. (2022, February 26). Mi Profe. https://miprofe.com/limite-de-funciones-racionales/

Machado, D. (2024, June 15). Límites de Funciones Trigonométricas con Ejemplos. Flamath. https://flamath.com/limites-funciones-trigonometricas

https://www.losagustinos.es/wp-content/uploads/2018/11/Continuidad.-Teor%C3%ADa.pdf

El límite del logaritmo es el logaritmo del límite.

EJEMPLO

• Gráfica de la función seno

• Gráfica de la función coseno

Calcular el valor del siguiente límite

Primero lo evaluamos:

El límite de una raíz, es la raíz del límite.

Una función constante es una función lineal por la cual el rango no cambia sin importar cual miembro del dominio es usado para cualquier x 1 y x 2 en el dominio.

La unicidad del límite es un teorema matemático que establece que si el límite de una función existe, entonces es único.

Entorno de centro a y radio . Representación gráfica de un entorno con centro a y radio r. Es un intervalo abierto en el que la distancia entre el centro a y los extremos es r.¿Qué significa por tanto que x→∞?. Veámoslo con un ejemplo concreto:

Formalmente:

Decimos que el límite de una función f(x) cuando x tiende a ∞ es L si para cualquier entorno de centro L y radio ε, tan pequeño como se quiera, se puede encontrar un número real h, tan grande como sea necesario, a partir del cual las imágenes de x>h pertenecen a dicho entorno:

Algunos límites notables de las funciones logarítmicas son:

Si 0< a < 1, 0 < a < 1, se tiene una función continua decreciente con dominio D = (0,+∞) D = (0,+∞) y asíntota vertical en x = 0. x=0. Los límites destacables en este caso son:

- Discontinua evitable:

En x=3 la función presenta una discontinuidad evitable

1.- Determina cuál de los siguientes valores, la función es continua:

Ejemplos de continuidad en un punto y en un intervalo:

Determinamos que solamente para -2/3 la funciones está definida, por lo tanto, en ese punto es continua.

Sustituyendo para cada valor tenemos:

El límite de una función potencial es la potencia del límite de la base elevado al exponente

El límite de un cociente de dos funciones es el cociente de los límites de las mismas.

La propiedad de la resta de límites establece que el límite de la resta de dos funciones es la diferencia de sus límites.

Simplificada la expresión volvemos a evaluar el límite:

Entonces:

Aproximaciones sucesivas al infinito

Ya hemos hablado en apartados anteriores de la estrecha relación que guardan los límites con la idea de aproximarnos sucesivamente a un valor concreto. En este caso, y estrictamente hablando, el infinito no es un valor, sino más bien una idea. ¿Qué significa por tanto que x→∞?. Veámoslo con un ejemplo concreto:

Factorizamos el numerador de la expresión:

El límite de una función potencial exponencial, es la potencia de los límites de las dos funciones

El límite de una función exponencial es la potencia de la base elevada al límite de la función exponente

el límite del producto es el producto de los límites.

El límite del producto es el producto de los límites.

El límite de la suma es la suma de los límites.

GRAFICA

Los límites laterales sí coinciden en el caso de la función g(x)=|f(x)| :

- Discontinua inevitable de salto finito:

En x=4 vemos que la función presenta una discontinuidad inevitable de salto finito.

- Discontinua inevitable de salto infinito

En x= 2 la función presenta una discontinuidad inevitable de salto infinito.