LÍMITES Y CONTINUIDAD PRESENTACIÓN

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Anhelí Beberaje CachIngeniería Mecatrónica

índice

Unidad 2

2.1.3 Cálculo de límites por métodos tabular y gráfico

Introducción

2.1 Introducción al concepto de límite de una función de variable real

2.1.4 Propiedades de los límites

2.2 Cálculo de límites por métodos algebraicos

2.1.1 Definición intuitiva de límite

2.1.2 Concepto de indeterminación y sus distintas formas

2.2.1 Límites laterales

2.2.2 Límites de funciones racionales

índice

Unidad 2

2.2.3 Límites de funciones trascendentales

2.3 Continuidad en un punto y en un intervalo

2.4 Tipos de discontinuidades

2.2.3.1 Trigonométricas

Conclusión

2.2.3.2 Exponenciales y logarítmicas

Fuentes de información

2.3.4 Límites infinitos y al infinito

INTRODUCCIÓN

El estudio de los límites y la continuidad es fundamental en el análisis matemático y en el cálculo. Los límites permiten entender el comportamiento de una función cuando se acerca a un punto determinado, lo que a su vez es esencial para definir conceptos más avanzados como la derivada y la integral. En esta presentación, abordaremos el concepto de límite de una función real, partiendo de una definición intuitiva, hasta llegar a métodos más formales y algebraicos para su cálculo. También exploraremos temas clave como las formas de indeterminación, las propiedades de los límites, los métodos tabular y gráfico, así como los límites de funciones racionales y trascendentes. Finalmente, analizaremos la continuidad de las funciones en puntos y en intervalos, y los diferentes tipos de discontinuidades que pueden presentarse.

Introducción al concepto de límite de una función de variable real

!!!

El límite de esta función es al cual tiende la función, es decir, cuando la variable independiente tiende a un valor dado.

EJERCICIOS

2.1

Definición intuitiva de límite

+info

Es una manera de expresar que la función no se acerca a ningún valor concreto, pero su comportamiento en las cercanías del punto a está perfectamente definido.

EJEMPLOS

2.1.1

Concepto de indeterminación y sus distintas formas

2.1.2

Es una operación cuyo resultado no está definido. La obtención de una indeterminación no significa que el límite no exista, sino que habrá que buscar otro camino para obtener su resultado.

FORMAS

+ejemplos

ejemplos

Cálculo de límites por EL MÉTODO tabular

Se trata de la representación estructurada y en forma de tabla, de toda la información que se ha recogido sobre la variable que se estudia, en este caso del límite.

2.1.3

EXPLICACIÓN

Cálculo de límites por EL MÉTODO GRÁFICO

Técnica visual para estimar el valor del límite de una función observando su gráfico.

2.1.3

EXPLICACIÓN

Propiedades de los límites

2.1.4

Son operaciones que se emplean para simplificar el cálculo del límite de una función más compleja. También se le denomina álgebra de los límites.

+ejemplos

Propiedades de los límites

SUMA

2.1.4

DEFINICIÓN

EJEMPLO

Propiedades de los límites

RESTA

2.1.4

DEFINICIÓN

EJEMPLO

Propiedades de los límites

PRODUCTO

2.1.4

DEFINICIÓN

EJEMPLO

Cálculo de límites por métodos algebraicos

Utiliza diversas técnicas y manipulaciones algebraicas para encontrar el valor de un límite. Estos se aplican cuando no pueda ser calculado de manera directa debido a indeterminaciones o formas complicadas.

ejemplos

2.2

Límites laterales

2.2.1

Se calculan cuando la variable se aproxima a un valor desde un solo lado, es decir, desde la izquierda o desde la derecha.

!!!

Límites laterales

IZQUIERDA

2.2.1

El límite de f(x) por la izquierda de "a" es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto "a" por su izquierda.

Límites laterales

DERECHA

2.2.1

El límite de f(x) por la derecha de "a" es L si la función toma valores cada vez más próximos a L cuando x se aproxima al punto "a" por su derecha.

Límites de funciones racionales

Se calculan sobre funciones que son el cociente (división) de dos polinomios. Donde P(x) y Q(x) son polinomios, y Q(x) no puede ser 0 (para que la función esté bien definida). El objetivo es encontrar el límite de f(x) cuando x tiende a un número específico o al infinito.

2.2.2

Límites de funciones trascendentes

2.2.3

Son límites que se calculan sobre funciones que no pueden expresarse como un cociente de polinomios.

!!!

Trigonométricas

Describe el comportamiento de la función cuando la variable independiente "x" tiende a un valor particular. Estos límites suelen analizarse cuando "x" se aproxima a 0, a infinito, o cuando la función presenta indeterminaciones.

+ejemplos

2.2.3.1

Exponenciales y logarítmicas

2.2.3.2

EXPONENCIALES

LOGARÍTMICAS

Límites infinitos y al infinito

AL INFINITO

INFINITO

2.3.4

Continuidad en un punto y en un intervalo

2.3

INTERVALO

UN PUNTO

EJEMPLO

EJEMPLO

Tipos de discontinuidades

+info

2.4

CONCLUSIÓN

El estudio de los límites y la continuidad nos proporciona herramientas indispensables para entender el comportamiento de las funciones. A través de los métodos intuitivos, tabulares y algebraicos, podemos calcular límites y determinar si una función es continua en un punto o en un intervalo, además, los límites al infinito y las discontinuidades nos permiten conocer funciones más complejas y analizar cómo se comportan en situaciones que involucran grandes valores o puntos críticos. Este conocimiento es esencial en campos como la física, la ingeniería y la economía.

Fuentes de Información

3.2 Límite de una función de variable real. (2011, 20 octubre). Cálculo Diferencial - Límites. https://darkcity2111.wordpress.com/3-2-limte-de-una-funcion-de-variable-real/ unProfesor. (2017, 22 enero). Límite de una función real [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=gtM3NpvwoBY asmatematicas.es. (2011, 31 agosto). Limite de una función real de variable real [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=tJMM6lmXNkM Porto, J. P., & Merino, M. (2021, 27 abril). Límite de una función - Qué es, historia, definición y concepto. https://definicion.de/limite-de-una-funcion/ Matemáticas con Juan. (2023, 26 abril). QUÉ ES UN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN y CÓMO CALCULARLO PASO a PASO [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=yptVvhFVFIo Matematicas y Ciencias. (2021, 27 febrero). Limite de una función | Forma tabular (Tabla de valores) [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=3icpGS0Zgnc

Fuentes de Información

julioprofe. (2010, 24 enero). Límites de una función a partir de su gráfica [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk julioprofe. (2010, 24 enero). Límites de una función a partir de su gráfica [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=EYcwxYab0Qk Procedimientos algebraicos para determinar el límite de funciones. (2021, 1 junio). Portal Académico del CCH. https://portalacademico.cch.unam.mx/calculo1/concepto-del-limite-de-una-funcion/procedimientos-algebraicos-para-determinar-el-limite-de-funciones Límites laterales – Matemáticas fáciles. (s. f.). https://blogs.ua.es/matesfacil/calculo-de-limites/limites-laterales/#:~:text=2.-,L%C3%ADmite%20lateral,punto%20a%20por%20su%20izquierda.&text=An%C3%A1logamente%2C%20el%20l%C3%ADmite%20de%20f,punto%20a%20por%20su%20derecha Funciones. (2022, 27 junio). Límites laterales. Funciones Matemáticas. https://www.funciones.xyz/limites-laterales/#%c2%bfque-son-los-limites-laterales

Fuentes de Información

Funciones. (2021, noviembre 2). Límites trigonométricos. Funciones Matemáticas. https://www.funciones.xyz/limites-trigonometricos/#%c2%bfque-son-los-limites-trigonometricos JoaCamara Matemática. (2021, junio 27). TIPOS de DISCONTINUIDAD y cómo IDENTIFICARLAS - Aprobá LÍMITE y CONTINUIDAD [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=1YeuMzwNfOs Prezi, J. R. T. R. O. (s. f.). Definición intuitiva del limite. prezi.com. https://prezi.com/p/fffnmi3yopbo/definicion-intuitiva-del-limite/#:~:text=Se%20trata%20simplemente%20de%20una,definido%3A%20consiste%20en%20crecer%20continuamente Matemáticas con Juan. (2023, 26 abril). QUÉ ES UN LÍMITE DE UNA FUNCIÓN y CÓMO CALCULARLO PASO a PASO [Vídeo]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=yptVvhFVFIo

REPRESENTACIÓN

REPRESENTACIÓN

EJEMPLO

EJEMPLO

EJEMPLO

Como noción intuitiva de límite de una función se entiende como; Es decir, en la medida que X se acerca al valor de (a) entonces F(x) se acerca a L, sin llegar necesariamente a X o ha L.