Cambios de base numéricosSOM

cambios de base

Cambios de base

Una base numérica es el número de dígitos o combinación de dígitos que utiliza un sistema de conteo para representar números. Una base puede ser cualquier número entero mayor que 0. El sistema numérico más utilizado es el sistema decimal, conocido comúnmente como base 10 y tiene solo 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

La base de cualquier número se puede escribir junto a ese número con un dígito más pequeño. Por ejemplo, 178 , se lee como 17 en base 8.

En esta presentación veremos cambios de decimal a binario, octal y hexadecimal, y después a la inversa, de binario, octal y hexadecimal a decimal.

Decimal a binario

Decimal a binario

Ya hemos visto que el sistema decimal es de base 10 y tiene 10 símbolos.

El sistema binario es el sistema no decimal más utilizado. Se utiliza para codificar en computadoras. El binario también se conoce como base 2. Esto significa que está compuesto únicamente de 0 y 1. Por ejemplo, 9 en binario/base 2 es 1001. Veamos cómo funciona.

Para transformar un número de base decimal a otra base, hay que hacer lo siguiente: Se divide el número por la base tantas veces como sea necesario hasta obtener un cociente menor que la base; se anotan los restos y se escriben en orden inverso para obtener el valor binario del número decimal dado, poniendo como primera cifra el último cociente obtenido.

En otras palabras: obtén el número anotando los restos en orden inverso al que los obtienes y coloca como primer dígito el último cociente ("los últimos serán los primeros")

Veamos un ejemplo a continuación.

75

15

37

Número binario:

37

17

18

Resto

18

Resto

Resto

Resto

Resto

Resto

Cociente < 2

Pasar el número decimal 75 a binario

Paso 1: Divide el número decimal por 2 y anota el resto, colócalo como última cifra del número binario que buscamos. Paso 2 : divide el cociente obtenido por 2 y anota nuevamente el resto, sitúalo a la izquierda del anterior. Paso 3: Repite los pasos anteriores hasta obtener un cociente menor que la base a la que estamos convirtiendo (en este caso queremos pasar a binario, por tanto hasta que sea menor que dos). Paso 4: finalmente escribe el último resto que hemos obtenido y como primera cifra de nuestro número binario sitúa el último cociente (el que es menor que la base)

Binario = 101011

Decimal a binario

Pasar el número decimal 65 a binario

32

65

Resto

ver desarrollo

32

16

Resto

16

Resto

Resto

Decimal = 6510

Resto

10000012

Binario =

Resto

ver solución

Decimal a binario

Pasar el número decimal 253 a binario

Decimal = 25310

126

253

Resto

126

63

Resto

63

31

Resto

31

15

Resto

15

Resto

Resto

Resto

Binario =

111111012

ver solución

Decimal a binario

Solución

Desarrollo

Binario =

Decimal: 278 10

1000101102

Solución

Desarrollo

Binario =

Decimal: 18010

101101002

Solución

Desarrollo

Binario =

Decimal: 107310

100001100012

Solución

Desarrollo

Binario =

Decimal: 5610

1110002

Solución

Desarrollo

Binario =

Decimal: 8110

10100012

Decimal a octal

Decimal a octal

Ya hemos visto que el sistema decimal es de base 10 y tiene 10 símbolos.

Octal es el sistema de numeración de base 8, que solo utiliza los dígitos del 0 al 7.

Como hemos visto, en decimal a binario dividimos el número por 2. En el caso de decimal a octal, dividimos el número por 8 y escribimos los restos en orden inverso (situando como primera cifra el cociente que quedó menor que 8) para obtener el número octal equivalente. Por tanto los pasos a seguir son exactamente iguales que en la conversión de decimal a binario, pero utilizando el 8 como divisor y no el 2.

Veamos un ejemplo a continuación.

Decimal a octal

Decimal 394

394

49

Resto

Decimal = 39410

Octal = 6128

49

Resto

Decimal a octal

Solución

Desarrollo

Octal=

Decimal: 1792 10

34008

Solución

Desarrollo

Octal=

Decimal: 45610

7108

Solución

Desarrollo

Octal=

Decimal: 253610

47508

Solución

Desarrollo

Octal=

Decimal: 21610

3308

Solución

Desarrollo

Octal=

Decimal: 10110

1458

Decimal a hexadecimal

Decimal

Hexadecimal

10

11

12

13

14

15

Decimal a hexadecimal

La base de un sistema numérico hexadecimal es 16. Al ser un sistema numérico de base 16, utiliza 16 símbolos. Estos incluyen diez dígitos decimales, es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las primeras seis letras del alfabeto, es decir, A, B, C, D, E, F, que se utilizan para representar los valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente en una sola cifra cada uno.

Para convertir un número decimal del 1 al 15, existe un número hexadecimal equivalente. En la tabla de la derecha podemos ver las conversiones:

Para los números decimales mayores que 15 tenemos que dividir el número decimal por 16 y anotar el resto para obtener el número hexadecimal equivalente, igual que hicimo en binario y octal. La única diferencia es que para cada resto del 0 al 9, los números se contabilizarán de la misma forma en el sistema decimal, pero del 10 al 15 se expresarán en orden alfabético, como A, B, C, D, E, F.

Decimal a hexadecimal

Convertir el número decimal 894 a hexadecimal

894

16

55

Resto

14

Como 3 es menor que 16, dejamos de dividir y lo utilizamos como primera cifra. Hemos obtenido las cifras 3, 7 y 14.

55

16

Resto

Como hemos dicho antes, del 0 al 9 utilizamos el mismo dígito que en decimal, pero la última cifra es 14 por tanto tenemos que ver su equivalente dentro de la tabla que vimos antes. En este caso, al 14 le corresponde la letra E.

Decimal = 89410

Hexadecimal= 37E16

Decimal a hexadecimal

Desarrollo

Solución

Hexadecimal=

Decimal: 479 10

1DF16

Desarrollo

Solución

Hexadecimal=

Decimal: 600 10

25816

Desarrollo

Solución

Hexadecimal=

Decimal: 52810

21016

Desarrollo

Solución

Hexadecimal=

Decimal: 9400 10

24B816

Desarrollo

Solución

Hexadecimal=

Decimal: 860 10

35C16

binario a decimal

binario a decimal

Para la conversión de binario a decimal, se multiplica cada dígito comenzando desde el situado más a la derecha por las potencias de 2, comenzando con 2 0 y aumentando el exponente en 1 a medida que se avanza hacia el lado izquierdo. La suma de todos estos valores obtenidos para cada dígito da el valor equivalente del número binario dado en el sistema decimal.

Veamos un ejemplo.

binario a decimal

Vamos a convertir el número binario 1010 2 a un número decimal.

Primero enumeramos los exponentes de 2 para todos los dígitos del número binario, comenzando desde la posición más a la derecha. La primera potencia sería 2 0 y, a medida que avanzamos hacia el lado izquierdo, será 2 1 , 2 2 , 2 3 .

1 0 1 0

23 22 21 20

Segundo, multiplicamos cada dígito del número binario comenzando desde la derecha con su respectivo en función de su posición y los sumamos.

23 + 0 + 21 + 0

8 + 0 + 2 + 0 = 10

Binario : 10102

8 + 2 = 10

Decimal: 1010

binario a decimal

Veamos un ejemplo más, con el número binario 100102

2 1

2 3

2 2

20

2 4

A la hora de multiplicar tendremos en cuenta solo los unos , ya que tal y como dijimos los números multiplicados por cero dan cero.

2 4

2 1

16

18

Binario : 100102

Decimal: 1810

binario a decimal

Desarrollo

Solución

Decimal =

Binario: 11111 2

3110

Desarrollo

Solución

Decimal =

88 10

Binario: 1011000 2

Desarrollo

Solución

Decimal =

61 10

Binario: 111101 2

Desarrollo

Solución

4 10

Decimal =

Binario: 100 2

Desarrollo

Solución

Decimal =

Binario: 101010 2

42 10

octal a decimal

octal a decimal

La conversión de octal a decimal sigue el mismo proceso que acabamos de ver para la conversión de binario a decimal, con la diferencia de que en este caso la base será 8 y no 2.

Veamos un ejemplo, convirtiendo a decimal el número octal 3708

3 x 8 2 + 7 x 8 1 + 0 x 8 0

3 x 64 + 56 + 0

8 2

8 1

192 + 56 = 248 10

8 o

El número octal 3708

equivale al decimal 248 10

octal a decimal

Desarrollo

Solución

Decimal =

Octal: 2671 8

1465 10

Desarrollo

Solución

Decimal =

Octal: 121 8

81 10

Desarrollo

Solución

Decimal =

Octal: 344 8

228 10

Desarrollo

Solución

Decimal =

Octal: 1200 8

640 10

hexadecimal a decimal

hexadecimal a decimal

La conversión de hexadecimal a decimal sigue el mismo proceso que acabamos de ver para la conversión de octal a decimal, pero en este caso (además de usar como base el 16) si en la cifra hexadecimal hay letra, antes de multiplicar debemos utilizar la tabla para ver el equivalente en decimal de dicha letra. Para eso podemos utilizar la tabla que vimos en la conversión de decimal a hexadecimal.

Veamos un ejemplo, convirtiendo a decimal el número hexadecimal 23E 16

16 2

16 1

16 o

E = 14 (ver tabla)

2 x 16 2 + 3 x 16 1 + 14 x 16 0

2 x 256 + 3 x 16 + 14 x 1

512 + 48 + 14 = 574 10

El número hexadecimal 23E 16

equivale al decimal 574 10

hexadecimal a decimal

Solución

Desarrollo

Hexadecimal: F7D 16

Decimal =

3965 10

Desarrollo

Solución

Hexadecimal: AB09 16

43785 10

Decimal =

Desarrollo

Solución

Hexadecimal: D3E5C16

86793210

Decimal =

¡¡¡ hasta pronto !!!

Octal =

7108

456

57

Resto

57

Resto

860

16

53

Resto

12

53

16

Resto

Hexadecimal=

35C16

Binario 101010 2

2 1

2 3

2 2

20

2 4

2 5

2 1

2 5

2 3

42

32

Decimal = 42 10

Decimal

Hexadecimal

10

11

12

13

14

15

Decimal

Hexadecimal

10

11

12

13

14

15

Octal 344 8

192 + 32 + 4 = 228 10

8 2

8 1

8 0

3 × 8 2 + 4 × 8 1 + 4 × 8 0

3 × 64 + 4 × 8 + 4 × 1

Decimal 228 10

536

1073

Resto

268

536

Resto

134

268

Resto

Binario =

100001100012

67

134

Resto

33

67

Resto

16

33

Resto

16

Resto

Resto

Resto

Resto

Hexadecimal D3E5C 16

851968 + 12288 + 3584 + 80 + 12 = 867932 10

D = 13

E = 14

C = 12

13×16 4 + 3×16 3 + 14 × 16 2 + 5 × 16 1 + 12 × 16 0

13 × 65536 + 3 × 4096 + 14 × 256 + 5 × 16 + 12 × 1

16 1

16 0

16 2

16 3

16 4

Decimal 867932 10

56

28

Resto

28

14

Resto

Resto

14

Resto

Resto

Binario =

1110002

Octal =

47508

2536

317

Resto

317

39

Resto

39

Resto

90

180

Resto

45

90

Resto

Binario =

101101002

22

45

Resto

11

22

Resto

11

Resto

Resto

Resto

Decimal

Hexadecimal

10

11

12

13

14

15

Decimal

Hexadecimal

10

11

12

13

14

15

2 3

2 2

2 1

20

2 4

2 4

2 3

2 2

2 1

2 0

Cualquier número elevado a cero es igual a uno. 20 = 1

16

31

40

81

Resto

Binario =

10100012

20

40

Resto

10

20

Resto

10

Resto

Resto

Resto

14

9400

16

587

Resto

587

16

36

Resto

11

36

16

Resto

Hexadecimal=

24B816

278

139

Resto

139

69

Resto

69

34

Resto

34

17

Resto

17

Resto

Resto

Resto

Resto

Binario =

1000101102

Hexadecimal F7D 16

3840 + 112 + 13 = 3965 10

16 2

16 1

16 0

F = 15

D = 13

15 × 16 2 + 7 × 16 1 + 13 × 16 0

15 × 256 + 7 × 16 + 13 × 1

Decimal 3965 10

479

16

29

Resto

15

29

16

Resto

13

Hexadecimal=

1DF16

13

15

600

16

37

Resto

37

16

Resto

Hexadecimal=

25816

Vemos que en este resultado no hay ningún resto mayor que 9, por tanto no es necesario utilizar letras.

Recordar, para obtener el resto, multiplicamos por ocho los decimales del resultado. 0,25 x 8 = 2

En caso de utilizar calculadora, conseguiremos el resto del siguiente modo:

65

2 = 32,5

Para saber el resto multiplicamos 2 (que es el número por el que hemos dividido) por los decimales del resultado, es decir:

0,5 x 2 = 1

El resto es 1. De ese modo podemos utilizar la calculadora sin necesidad de hacer la división entera.

Octal 121 8

64 + 16 + 1 = 81 10

8 2

8 1

8 0

1 × 8 2 + 2 × 8 1 + 1 × 8 0

1 x 64 + 2 x 8 + 1 x 1

Decimal 81 10

Octal =

1458

101

12

Resto

12

Resto

Octal 1200 8

8 3

8 2

8 1

8 0

1 × 8 3 + 2 × 8 2 + 0 × 8 1 + 0 × 8 0

1 × 512 + 2 × 64 + 0 × 8 + 0 × 1

512 + 128 = 640 10

Decimal 640 10

1792

224

Resto

224

28

Resto

28

Resto

Octal =

34008

Binario 100 2

2 1

2 2

20

2 2

Decimal = 4 10

Hexadecimal AB09 16

A = 10

16 1

16 0

16 2

16 3

B = 11

10×16 3 + 11 × 16 2 + 0 × 16 1 + 9 × 16 0

10 × 4096 + 11 × 256 + 9 x 1

40960 + 2816 + 9 = 43785 10

Decimal 43785 10

Octal =

3308

216

27

Resto

27

Resto

528

16

33

Resto

33

16

Resto

Hexadecimal=

21016

Recordar, para obtener el resto, multiplicamos por 16 los decimales del resultado. 0,875 x 16 = 14

2 5

2 4

2 3

2 2

2 6

2 6

2 4

2 3

21

20

Binario 100102

Decimal = 88 2

64

16

88

Octal 2671 8

8 3

8 2

8 1

8 0

2 × 8 3 + 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 1 × 8 0

2 × 512 + 6 × 64 + 7 × 8 + 1 × 1

1024 + 384 + 56 + 1 = 1465 10

Decimal 1465 10

Binario 111101 2

2 3

2 2

2 1

20

2 4

2 5

2 3

2 2

2 5

2 4

2 0

32

16

61

Decimal = 61 10