Cambios de base numéricos
Conchi Iglesias G
Created on September 27, 2024
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Cambios de base
Una base numérica es el número de dígitos o combinación de dígitos que utiliza un sistema de conteo para representar números. Una base puede ser cualquier número entero mayor que 0. El sistema numérico más utilizado es el sistema decimal, conocido comúnmente como base 10 y tiene solo 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
En esta presentación veremos cambios de decimal a binario, octal y hexadecimal, y después a la inversa, de binario, octal y hexadecimal a decimal.
La base de cualquier número se puede escribir junto a ese número con un dígito más pequeño. Por ejemplo, 178 , se lee como 17 en base 8.
Decimal a binario
Decimal a binario
Ya hemos visto que el sistema decimal es de base 10 y tiene 10 símbolos.
Para transformar un número de base decimal a otra base, hay que hacer lo siguiente: Se divide el número por la base tantas veces como sea necesario hasta obtener un cociente menor que la base; se anotan los restos y se escriben en orden inverso para obtener el valor binario del número decimal dado, poniendo como primera cifra el último cociente obtenido.
El sistema binario es el sistema no decimal más utilizado. Se utiliza para codificar en computadoras. El binario también se conoce como base 2. Esto significa que está compuesto únicamente de 0 y 1. Por ejemplo, 9 en binario/base 2 es 1001. Veamos cómo funciona.
Veamos un ejemplo a continuación.
En otras palabras: obtén el número anotando los restos en orden inverso al que los obtienes y coloca como primer dígito el último cociente ("los últimos serán los primeros")
Pasar el número decimal 75 a binario
75
15
37
1
Número binario:
37
17
18
2
1
1
2
1
1
Resto
0
18
9
2
1
1
0
9
4
2
1
1
0
1
1
4
2
2
1
1
0
1
Paso 1: Divide el número decimal por 2 y anota el resto, colócalo como última cifra del número binario que buscamos. Paso 2 : divide el cociente obtenido por 2 y anota nuevamente el resto, sitúalo a la izquierda del anterior. Paso 3: Repite los pasos anteriores hasta obtener un cociente menor que la base a la que estamos convirtiendo (en este caso queremos pasar a binario, por tanto hasta que sea menor que dos). Paso 4: finalmente escribe el último resto que hemos obtenido y como primera cifra de nuestro número binario sitúa el último cociente (el que es menor que la base)
0
2
2
1
1
0
1
0
0
0
1
1
Resto
Resto
Resto
Resto
Resto
Cociente < 2
Binario = 101011
Decimal a binario
Pasar el número decimal 65 a binario
65
2
=
÷
Resto
Binario =
1
Decimal = 6510
10000012
32
2
32
=
16
÷
Resto
16
2
=
8
÷
Resto
8
2
=
4
÷
0
Resto
4
2
=
2
÷
Resto
2
2
=
÷
Resto
1
0
0
0
0
0
1
0
ver desarrollo
0
0
0
1
ver solución
Decimal a binario
Pasar el número decimal 253 a binario
253
2
=
126
÷
Resto
126
2
=
63
÷
Resto
63
2
=
31
÷
Resto
31
2
=
15
÷
1
Resto
15
2
=
7
÷
Resto
3
2
=
÷
Resto
Binario =
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
7
2
=
3
÷
Resto
Decimal = 25310
111111012
ver solución
1
Decimal a binario
1000101102
Binario =
Decimal: 278 10
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
101101002
Binario =
Decimal: 18010
100001100012
Binario =
Decimal: 107310
1110002
Binario =
Decimal: 5610
10100012
Binario =
Decimal: 8110
Decimal a octal
Decimal a octal
Ya hemos visto que el sistema decimal es de base 10 y tiene 10 símbolos.
Como hemos visto, en decimal a binario dividimos el número por 2. En el caso de decimal a octal, dividimos el número por 8 y escribimos los restos en orden inverso (situando como primera cifra el cociente que quedó menor que 8) para obtener el número octal equivalente. Por tanto los pasos a seguir son exactamente iguales que en la conversión de decimal a binario, pero utilizando el 8 como divisor y no el 2.
Octal es el sistema de numeración de base 8, que solo utiliza los dígitos del 0 al 7.
Veamos un ejemplo a continuación.
Decimal a octal
Decimal 394
394
8
=
49
÷
Resto
2
6
1
2
Decimal = 39410
49
8
=
6
÷
Resto
1
Octal = 6128
Decimal a octal
Octal=
Decimal: 1792 10
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
34008
Octal=
Decimal: 45610
7108
Octal=
Decimal: 253610
47508
Octal=
Decimal: 21610
3308
Octal=
Decimal: 10110
1458
Decimal a hexadecimal
Decimal a hexadecimal
La base de un sistema numérico hexadecimal es 16. Al ser un sistema numérico de base 16, utiliza 16 símbolos. Estos incluyen diez dígitos decimales, es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las primeras seis letras del alfabeto, es decir, A, B, C, D, E, F, que se utilizan para representar los valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente en una sola cifra cada uno.
Para convertir un número decimal del 1 al 15, existe un número hexadecimal equivalente. En la tabla de la derecha podemos ver las conversiones:
Para los números decimales mayores que 15 tenemos que dividir el número decimal por 16 y anotar el resto para obtener el número hexadecimal equivalente, igual que hicimo en binario y octal. La única diferencia es que para cada resto del 0 al 9, los números se contabilizarán de la misma forma en el sistema decimal, pero del 10 al 15 se expresarán en orden alfabético, como A, B, C, D, E, F.
Decimal
Hexadecimal
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
Decimal a hexadecimal
Decimal = 89410
Hexadecimal= 37E16
Convertir el número decimal 894 a hexadecimal
3
Como 3 es menor que 16, dejamos de dividir y lo utilizamos como primera cifra. Hemos obtenido las cifras 3, 7 y 14.
Como hemos dicho antes, del 0 al 9 utilizamos el mismo dígito que en decimal, pero la última cifra es 14 por tanto tenemos que ver su equivalente dentro de la tabla que vimos antes. En este caso, al 14 le corresponde la letra E.
7
E
894
16
=
55
÷
Resto
14
55
16
=
3
÷
Resto
7
Decimal a hexadecimal
Hexadecimal=
Decimal: 479 10
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
1DF16
Hexadecimal=
Decimal: 600 10
25816
Hexadecimal=
Decimal: 52810
21016
Hexadecimal=
Decimal: 9400 10
24B816
Hexadecimal=
Decimal: 860 10
35C16
binario a decimal
binario a decimal
Para la conversión de binario a decimal, se multiplica cada dígito comenzando desde el situado más a la derecha por las potencias de 2, comenzando con 2 0 y aumentando el exponente en 1 a medida que se avanza hacia el lado izquierdo. La suma de todos estos valores obtenidos para cada dígito da el valor equivalente del número binario dado en el sistema decimal.
Veamos un ejemplo.
binario a decimal
Primero enumeramos los exponentes de 2 para todos los dígitos del número binario, comenzando desde la posición más a la derecha. La primera potencia sería 2 0 y, a medida que avanzamos hacia el lado izquierdo, será 2 1 , 2 2 , 2 3 .
Vamos a convertir el número binario 1010 2 a un número decimal.
Segundo, multiplicamos cada dígito del número binario comenzando desde la derecha con su respectivo en función de su posición y los sumamos.
1 0 1 0
23 22 21 20
Binario : 10102
Decimal: 1010
23 + 0 + 21 + 0
8 + 0 + 2 + 0 = 10
8 + 2 = 10
binario a decimal
Veamos un ejemplo más, con el número binario 100102
A la hora de multiplicar tendremos en cuenta solo los unos , ya que tal y como dijimos los números multiplicados por cero dan cero.
Binario : 100102
Decimal: 1810
16
2
=
18
+
2 3
2 2
2 1
20
2 4
0
0
0
1
1
2 4
2 x 2 x 2 x 2 = 16
2 1
+
binario a decimal
Decimal =
Binario: 11111 2
Solución
Solución
Solución
Solución
Solución
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
3110
Decimal =
Binario: 1011000 2
88 10
Decimal =
Binario: 111101 2
61 10
Decimal =
Binario: 100 2
4 10
Decimal =
Binario: 101010 2
42 10
octal a decimal
La conversión de octal a decimal sigue el mismo proceso que acabamos de ver para la conversión de binario a decimal, con la diferencia de que en este caso la base será 8 y no 2.
Veamos un ejemplo, convirtiendo a decimal el número octal 3708
3 x 8 2 + 7 x 8 1 + 0 x 8 0
3 x 64 + 56 + 0
octal a decimal
8 2
8 1
192 + 56 = 248 10
7
0
3
8 o
El número octal 3708
x
x
x
equivale al decimal 248 10
octal a decimal
Decimal =
Octal: 2671 8
Solución
Solución
Solución
Solución
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
Desarrollo
1465 10
Decimal =
Octal: 121 8
81 10
Decimal =
Octal: 344 8
228 10
Decimal =
Octal: 1200 8
640 10
hexadecimal a decimal
hexadecimal a decimal
La conversión de hexadecimal a decimal sigue el mismo proceso que acabamos de ver para la conversión de octal a decimal, pero en este caso (además de usar como base el 16) si en la cifra hexadecimal hay letra, antes de multiplicar debemos utilizar la tabla para ver el equivalente en decimal de dicha letra. Para eso podemos utilizar la tabla que vimos en la conversión de decimal a hexadecimal.
Veamos un ejemplo, convirtiendo a decimal el número hexadecimal 23E 16
2 x 16 2 + 3 x 16 1 + 14 x 16 0
2 x 256 + 3 x 16 + 14 x 1
16 2
16 1
512 + 48 + 14 = 574 10
El número hexadecimal 23E 16
equivale al decimal 574 10
3
E
2
E = 14 (ver tabla)
16 o
x
x
x
hexadecimal a decimal
Decimal =
Hexadecimal: F7D 16
3965 10
Solución
Solución
Solución
Desarrollo
43785 10
Desarrollo
Desarrollo
Decimal =
Hexadecimal: AB09 16
86793210
Decimal =
Hexadecimal: D3E5C16
¡¡¡ hasta pronto !!!
Octal =
7108
7
1
0
456
8
=
57
÷
Resto
0
57
8
=
7
÷
Resto
1
Hexadecimal=
35C16
3
5
C
860
16
=
53
÷
Resto
12
53
16
=
3
÷
Resto
5
12 en la tabla hexadecimal corresponde a C
2 3
2 2
2 1
20
2 4
1
0
0
0
1
2 5
2 3
+
2 1
+
32
8
=
+
+
2
42
Binario 101010 2
Decimal = 42 10
2 5
1
Decimal
Hexadecimal
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
Decimal
Hexadecimal
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
192 + 32 + 4 = 228 10
Decimal 228 10
Octal 344 8
8 2
8 1
8 0
3
4
4
3 × 8 2 + 4 × 8 1 + 4 × 8 0
3 × 64 + 4 × 8 + 4 × 1
Binario =
100001100012
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1073
2
=
536
1
÷
Resto
1
536
2
=
268
÷
Resto
268
2
=
134
÷
Resto
134
2
=
67
÷
0
Resto
67
2
=
33
÷
Resto
16
2
=
÷
Resto
0
0
1
0
8
33
2
=
16
÷
Resto
1
2
2
Resto
÷
0
1
=
4
2
=
÷
Resto
0
2
8
2
=
÷
Resto
0
4
851968 + 12288 + 3584 + 80 + 12 = 867932 10
16 2
16 1
Decimal 867932 10
16 0
E
C
Hexadecimal D3E5C 16
5
16 3
3
16 4
D = 13
E = 14
C = 12
D
13×16 4 + 3×16 3 + 14 × 16 2 + 5 × 16 1 + 12 × 16 0
13 × 65536 + 3 × 4096 + 14 × 256 + 5 × 16 + 12 × 1
Binario =
1110002
1
1
56
2
=
1
28
÷
0
Resto
0
0
28
2
=
14
÷
0
Resto
7
2
=
÷
Resto
0
1
3
14
2
=
7
÷
Resto
0
3
Resto
2
÷
=
1
1
Octal =
47508
4
7
5
2536
8
=
317
÷
Resto
0
317
8
=
39
÷
Resto
5
39
8
=
4
÷
Resto
7
0
Binario =
101101002
1
0
180
1
2
1
=
90
0
÷
Resto
1
0
0
0
90
2
=
45
÷
Resto
45
2
=
22
÷
Resto
22
2
=
11
÷
0
Resto
11
2
=
5
÷
Resto
2
2
=
÷
Resto
0
1
1
0
1
5
2
=
2
÷
Resto
1
Decimal
Hexadecimal
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
Decimal
Hexadecimal
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
10
A
11
B
12
C
13
D
14
E
15
F
2 3
2 2
2 1
20
2 4
1
1
1
1
1
16
8
=
+
+
4
+
2 4
2
+
2 3
1
+
2 2
2 1
+
2 0
+
+
Cualquier número elevado a cero es igual a uno. 20 = 1
31
Binario =
10100012
81
1
2
=
40
0
÷
Resto
1
40
2
=
20
÷
0
0
Resto
0
20
2
=
0
10
÷
1
Resto
5
2
=
÷
Resto
1
0
1
2
10
2
=
5
÷
Resto
0
=
÷
Resto
2
2
1
0
3
7
3
7
14
E
Hexadecimal=
24B816
2
4
B
9400
16
=
587
÷
Resto
8
587
16
=
36
÷
Resto
11
36
16
=
2
÷
Resto
4
8
11 en la tabla hexadecimal corresponde a B
278
2
=
139
÷
Resto
0
139
2
=
69
÷
Resto
69
2
=
34
÷
Resto
Binario =
34
2
=
17
÷
1000101102
0
Resto
17
2
=
8
÷
Resto
4
2
=
÷
Resto
1
1
1
0
2
8
2
=
4
÷
Resto
0
2
2
=
1
÷
Resto
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
3840 + 112 + 13 = 3965 10
16 2
16 1
16 0
F
Decimal 3965 10
Hexadecimal F7D 16
D
7
F = 15
D = 13
15 × 16 2 + 7 × 16 1 + 13 × 16 0
15 × 256 + 7 × 16 + 13 × 1
Hexadecimal=
479
16
=
29
÷
Resto
15
29
16
=
1
÷
Resto
13
1
D
F
1
13
15
1
D
F
1DF16
Hexadecimal=
25816
600
16
=
37
÷
Resto
8
37
16
=
2
÷
Resto
5
2
5
8
Vemos que en este resultado no hay ningún resto mayor que 9, por tanto no es necesario utilizar letras.
Recordar, para obtener el resto, multiplicamos por ocho los decimales del resultado.0,25 x 8 = 2
En caso de utilizar calculadora, conseguiremos el resto del siguiente modo:
65
÷
2 = 32,5
Para saber el resto multiplicamos 2 (que es el número por el que hemos dividido) por los decimales del resultado, es decir:
0,5 x 2 = 1
El resto es 1. De ese modo podemos utilizar la calculadora sin necesidad de hacer la división entera.
64 + 16 + 1 = 81 10
Decimal 81 10
Octal 121 8
8 2
8 1
8 0
1
1
2
1 × 8 2 + 2 × 8 1 + 1 × 8 0
1 x 64 + 2 x 8 + 1 x 1
Octal =
1
4
5
101
8
=
12
÷
Resto
5
12
8
=
1
÷
Resto
4
1458
512 + 128 = 640 10
8 3
8 2
Decimal 640 10
Octal 1200 8
8 1
1
2
0
0
8 0
1 × 512 + 2 × 64 + 0 × 8 + 0 × 1
1 × 8 3 + 2 × 8 2 + 0 × 8 1 + 0 × 8 0
Octal =
34008
3
4
0
0
1792
8
=
224
÷
Resto
0
224
8
=
28
÷
Resto
28
8
=
3
÷
Resto
0
4
2 2
2 1
20
1
0
0
2 2
=
4
4
Binario 100 2
Decimal = 4 10
Decimal 43785 10
Hexadecimal AB09 16
40960 + 2816 + 9 = 43785 10
16 2
16 1
16 0
B
9
0
A = 10
B = 11
10 × 4096 + 11 × 256 + 9 x 1
16 3
A
10×16 3 + 11 × 16 2 + 0 × 16 1 + 9 × 16 0
Octal =
3308
3
3
0
216
8
=
27
÷
Resto
0
27
8
=
3
÷
Resto
3
Hexadecimal=
21016
528
16
=
33
÷
Resto
0
33
16
=
2
÷
Resto
1
2
1
0
Recordar, para obtener el resto, multiplicamos por 16 los decimales del resultado.0,875 x 16 = 14
2 5
2 4
2 3
2 2
2 6
0
1
0
1
1
2 6
2 4
+
2 3
+
21
0
20
0
Binario 100102
Decimal = 88 2
64
16
=
+
+
8
88
1024 + 384 + 56 + 1 = 1465 10
8 3
8 2
Decimal 1465 10
Octal 2671 8
8 1
2
6
1
7
8 0
2 × 512 + 6 × 64 + 7 × 8 + 1 × 1
2 × 8 3 + 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 1 × 8 0
2 3
2 2
2 1
20
2 4
1
1
1
1
0
2 5
2 4
+
2 3
2 2
+
2 0
+
+
32
16
=
+
+
8
+
4
+
1
61
Binario 111101 2
Decimal = 61 10
2 5
1