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Cambios de base

Una base numérica es el número de dígitos o combinación de dígitos que utiliza un sistema de conteo para representar números. Una base puede ser cualquier número entero mayor que 0. El sistema numérico más utilizado es el sistema decimal, conocido comúnmente como base 10 y tiene solo 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

En esta presentación veremos cambios de decimal a binario, octal y hexadecimal, y después a la inversa, de binario, octal y hexadecimal a decimal.

La base de cualquier número se puede escribir junto a ese número con un dígito más pequeño. Por ejemplo, 178 , se lee como 17 en base 8.

Decimal a binario

Decimal a binario

Ya hemos visto que el sistema decimal es de base 10 y tiene 10 símbolos.

Para transformar un número de base decimal a otra base, hay que hacer lo siguiente: Se divide el número por la base tantas veces como sea necesario hasta obtener un cociente menor que la base; se anotan los restos y se escriben en orden inverso para obtener el valor binario del número decimal dado, poniendo como primera cifra el último cociente obtenido.

El sistema binario es el sistema no decimal más utilizado. Se utiliza para codificar en computadoras. El binario también se conoce como base 2. Esto significa que está compuesto únicamente de 0 y 1. Por ejemplo, 9 en binario/base 2 es 1001. Veamos cómo funciona.

Veamos un ejemplo a continuación.

En otras palabras: obtén el número anotando los restos en orden inverso al que los obtienes y coloca como primer dígito el último cociente ("los últimos serán los primeros")

Pasar el número decimal 75 a binario

75

15

37

1

Número binario:

37

17

18

2

1

1

2

1

1

Resto

0

18

9

2

1

1

0

9

4

2

1

1

0

1

1

4

2

2

1

1

0

1

Paso 1: Divide el número decimal por 2 y anota el resto, colócalo como última cifra del número binario que buscamos. Paso 2 : divide el cociente obtenido por 2 y anota nuevamente el resto, sitúalo a la izquierda del anterior. Paso 3: Repite los pasos anteriores hasta obtener un cociente menor que la base a la que estamos convirtiendo (en este caso queremos pasar a binario, por tanto hasta que sea menor que dos). Paso 4: finalmente escribe el último resto que hemos obtenido y como primera cifra de nuestro número binario sitúa el último cociente (el que es menor que la base)

0

2

2

1

1

0

1

0

0

0

1

1

Resto

Resto

Resto

Resto

Resto

Cociente < 2

Binario = 101011

Decimal a binario

Pasar el número decimal 65 a binario

65

2

=

÷

Resto

Binario =

1

Decimal = 6510

10000012

32

2

32

=

16

÷

Resto

16

2

=

8

÷

Resto

8

2

=

4

÷

0

Resto

4

2

=

2

÷

Resto

2

2

=

÷

Resto

1

0

0

0

0

0

1

0

ver desarrollo

0

0

0

1

ver solución

Decimal a binario

Pasar el número decimal 253 a binario

253

2

=

126

÷

Resto

126

2

=

63

÷

Resto

63

2

=

31

÷

Resto

31

2

=

15

÷

1

Resto

15

2

=

7

÷

Resto

3

2

=

÷

Resto

Binario =

1

1

0

1

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

7

2

=

3

÷

Resto

Decimal = 25310

111111012

ver solución

1

Decimal a binario

1000101102

Binario =

Decimal: 278 10

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

101101002

Binario =

Decimal: 18010

100001100012

Binario =

Decimal: 107310

1110002

Binario =

Decimal: 5610

10100012

Binario =

Decimal: 8110

Decimal a octal

Decimal a octal

Ya hemos visto que el sistema decimal es de base 10 y tiene 10 símbolos.

Como hemos visto, en decimal a binario dividimos el número por 2. En el caso de decimal a octal, dividimos el número por 8 y escribimos los restos en orden inverso (situando como primera cifra el cociente que quedó menor que 8) para obtener el número octal equivalente. Por tanto los pasos a seguir son exactamente iguales que en la conversión de decimal a binario, pero utilizando el 8 como divisor y no el 2.

Octal es el sistema de numeración de base 8, que solo utiliza los dígitos del 0 al 7.

Veamos un ejemplo a continuación.

Decimal a octal

Decimal 394

394

8

=

49

÷

Resto

2

6

1

2

Decimal = 39410

49

8

=

6

÷

Resto

1

Octal = 6128

Decimal a octal

Octal=

Decimal: 1792 10

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

34008

Octal=

Decimal: 45610

7108

Octal=

Decimal: 253610

47508

Octal=

Decimal: 21610

3308

Octal=

Decimal: 10110

1458

Decimal a hexadecimal

Decimal a hexadecimal

La base de un sistema numérico hexadecimal es 16. Al ser un sistema numérico de base 16, utiliza 16 símbolos. Estos incluyen diez dígitos decimales, es decir, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y las primeras seis letras del alfabeto, es decir, A, B, C, D, E, F, que se utilizan para representar los valores 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente en una sola cifra cada uno.

Para convertir un número decimal del 1 al 15, existe un número hexadecimal equivalente. En la tabla de la derecha podemos ver las conversiones:

Para los números decimales mayores que 15 tenemos que dividir el número decimal por 16 y anotar el resto para obtener el número hexadecimal equivalente, igual que hicimo en binario y octal. La única diferencia es que para cada resto del 0 al 9, los números se contabilizarán de la misma forma en el sistema decimal, pero del 10 al 15 se expresarán en orden alfabético, como A, B, C, D, E, F.

Decimal

Hexadecimal

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

F

Decimal a hexadecimal

Decimal = 89410

Hexadecimal= 37E16

Convertir el número decimal 894 a hexadecimal

3

Como 3 es menor que 16, dejamos de dividir y lo utilizamos como primera cifra. Hemos obtenido las cifras 3, 7 y 14.

Como hemos dicho antes, del 0 al 9 utilizamos el mismo dígito que en decimal, pero la última cifra es 14 por tanto tenemos que ver su equivalente dentro de la tabla que vimos antes. En este caso, al 14 le corresponde la letra E.

7

E

894

16

=

55

÷

Resto

14

55

16

=

3

÷

Resto

7

Decimal a hexadecimal

Hexadecimal=

Decimal: 479 10

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

1DF16

Hexadecimal=

Decimal: 600 10

25816

Hexadecimal=

Decimal: 52810

21016

Hexadecimal=

Decimal: 9400 10

24B816

Hexadecimal=

Decimal: 860 10

35C16

binario a decimal

binario a decimal

Para la conversión de binario a decimal, se multiplica cada dígito comenzando desde el situado más a la derecha por las potencias de 2, comenzando con 2 0 y aumentando el exponente en 1 a medida que se avanza hacia el lado izquierdo. La suma de todos estos valores obtenidos para cada dígito da el valor equivalente del número binario dado en el sistema decimal.

Veamos un ejemplo.

binario a decimal

Primero enumeramos los exponentes de 2 para todos los dígitos del número binario, comenzando desde la posición más a la derecha. La primera potencia sería 2 0 y, a medida que avanzamos hacia el lado izquierdo, será 2 1 , 2 2 , 2 3 .

Vamos a convertir el número binario 1010 2 a un número decimal.

Segundo, multiplicamos cada dígito del número binario comenzando desde la derecha con su respectivo en función de su posición y los sumamos.

1 0 1 0

23 22 21 20

Binario : 10102

Decimal: 1010

23 + 0 + 21 + 0

8 + 0 + 2 + 0 = 10

8 + 2 = 10

binario a decimal

Veamos un ejemplo más, con el número binario 100102

A la hora de multiplicar tendremos en cuenta solo los unos , ya que tal y como dijimos los números multiplicados por cero dan cero.

Binario : 100102

Decimal: 1810

16

2

=

18

+

2 3

2 2

2 1

20

2 4

0

0

0

1

1

2 4

2 x 2 x 2 x 2 = 16

2 1

+

binario a decimal

Decimal =

Binario: 11111 2

Solución

Solución

Solución

Solución

Solución

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

3110

Decimal =

Binario: 1011000 2

88 10

Decimal =

Binario: 111101 2

61 10

Decimal =

Binario: 100 2

4 10

Decimal =

Binario: 101010 2

42 10

octal a decimal

La conversión de octal a decimal sigue el mismo proceso que acabamos de ver para la conversión de binario a decimal, con la diferencia de que en este caso la base será 8 y no 2.

Veamos un ejemplo, convirtiendo a decimal el número octal 3708

3 x 8 2 + 7 x 8 1 + 0 x 8 0

3 x 64 + 56 + 0

octal a decimal

8 2

8 1

192 + 56 = 248 10

7

0

3

8 o

El número octal 3708

x

x

x

equivale al decimal 248 10

octal a decimal

Decimal =

Octal: 2671 8

Solución

Solución

Solución

Solución

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

Desarrollo

1465 10

Decimal =

Octal: 121 8

81 10

Decimal =

Octal: 344 8

228 10

Decimal =

Octal: 1200 8

640 10

hexadecimal a decimal

hexadecimal a decimal

La conversión de hexadecimal a decimal sigue el mismo proceso que acabamos de ver para la conversión de octal a decimal, pero en este caso (además de usar como base el 16) si en la cifra hexadecimal hay letra, antes de multiplicar debemos utilizar la tabla para ver el equivalente en decimal de dicha letra. Para eso podemos utilizar la tabla que vimos en la conversión de decimal a hexadecimal.

Veamos un ejemplo, convirtiendo a decimal el número hexadecimal 23E 16

2 x 16 2 + 3 x 16 1 + 14 x 16 0

2 x 256 + 3 x 16 + 14 x 1

16 2

16 1

512 + 48 + 14 = 574 10

El número hexadecimal 23E 16

equivale al decimal 574 10

3

E

2

E = 14 (ver tabla)

16 o

x

x

x

hexadecimal a decimal

Decimal =

Hexadecimal: F7D 16

3965 10

Solución

Solución

Solución

Desarrollo

43785 10

Desarrollo

Desarrollo

Decimal =

Hexadecimal: AB09 16

86793210

Decimal =

Hexadecimal: D3E5C16

¡¡¡ hasta pronto !!!

Octal =

7108

7

1

0

456

8

=

57

÷

Resto

0

57

8

=

7

÷

Resto

1

Hexadecimal=

35C16

3

5

C

860

16

=

53

÷

Resto

12

53

16

=

3

÷

Resto

5

12 en la tabla hexadecimal corresponde a C

2 3

2 2

2 1

20

2 4

1

0

0

0

1

2 5

2 3

+

2 1

+

32

8

=

+

+

2

42

Binario 101010 2

Decimal = 42 10

2 5

1

Decimal

Hexadecimal

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

F

Decimal

Hexadecimal

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

F

192 + 32 + 4 = 228 10

Decimal 228 10

Octal 344 8

8 2

8 1

8 0

3

4

4

3 × 8 2 + 4 × 8 1 + 4 × 8 0

3 × 64 + 4 × 8 + 4 × 1

Binario =

100001100012

1

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1073

2

=

536

1

÷

Resto

1

536

2

=

268

÷

Resto

268

2

=

134

÷

Resto

134

2

=

67

÷

0

Resto

67

2

=

33

÷

Resto

16

2

=

÷

Resto

0

0

1

0

8

33

2

=

16

÷

Resto

1

2

2

Resto

÷

0

1

=

4

2

=

÷

Resto

0

2

8

2

=

÷

Resto

0

4

851968 + 12288 + 3584 + 80 + 12 = 867932 10

16 2

16 1

Decimal 867932 10

16 0

E

C

Hexadecimal D3E5C 16

5

16 3

3

16 4

D = 13

E = 14

C = 12

D

13×16 4 + 3×16 3 + 14 × 16 2 + 5 × 16 1 + 12 × 16 0

13 × 65536 + 3 × 4096 + 14 × 256 + 5 × 16 + 12 × 1

Binario =

1110002

1

1

56

2

=

1

28

÷

0

Resto

0

0

28

2

=

14

÷

0

Resto

7

2

=

÷

Resto

0

1

3

14

2

=

7

÷

Resto

0

3

Resto

2

÷

=

1

1

Octal =

47508

4

7

5

2536

8

=

317

÷

Resto

0

317

8

=

39

÷

Resto

5

39

8

=

4

÷

Resto

7

0

Binario =

101101002

1

0

180

1

2

1

=

90

0

÷

Resto

1

0

0

0

90

2

=

45

÷

Resto

45

2

=

22

÷

Resto

22

2

=

11

÷

0

Resto

11

2

=

5

÷

Resto

2

2

=

÷

Resto

0

1

1

0

1

5

2

=

2

÷

Resto

1

Decimal

Hexadecimal

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

F

Decimal

Hexadecimal

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

A

11

B

12

C

13

D

14

E

15

F

2 3

2 2

2 1

20

2 4

1

1

1

1

1

16

8

=

+

+

4

+

2 4

2

+

2 3

1

+

2 2

2 1

+

2 0

+

+

Cualquier número elevado a cero es igual a uno. 20 = 1

31

Binario =

10100012

81

1

2

=

40

0

÷

Resto

1

40

2

=

20

÷

0

0

Resto

0

20

2

=

0

10

÷

1

Resto

5

2

=

÷

Resto

1

0

1

2

10

2

=

5

÷

Resto

0

=

÷

Resto

2

2

1

0

3

7

3

7

14

E

Hexadecimal=

24B816

2

4

B

9400

16

=

587

÷

Resto

8

587

16

=

36

÷

Resto

11

36

16

=

2

÷

Resto

4

8

11 en la tabla hexadecimal corresponde a B

278

2

=

139

÷

Resto

0

139

2

=

69

÷

Resto

69

2

=

34

÷

Resto

Binario =

34

2

=

17

÷

1000101102

0

Resto

17

2

=

8

÷

Resto

4

2

=

÷

Resto

1

1

1

0

2

8

2

=

4

÷

Resto

0

2

2

=

1

÷

Resto

0

1

0

0

0

1

0

1

1

0

3840 + 112 + 13 = 3965 10

16 2

16 1

16 0

F

Decimal 3965 10

Hexadecimal F7D 16

D

7

F = 15

D = 13

15 × 16 2 + 7 × 16 1 + 13 × 16 0

15 × 256 + 7 × 16 + 13 × 1

Hexadecimal=

479

16

=

29

÷

Resto

15

29

16

=

1

÷

Resto

13

1

D

F

1

13

15

1

D

F

1DF16

Hexadecimal=

25816

600

16

=

37

÷

Resto

8

37

16

=

2

÷

Resto

5

2

5

8

Vemos que en este resultado no hay ningún resto mayor que 9, por tanto no es necesario utilizar letras.

Recordar, para obtener el resto, multiplicamos por ocho los decimales del resultado.0,25 x 8 = 2

En caso de utilizar calculadora, conseguiremos el resto del siguiente modo:

65

÷

2 = 32,5

Para saber el resto multiplicamos 2 (que es el número por el que hemos dividido) por los decimales del resultado, es decir:

0,5 x 2 = 1

El resto es 1. De ese modo podemos utilizar la calculadora sin necesidad de hacer la división entera.

64 + 16 + 1 = 81 10

Decimal 81 10

Octal 121 8

8 2

8 1

8 0

1

1

2

1 × 8 2 + 2 × 8 1 + 1 × 8 0

1 x 64 + 2 x 8 + 1 x 1

Octal =

1

4

5

101

8

=

12

÷

Resto

5

12

8

=

1

÷

Resto

4

1458

512 + 128 = 640 10

8 3

8 2

Decimal 640 10

Octal 1200 8

8 1

1

2

0

0

8 0

1 × 512 + 2 × 64 + 0 × 8 + 0 × 1

1 × 8 3 + 2 × 8 2 + 0 × 8 1 + 0 × 8 0

Octal =

34008

3

4

0

0

1792

8

=

224

÷

Resto

0

224

8

=

28

÷

Resto

28

8

=

3

÷

Resto

0

4

2 2

2 1

20

1

0

0

2 2

=

4

4

Binario 100 2

Decimal = 4 10

Decimal 43785 10

Hexadecimal AB09 16

40960 + 2816 + 9 = 43785 10

16 2

16 1

16 0

B

9

0

A = 10

B = 11

10 × 4096 + 11 × 256 + 9 x 1

16 3

A

10×16 3 + 11 × 16 2 + 0 × 16 1 + 9 × 16 0

Octal =

3308

3

3

0

216

8

=

27

÷

Resto

0

27

8

=

3

÷

Resto

3

Hexadecimal=

21016

528

16

=

33

÷

Resto

0

33

16

=

2

÷

Resto

1

2

1

0

Recordar, para obtener el resto, multiplicamos por 16 los decimales del resultado.0,875 x 16 = 14

2 5

2 4

2 3

2 2

2 6

0

1

0

1

1

2 6

2 4

+

2 3

+

21

0

20

0

Binario 100102

Decimal = 88 2

64

16

=

+

+

8

88

1024 + 384 + 56 + 1 = 1465 10

8 3

8 2

Decimal 1465 10

Octal 2671 8

8 1

2

6

1

7

8 0

2 × 512 + 6 × 64 + 7 × 8 + 1 × 1

2 × 8 3 + 6 × 8 2 + 7 × 8 1 + 1 × 8 0

2 3

2 2

2 1

20

2 4

1

1

1

1

0

2 5

2 4

+

2 3

2 2

+

2 0

+

+

32

16

=

+

+

8

+

4

+

1

61

Binario 111101 2

Decimal = 61 10

2 5

1