Explorando las cónicas
Cónicas, son las secciones transversales de un cono de doble siesta. Dependiendo del ángulo del plano con respecto al cono, una sección cónica puede ser un círculo, un elipse, una parábola, o una hipérbola.
Teorema de Dandelin
Excentricidad
ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Las esferas inscritas en el cono son tangentes al plano de corte, por encima y por abajo, en los puntos F y F' Al ser PF = PQ y PF = PQ: ya que son iguales dos tangentes de un punto exterior P a cualquiera de las esferas, resulta que PF + PF'= PQ + PQ'= QQ' que es la longitud constante sobre la generatriz del cono.
Propiedades
- x0, y0: Coordenadas xe y del centro de la elipse
- a : Semieje de abcisas
- b: Semieje de ordenadas.
- b ≤ a
Circunferencia
Es una curva plana, cerrada, multisimétrica, cuyos puntos equidistan la distancia radio de otro interior llamada centro. Puede considerarse como una elipse especial en la que los dos focos coinciden.
Excentricidad =0PF/CO = 0
Circunferencia:El plano de corte es perpendicular al eje de generación del cono
Elipse
Dandelin encontró una manera de encontrar los focos y demostrar la propiedad focal.
¿Cómo se intersectan? ¿Cómo lo encontro Dandelin? Ya que los circulos apoyados contra cada cono se encuentran entre pianos paralelos entre si, forman dos circulos y cada línea que pasa entre estos circulos y el vértice del cono corta segméntos iguales entre dos círculos; y la unión entre la vértice del cono y las circunferencias
Propiedad focal de las elipses La suma de las distancias entre cualquier punto de la elipse y los dos focos es constante
d1+d2=RE+EQ=QR=d
Hipérbola
Es cuando se corta un cono con un plano en un ángulo, tal que atraviesa ambas hojas del cono. Es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la diferencia.
Elementos
- Focos, son puntos fijos (2) los cuales dan las distancias de cualquier punto de la hipérbola.
- Centro, punto medio entre los dos focos.
- Vértice, Son los puntos donde la hiperbola corta el eje.
- Directriz, Cada esfera es tangente a un plano que pasa por el vertice del cono y es paralelo al plano del corte. Estos planos deteminan las directricos de la hiperbola.
- Excentricidad, x>1
Teorema de Dandelin
Relaciona las secciones cónicas con las esferas tangentes interiores a la superficie cónica. Los puntos de tangencial son los focos de la curva. La distancia entre las circunferencias de contacto entre las esferas y el cono es el diámetro mayor 2ª. Las intersecciones entre los planos de estas circunferencias y el plano que produce la cónica son las rectas directrices
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Para la hipérbola, observamos que los focos F y F' son los puntos de tangencia de las esferas inscritas, superior e inferior, con el plano de corte; Pes un punto sobre una de las ramas de la hipérbola. Debido al hecho de que PF = PQ y que PF'= PQ' (por ser pares de tangentes externas, desde P. a cada esfera), podemos concluir que FP - F'P = PQ - PQ' = QQ' que es una distancia constante. Esta es, claramente, la propiedad que define a la hipérbola H={P (x,y)||d (P;F1) -d (P;F2) |= 2a=cte}
- Focos: F1 (c, 0) y F2 (-c, 0)
- * Centro: C (h, k)
- * Vértices: V1 (a, 0) yV2 (-a,0)
- * Eje focal: recta que contiene a los focos.
- * 2c es la distancia entre los focos
- * Se cumple que c12=a^2+b^2
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
La propiedad que de la parábola, PF = PD. se sigue de los hechos siguientes PF - PQ por ser tangentes a la esfera desde el punto exterior P: PQ - PQ' por ser generatrices comprendidas entre planos paralelos; por último, en el paralelepipedo que forman los planos indicados en la figura, P'Q' = PD. Tenemos asi la cadena de igualdades PF = PC= P'Q' = PD que muestra que PF = PD.
Donde:
- Vértice (a,b)
- p distancia de la directriz al vértice
Parábola
Curva plana, abierta, de una rama, simétrica perteneciente al grupo de las cónicas, cuyos puntos equidistan de una recta (directriz) y de un punto (foco). Existe un vértice sobre el eje que lógicamente equidista de la d y del f.
Excentricidad = 1 PF/PD<1; excent= c/a
ParábolaEl ángulo del plano con el eje es igual que el ángulo de generación del cono
Excentricidad
La razón (proporción) de distancia entre un punto de una cónica y el foco y entre aquel y la recta directriz es constante y se conoce como excentricidad de la curva.
Cónicas
Faviola Herrera Cazares
Created on September 26, 2024
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Explorando las cónicas
Cónicas, son las secciones transversales de un cono de doble siesta. Dependiendo del ángulo del plano con respecto al cono, una sección cónica puede ser un círculo, un elipse, una parábola, o una hipérbola.
Teorema de Dandelin
Excentricidad
ECUACIÓN DE LA ELIPSE
Las esferas inscritas en el cono son tangentes al plano de corte, por encima y por abajo, en los puntos F y F' Al ser PF = PQ y PF = PQ: ya que son iguales dos tangentes de un punto exterior P a cualquiera de las esferas, resulta que PF + PF'= PQ + PQ'= QQ' que es la longitud constante sobre la generatriz del cono.
Propiedades
Circunferencia
Es una curva plana, cerrada, multisimétrica, cuyos puntos equidistan la distancia radio de otro interior llamada centro. Puede considerarse como una elipse especial en la que los dos focos coinciden.
Excentricidad =0PF/CO = 0
Circunferencia:El plano de corte es perpendicular al eje de generación del cono
Elipse
Dandelin encontró una manera de encontrar los focos y demostrar la propiedad focal.
¿Cómo se intersectan? ¿Cómo lo encontro Dandelin? Ya que los circulos apoyados contra cada cono se encuentran entre pianos paralelos entre si, forman dos circulos y cada línea que pasa entre estos circulos y el vértice del cono corta segméntos iguales entre dos círculos; y la unión entre la vértice del cono y las circunferencias
Propiedad focal de las elipses La suma de las distancias entre cualquier punto de la elipse y los dos focos es constante
d1+d2=RE+EQ=QR=d
Hipérbola
Es cuando se corta un cono con un plano en un ángulo, tal que atraviesa ambas hojas del cono. Es el conjunto de todos los puntos en el plano tales que la diferencia.
Elementos
Teorema de Dandelin
Relaciona las secciones cónicas con las esferas tangentes interiores a la superficie cónica. Los puntos de tangencial son los focos de la curva. La distancia entre las circunferencias de contacto entre las esferas y el cono es el diámetro mayor 2ª. Las intersecciones entre los planos de estas circunferencias y el plano que produce la cónica son las rectas directrices
ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
Para la hipérbola, observamos que los focos F y F' son los puntos de tangencia de las esferas inscritas, superior e inferior, con el plano de corte; Pes un punto sobre una de las ramas de la hipérbola. Debido al hecho de que PF = PQ y que PF'= PQ' (por ser pares de tangentes externas, desde P. a cada esfera), podemos concluir que FP - F'P = PQ - PQ' = QQ' que es una distancia constante. Esta es, claramente, la propiedad que define a la hipérbola H={P (x,y)||d (P;F1) -d (P;F2) |= 2a=cte}
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA
La propiedad que de la parábola, PF = PD. se sigue de los hechos siguientes PF - PQ por ser tangentes a la esfera desde el punto exterior P: PQ - PQ' por ser generatrices comprendidas entre planos paralelos; por último, en el paralelepipedo que forman los planos indicados en la figura, P'Q' = PD. Tenemos asi la cadena de igualdades PF = PC= P'Q' = PD que muestra que PF = PD.
Donde:
Parábola
Curva plana, abierta, de una rama, simétrica perteneciente al grupo de las cónicas, cuyos puntos equidistan de una recta (directriz) y de un punto (foco). Existe un vértice sobre el eje que lógicamente equidista de la d y del f.
Excentricidad = 1 PF/PD<1; excent= c/a
ParábolaEl ángulo del plano con el eje es igual que el ángulo de generación del cono
Excentricidad
La razón (proporción) de distancia entre un punto de una cónica y el foco y entre aquel y la recta directriz es constante y se conoce como excentricidad de la curva.