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Exploración de las curvas de nivel en funciones multivariables

Veamos cómo se pueden obtener las curvas de nivel de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑦2. Según la la definición de curva de nivel, analizamos el comportamiento de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑘, donde 𝑘 es una constante real. Entonces, procedemos por casos sobre el valor de 𝑘. Haz clic en los botones interactivos para ver el detalle de cada caso.

Para 𝑘 = 0

Representación tridimensional

Para 𝑘<0

Para 𝑘 ≠ 0

Para 𝑘 ≠ 0

Figura 2

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2 − 𝑦2 cuando 𝑘 > 0.

Si k ≠ 0, entonces identificamos que x2 - y2 = k es la estructura de una hipérbola. Si k > 0, entonces las secciones cónicas son hipérbolas horizontales. En la siguiente gráfica se muestran algunas curvas de nivel cuando k > 0.

Representación tridimensional

Si “unimos” todas las curvas de nivel, tenemos la siguiente figura 4. Sin embargo, si colocamos cada curva a la “altura” 𝑘 en un espacio tridimensional, tenemos la figura 5.

Y podemos comprobar que el conjunto de nivel resulta ser la gráfica de la función 𝑓. Insistimos que este proceso es conocido como curvas de nivel y nos permite modelar la gráfica de una función multivariable.

Figura 5

Figura 4

Comparación de las curvas de nivel y la gráfica de la misma función 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥2 − 𝑦2 en un solo plano

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2 − 𝑦2 en un solo plano

Para 𝑘 = 0

Figura 1

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2 − 𝑦2 cuando 𝑘 = 0

Si k = 0, tenemos x2 - y2 = 0, esto si y solo si x2 = y2, si y solo si y = ±x, entonces, la curva de nivel para k = son las rectas y = ±x que pasan por el origen. La siguiente imagen presenta la situación.

Para 𝑘 < 0

Figura 3

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 cuando 𝑘 < 0

Si k < 0, entonces las secciones cónicas son hipérbolas verticales, puesto que, si se multiplica por un negativo, tenemos y2 - x2 = |k|. En la siguiente gráfica se muestran algunas curvas de nivel cuando k < 0. Atención: si k < 0, en la ecuación y2 - x2 = |k| implica que |k| es positivo.