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Veamos cómo se pueden obtener las curvas de nivel de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑦2. Según la la definición de curva de nivel, analizamos el comportamiento de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑘, donde 𝑘 es una constante real. Entonces, procedemos por casos sobre el valor de 𝑘. Haz clic en los botones interactivos para ver el detalle de cada caso.

Exploración de las curvas de nivel en funciones multivariables

Representación tridimensional

Para 𝑘<0

Para 𝑘 ≠ 0

Para 𝑘 = 0

Para 𝑘 ≠ 0

Si k ≠ 0, entonces identificamos que x2 - y2 = k es la estructura de una hipérbola. Si k > 0, entonces las secciones cónicas son hipérbolas horizontales. En la siguiente gráfica se muestran algunas curvas de nivel cuando k > 0.

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2 − 𝑦2 cuando 𝑘 > 0.

Figura 2

Representación tridimensional

Si “unimos” todas las curvas de nivel, tenemos la siguiente figura 4. Sin embargo, si colocamos cada curva a la “altura” 𝑘 en un espacio tridimensional, tenemos la figura 5.

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2 − 𝑦2 en un solo plano

Figura 4

Comparación de las curvas de nivel y la gráfica de la misma función 𝑓(𝑥,𝑦) 𝑥2 − 𝑦2 en un solo plano

Figura 5

Y podemos comprobar que el conjunto de nivel resulta ser la gráfica de la función 𝑓. Insistimos que este proceso es conocido como curvas de nivel y nos permite modelar la gráfica de una función multivariable.

Para 𝑘 = 0

Si k = 0, tenemos x2 - y2 = 0, esto si y solo si x2 = y2, si y solo si y = ±x, entonces, la curva de nivel para k = son las rectas y = ±x que pasan por el origen. La siguiente imagen presenta la situación.

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2 − 𝑦2 cuando 𝑘 = 0

Figura 1

Para 𝑘 < 0

Si k < 0, entonces las secciones cónicas son hipérbolas verticales, puesto que, si se multiplica por un negativo, tenemos y2 - x2 = |k|. En la siguiente gráfica se muestran algunas curvas de nivel cuando k < 0. Atención: si k < 0, en la ecuación y2 - x2 = |k| implica que |k| es positivo.

Curvas de nivel de 𝑓(𝑥,𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 cuando 𝑘 < 0

Figura 3