Para
š‘˜ = 0
Para
š‘˜ ā‰  0
Para
š‘˜<0
RepresentaciĆ³n tridimensional
ExploraciĆ³n de las curvas de nivel en funciones multivariables
Veamos cĆ³mo se pueden obtener las curvas de nivel de la funciĆ³n š‘“(š‘„) = š‘„āˆ’ š‘¦2. SegĆŗn la la definiciĆ³n de curva de nivel, analizamos el comportamiento de š‘“(š‘„,š‘¦)=š‘˜, donde š‘˜ es una constante real. Entonces, procedemos por casos sobre el valor de š‘˜.

Haz clic en los botones interactivos para ver el detalle de cada caso.

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Transcript

Para š‘˜ = 0

Para š‘˜ ā‰  0

Para š‘˜<0

RepresentaciĆ³n tridimensional

ExploraciĆ³n de las curvas de nivel en funciones multivariables

Veamos cĆ³mo se pueden obtener las curvas de nivel de la funciĆ³n š‘“(š‘„) = š‘„2 āˆ’ š‘¦2. SegĆŗn la la definiciĆ³n de curva de nivel, analizamos el comportamiento de š‘“(š‘„,š‘¦)=š‘˜, donde š‘˜ es una constante real. Entonces, procedemos por casos sobre el valor de š‘˜. Haz clic en los botones interactivos para ver el detalle de cada caso.

Figura 2

Curvas de nivel de š‘“(š‘„,š‘¦)=š‘„2 āˆ’ š‘¦2 cuando š‘˜ > 0.

Si k ā‰  0, entonces identificamos que x2 - y2 = k es la estructura de una hipĆ©rbola. Si k > 0, entonces las secciones cĆ³nicas son hipĆ©rbolas horizontales. En la siguiente grĆ”fica se muestran algunas curvas de nivel cuando k > 0.

Para š‘˜ ā‰  0

Y podemos comprobar que el conjunto de nivel resulta ser la grĆ”fica de la funciĆ³n š‘“. Insistimos que este proceso es conocido como curvas de nivel y nos permite modelar la grĆ”fica de una funciĆ³n multivariable.

Figura 5

ComparaciĆ³n de las curvas de nivel y la grĆ”fica de la misma funciĆ³n š‘“(š‘„,š‘¦) š‘„2 āˆ’ š‘¦2 en un solo plano

Figura 4

Curvas de nivel de š‘“(š‘„,š‘¦)=š‘„2 āˆ’ š‘¦2 en un solo plano

Si ā€œunimosā€ todas las curvas de nivel, tenemos la siguiente figura 4. Sin embargo, si colocamos cada curva a la ā€œalturaā€ š‘˜ en un espacio tridimensional, tenemos la figura 5.

RepresentaciĆ³n tridimensional

Figura 1

Curvas de nivel de š‘“(š‘„,š‘¦)=š‘„2 āˆ’ š‘¦2 cuando š‘˜ = 0

Si k = 0, tenemos x2 - y2 = 0, esto si y solo si x2 = y2, si y solo si y = Ā±x, entonces, la curva de nivel para k = son las rectas y = Ā±x que pasan por el origen. La siguiente imagen presenta la situaciĆ³n.

Para š‘˜ = 0

Figura 3

Curvas de nivel de š‘“(š‘„,š‘¦) = š‘„2 āˆ’ š‘¦2 cuando š‘˜ < 0

Si k < 0, entonces las secciones cĆ³nicas son hipĆ©rbolas verticales, puesto que, si se multiplica por un negativo, tenemos y2 - x2 = |k|. En la siguiente grĆ”fica se muestran algunas curvas de nivel cuando k < 0. AtenciĆ³n: si k < 0, en la ecuaciĆ³n y2 - x2 = |k| implica que |k| es positivo.

Para š‘˜ < 0