P2- RA

P2: Simulación de Sistemas Dinámicos

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Módulo didáctico

Índice del módulo

Modelado de ejemplo

Linealización

Introducción

Ejercicios

Modelos Simulink

Gráficas

Enlace práctica

Presentación del módulo

Modelado de sistemas dinámicos

Modelado de un sistema de dos tanques colocados en cascada.

Dado el tanque 1, que tiene como entrada su caudal (qin1) y de salida la altura de ese tanque (h1), se le añade un tanque 2 que tiene de entrada el caudal de salida del tanque 1 (qout1), una vez realizado los cáclulos se ve que se relaciona con la altura 1 y como salida la altura 2. Además se comprueba si se puede caracterizar este sistema a través de la linealización.

A partir del minuto 7:44

Presentación del módulo

Modelo de ejemplo- masa con amortiguador y resorte

Datos usados: m=2 kg; k=4 N/m; b=0.5; u*=2 N;

+ info

Presentación del módulo

Modelo de ejemplo- masa con amortiguador y resorte

Sistema no lineal modelado

Scope para visualizar ambos resultados

Entrada en escalón

Función de transferencia linealizada

Presentación del módulo

Modelo de ejemplo- masa con amortiguador y resorte

Gráfica amarilla: representa el modelo gráfica azul: representa la linealización del modelo

Gráficas sin colocar la entrada en el punto de equilibrio

Gráficas colocando la entrada en el punto de equilibrio

Presentación del módulo

Simplificación de ecuaciones de los tanques

Modelo

Cálculos

Modelos Simulink tanques (separados)

Presentación del módulo

Modelos Simulink tanques (separados)

Ecuaciones del modelo

Se realiza un despeje en base a las ecuaciones usadas en el modelo de sistemas hidraúlicos, además en el segundo tanque como su caudal de entrada (qin2) es igual al caudal de salida del tanque 1 (qout1), se realizaría un despeje para que la ecuación del tanque 2 sea en función a la altura del tanque 1 (h1).

Presentación del módulo

Simulación de los tanques por separado

scope block

integrator block

Entrada Step

Add block

Gain block

Step: entrada mediante función escalón. Add: realiza en este caso las sumas y las restas en el modelo. Gain: es la multiplicación por algo constante. Math function: en este caso se utiliza para aplicar la raíz cuadrada. Integrator block: integra la entrada para reducir el grado e ir pasando por las distintas variables a estudiar. Scope: muestra mediante gráfica los resultados que se quieren observar.

Math function block

Presentación del módulo

Función final

Linealización

Se realizan los cálculos detallados para la ecuación del tanque 1.

Punto de equilibrio

Transformada de Laplace

Definir F para cada tanque

Funciones de transferencia

Definir incrementos

Función linealizada del modelo

Calcular y evaluar derivadas parciales

Cálculos Tanque 2

Presentación del módulo

Linealización

Punto de equilibrio

A continuación se sustituye h1 en la ecuación del tanque 1 para poder despejar el punto de equilibrio para la entrada. h1' es 0 debido a que el valor de h1 es una constante en la que su derivada es 0.

Como el punto de equilibrio es h2, se comienza a operar en la ecuación del tanque 2, en esta se sustituyen los valores de h2', h2, B1, B2 y A2, se despeja h1. h2' es 0 debido a que el punto de equilibrio es una constante en la que su derivada es 0.

Presentación del módulo

Linealización

Además se evalua la función en el punto de equilibrio. La evaluación de la función se usará más adelante cuando se simplifique la función.

Se usará para la linealización el desarrollo en series de Taylor, que según la ecuación del tanque 1 es:

Definir F para cada tanque

Presentación del módulo

Linealización

Definir incrementos

Se definen los incrementos de las variables de la ecuación.

A partir de aquí los incrementos serán el resultado a estudiar.

Presentación del módulo

Linealización

Calcular y evaluar derivadas parciales

Se calculan las derivadas parciales de cada variable, para ello nos tenemos que fijar en todo lo que acompaña en la ecuación a cada variable. A continuación se evaluan en el punto de operación, en este caso se mantienen el valor de las constantes hasta el final donde se sustituyen. Se realiza a parte la derivada parcial de h1 que viene acompañada de una raíz, como una potencia.

Presentación del módulo

Linealización

Función final

simplificados los pasos anteriores se llega a la función, esta función depende de los incrementos de las variables.

Presentación del módulo

Linealización

Transformada de Laplace

Se realiza la transformada de Laplace para la función del tanque 1, como se puede observar queda en función de los incrementos de las variables.

Presentación del módulo

Linealización

Todos los mismos pasos para la ecuación del tanque 2

Presentación del módulo

Linealización

Funciones de transferencia que se quieren calcular.

Funciones de transferencia

Ecuación tanque 2

Ecuación tanque 1

Como se puede observar al contrario que en una función de transferencia, esta función depende de los incrementos de las variables, no de variables constantes como ocurre con los modelos lineales.

Presentación del módulo

Linealización

Función linealizada del modelo

Se multiplican ambas funciones para poder expresar la función de transferencia como menciona el ejercicio en la que la salida es la altura del tanque 2 y la entrada es el caudal del tanque 1.

Simulación la función linealizada

Sesiones de aprendizaje

Como tiempo en las simulaciones se ha colocado entre 250-500 s porque es cuando se aprecian cambios considerables en las gráficas.

Modelos simulink

Modelo del sistema

Modelo con la función linealizada

Sesiones de aprendizaje

Modelo del sistema

Modelos simulink

Simulación del modelo físico, se parte de la variable qin1 que recorre las ecuaciones del tanque 1 hasta llegar a h1, una vez se ha llegado a h1 con sus respectivas constantes y raíces, se realiza la unión con el tanque 2 ya que h1 es la variable que une los dos tanques, este siguiente modelo se realiza de la misma manera que el anterior hasta llegar a h2. En el scope se compara la variación de h2 con respecto a qin1 , y se visualizan las dos alturas h1 y h2.

Sesiones de aprendizaje

Modelo con la función linealizada

Modelos simulink

Simulación de las ecuaciones del modelo linealizadas, se le añaden mediante sumas y restas los puntos de equilibrio. El primer valor constante añadido corresponde al punto de equilibrio en qin1 y el segundo sumando corresponde al valor de h2 en el punto de equilibrio. Se realiza esto debido a que los resultados no son valores constantes sino incrementos de las variables (son diferencias entre el caudal de entrada y el caudal de entrada en el punto de equilibrio, igualmente para la h2 sería la diferencia entre su valor y el valor del punto de equilibrio).

La función de transferencia corresponde con la función calculada en la linealización del modelo.

Sesiones de aprendizaje

Gráficas

Gráfica del modelo

Gráfica de la función linealizada

Comparación de ambos

Sesiones de aprendizaje

En los integradores del modelo, en las condiciones iniciales se tiene que colocar el valor de cada variable en el punto de equilibrio en este caso el valor de h1 y h2 en el punto de equilibrio. Para poder visualizar el modelo no lineal.

Gráfica del modelo

Gráficas

Las gráficas se mantienen constantes una vez se ha equilibrado el sistema.

El valor final de la función escalón usado es 1.

Como se puede observar ante una señal escalón el cambio de altura en el tanque 1 es mucho mayor que en el tanque 2, esto puede deberse a dos cosas, a que el tanque 1 está situado en el primer lugar con lo cual se vaciará primero y además puede indicar que el tanque 1 es bastante mayor que el tanque 2.

Si modifico el valor final de la entrada a un valor de 10 como se realiza en el lado derecho se puede observar como la altura del tanque 1 aumentará de mucho más rápido que la altura en el tanque 2.

Sesiones de aprendizaje

Gráfica del modelo

Gráficas

Si colocamos en la entrada tanto de valor inicial o final el valor del punto de equilibrio del caudal inicial 1 podemos observar que se mantiene constante el valor de las alturas, en sus respectivos puntos de equilibrio, calculados en el apartado de linealización, que en el caso de h2 es 4 m y h1 es 64 m.

Sesiones de aprendizaje

En este caso no se pueden mantener los valores iniciales y finales automáticamente asignados por el programa debido a que esta función se ha calculado cercana al punto de equilibrio.

Gráfica de la función linealizada

Gráficas

Tras colocar el valor final de la entrada en el punto de equilibrio dado por h2, se puede observar que, el sistema va a tener un descenso rápido de h2 hasta un valor situado entre 3.93 y 3.94, tras eso subirá y tenderá al valor 4 que es su punto de equilibrio. Esto puede significar que el tanque 2 se vaciará rapidamente hasta que luego al llenarse se queda constante en 4 m.

Sesiones de aprendizaje

Gráfica de la función linealizada

Gráficas

En este caso se coloca tanto el valor final como el inicial en 4 m para comprobar que no haya curvas y que la función este correctamente linealizada, este detalle se verá mejor en la comparación de gráficas.

Sesiones de aprendizaje

Comparación de ambos

Gráficas

Aqui se realiza la comprobación de la linealización de la función. Para ello se procederá a cambiar los valores inicial y final de la función escalón al valor de la entrada en el punto de equilibrio, en este caso 4. Si ambas salen constantes e iguales, querrá decir que en ese punto de operación estaría bien realizada la linalización de los tanques y que en ese rango de valores se puede tener una aproximación buena del modelo físico no lineal.

Ambas rectas son completamente coincidentes.

Sesiones de aprendizaje

Comparación de ambos

Gráficas

Se puede comprobar que cerca del punto de equilibrio, de hecho se ha colocado en la entrada como valor final el punto de equilibrio, que las gráficas son coincidentes y que la aproximación se cumple cercanos a este punto.

Sesiones de aprendizaje

Comparación de ambos

Gráficas

Ahora se ha alejado, modificando el valor final en la entrada el modelo del punto de equilibrio. Se puede observar que hasta el punto de equilibrio las gráficas son similares, pero que al pasar el punto de equilibrio la gráfica amarilla (corresponiente al modelo) sigue aumentando mientras que la gráfica azul (correspondiente a la linealización) se mantiene constante. Eso quiere decir que lejos del punto de equilibrio la linealización no solo no es exacta sino que se aleja considerablemente del modelo físico real.

tiempo de 1000 s

tiempo de 500 s

Sesiones de aprendizaje/03

Ejercicios

01

02

03

Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Compare el comportamiento del sistema no lineal y el linealizado cerca y lejos del punto de funciona‐ miento nominal.

Halle el modelo linealizado del sistema en torno al punto de equilibrio dado por que la altura del se‐ gundo depósito (salida del sistema) tiene un valor de 4.

Simule en comportamiento del sistema no lineal utilizando Simulink.