Aleatoriedad

La aleatoriedad

La generación y el uso de números aleatorios es un elemento importante para los sistemas

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Números aleatorios y pseudoaleatorios

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Un número aleatorio es un valor que se obtiene al azar, para identificarlo debe ser asignado a un rango de valores; por ejemplo, puede pertenecer al grupo 1 a 10, o bien, a un conjunto infinito de valores

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Números pseudoaleatorios

Se les denomina de esta forma porque se obtienen de un conjunto de operaciones a partir del número generado en algún paso anterior; por ejemplo, pueden iniciar en el 30 y de ahí generar números aleatorios utilizando una fórmula que no sobrepase el 100.

Valor semilla

Al tipo de funciones que se aplican para la generación de los números pseudoaleatorios a partir de un valor semilla se le denomina función determinista, la cual produce el mismo resultado cada vez

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Generadores congruenciales

En esta operación cada uno de los elementos representa lo siguiente:

¿Qué es un generador congruencial lineal? Es un algoritmo matemático utilizado para generar una secuencia de números pseudoaleatorios. Tiene su origen en el año 1951 y utiliza una fórmula matemática que genera el siguiente número de la secuencia a partir del número anterior.

En su forma más sencilla, los generadores congruenciales seguirán la fórmula que se presenta a continuación.

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Kolmogórov-Smirnov

Contrastes de bondad de ajuste

Se utiliza principalmente para comparar la distribución empírica de los datos observados con una distribución teórica continua, como la distribución normal, la uniforme o la exponencial. Con ella se evalúa el grado de alejamiento de los datos con respecto a la distribución empírica.

Son un resumen de la discrepancia que se presenta entre los valores observados y los valores esperados en el modelo de estudio. Dichas medidas se utilizan para comprobar si dos muestras se obtienen a partir de dos distribuciones idénticas, o bien, para detectar si las frecuencias siguen una distribución específica..

Chi cuadrada

Es una técnica estadística utilizada para determinar si hay una diferencia significativa entre las frecuencias observadas y las frecuencias esperadas en una distribución de frecuencias; se utiliza principalmente cuando se trabaja con variables categóricas o discretas.

Contrastes de aleatoriedad e independencia

Además del uso de medidas de ajuste, es posible utilizar procedimientos no paramétricos, es decir, que analizan datos que no presentan una distribución establecida con el fin de descartar algún tipo de observación en la producción de números pseudoaleatorios. Para el uso de estas pruebas es necesario establecer una serie de hipótesis

En la estadística, sirve para evaluar la aleatoriedad de datos binarios, es decir, de los números que sólo pueden tomar los valores de 0 y 1. Esto se basa en la idea de contar el número de rachas, o sea, las secuencias consecutivas de valores iguales en los datos, determinando si la secuencia de datos binarios exhibe un patrón sistemático, o bien, si los valores parecen ser generados al azar.

Teorema central del límite

Distribución

Muestra

Observaciones

la distribucion original debe tener una media finita, que los valoes promedios esten bien defnidos

las muestreas brden ser suficientemente grandes se recoemienda que incluaya unas obsercaciones

Las observaciones de la muestra deben de ser independientes entre si

Estimación y pruebas Permite realizar inferencias de los parámetros de una población y comprobar hipótesis acerca de ellos; por ejemplo, si dos poblaciones tienen medias diferentes se define cuál es su comportamiento.

Predicción y pronóstico Usando técnicas de análisis de datos es posible establecer cómo se comportarán los intervalos de datos de una muestra.

Análisis de muestras Cuando las distribuciones de las muestras no se conocen, permite realizar inferencias de su distribución independientemente del tamaño de la muestra.

Simulación Permite generar datos aleatorios que sigan una distribución normal, ayudando a crear modelos realistas.

Algoritmo de Box-Muller

El algoritmo de Box-Muller se basa en la transformación de coordenadas polares en coordenadas cartesianas utilizando variables aleatorias uniformemente distribuidas. A partir de dos números aleatorios uniformes independientes y distribuidos entre 0 y 1, el algoritmo genera dos números aleatorios que se distribuyen en una curva normal.

Las coordenadas polares utilizan dos valores r y θ para describir la posición de un punto en un plano. Aquí, r representa la distancia desde el origen hasta el punto, mientras que θ representa el ángulo formado entre el eje x positivo; por otro lado, las coordenadas cartesianas utilizan dos valores numéricos x y y para describir la posición de un punto en un plano. El punto de origen se coloca en el cruce de los ejes x y y, así como los valores de x y y representan la distancia horizontal y vertical desde el origen hasta el punto.

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Las variables aleatorias son funciones que asignan valores numéricos a los resultados posibles de un experimento aleatorio, para generarlos se emplean diversos métodos en la simulación, uno de ellos se centra en la información de las variaciones del sistema a lo largo del tiempo.

Método basado en distribución empírica Se deriva de una distribución empírica de las variaciones experimentadas. Para ello, se debe recopilar datos empíricos de las variaciones o de las pérdidas experimentadas en un sistema o proceso a lo largo del tiempo. Cabe aclarar que la calidad de sus resultados dependerá del tipo de datos empíricos recopilados.

La simulación de Montecarlo es una técnica estadística utilizada para estimar resultados mediante el muestreo aleatorio y repetido, calculando los posibles resultados de un suceso incierto. Fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial por John von Neumann y Stanisław Ulam y recibe su nombre en referencia a un famoso casino localizado en Mónaco, ya que su enfoque de modelado es similar al juego de la ruleta.

Método de simulación de variables aleatorias discretas

Es un enfoque útil para generar valores aleatorios de una distribución específica en simulaciones. Al utilizar la función de distribución acumulativa inversa, se puede mapear un número aleatorio uniforme a un valor correspondiente en la distribución objetivo, permitiendo así simular variables aleatorias con la distribución deseada.

Este método permite reducir las comparaciones localizando las zonas en las que se encuentran los números pseudoaleatorios que se han producido. Usando la búsqueda indexada, se utiliza un índice para realizar saltos más grandes y reducir la cantidad de comparaciones necesarias.

Permite generar muestras aleatorias de una distribución discreta con eficiencia constante, ya que los pasos de preparación y construcción sólo se realizan una vez. Esto lo hace particularmente útil en casos donde se necesite generar múltiples muestras aleatorias de una distribución discreta con probabilidades desiguales.

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