Dandelin

Esferas de dandelin

Propiedades de cada cónica

* Aquetzali Jaqueline Martínez Camacho* Victor Andrei Martinez Serrano * Salome Palma Santos * Melissa Rivera Martínez * Gael Rodriguez Nochebuena

Maquetas Esferas de Dandelin

Plano

El ángulo del plano α que corta el cono es sumamente relevante. Se mide respecto al eje.

• β=90° la cónica es una circunferencia.
• β < α, la cónica es una hiperbola.
• β=α, la cónica es una parábola.
• 90° > β > α, la cónica es una elipse.

HIPÉRBOLA

Para la hipérbola, observamos que los focos F y F' son los puntos de tangencia de las esferas inscritas, superior e inferior, con el plano de corte; P es un punto sobre una de las ramas de la hipérbola. Debido al hecho de que PF = PQ y que PF' = PQ' (por ser pares de tangentes externas, desde P, a cada esfera), podemos concluir que FP − F'P = PQ − PQ' = QQ' que es una distancia constante. Ésta es, claramente, la propiedad que define a la hipérbola

H = { P ( x , y ) | | d ( P ; F 1 ) – d ( P ; F 2 ) | = 2 a = c t e }

• Focos: F 1 ( c , 0 ) y F 2 ( – c , 0 )
• Centro: C ( h , k )
• Vértices: V 1 ( a , 0 ) y V 2 ( – a , 0 )
• Eje focal: recta que contiene a los focos.
• 2c es la distancia entre los focos
• Se cumple que c^2=a^2+b^2

PARÁBOLA

La propiedad que dene la parábola, PF = PD, se sigue de los hechos siguientes PF = PQ por ser tangentes a la esfera desde el punto exterior P; PQ = PQ' por ser generatrices comprendidas entre planos paralelos; por último, en el paralelepipedo que forman los planos indicados en la figura, P'Q' = PD.Tenemos así la cadena de igualdades PF = PQ = P'Q' = PD que muestra que PF = PD

P = { P ( x , y ) | d ( P , r ) = d ( P , F ) }

Donde:

• Vértice (a,b)
• p distancia de la directriz al vértice

Excentricidad

La excentricidad muestra cuán "no circular" es la curva. Entre mayor sea la excentricidad, menor es la curvatura. Un concepto muy relevante en las cónicas.

• si excentricidad = 0 se tiene un círculo
• si 0 < excentricidad < 1 se tiene una elipse
• si excentricidad = 1 se tiene una parábola
• si excentricidad > 1 se tiene una hipérbola

Elipse

Las esferas inscritas en el cono son tangentes al plano de corte, por encima y por abajo, en los puntos F y F' Al ser PF = PQ y PF = PQ´, ya que son iguales dos tangentes de un punto exterior P a cualquiera de las esferas, resulta que PF + PF'= PQ + PQ' = QQ' que es la longitud constante sobre la generatriz del cono.

• x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la elipse
• a : Semieje de abcisas
• b : Semieje de ordenadas.
• b ⩽ a.

Cono de doble hoja

Las esferas de Dandelin estan contenidas en un cono de doble hoja, este se forma rotando la generatriz respecto a un eje , el punto en el que el eje corta es tangente a la generatriz es el vértice del cono.

FOCOS

Un foco es un punto usado para construir una sección cónica. Los focos en las esferas de Dandelin son los puntos de tangencia de las esferas con el plano.

• Un círculo es el conjunto de todos los puntos en un plano a una distancia dada del foco (centro).
• Una parábola es el conjunto de los puntos en un plano tal que la distancia desde el foco es igual a la distancia a la directriz.
• Una elipse es el conjunto de los puntos en un plano tal que la suma de la distancia de un punto a cada foco es constante.
• Una hipérbola es el conjunto de los puntos en un plano tal que la diferencia entre las distancias de un punto a cada foco es constante.