punto y intervalo

continuidad en un punto Y en un intervalo

continuidad de un intervalo

La continuidad en un intervalo estudia si una función es continua en cierto intervalo. Una función es continua en un intervalo [a,b] si es continua en todos sus puntos. En caso contrario, se dice que la función es discontinua en [a,b].

Intervalos

Se pueden diferenciar cuatro casos, según si el intervalo es abierto (no incluye a y b), cerrado (inlcuye a y b), abierto por la izquierda (no incluye a) o abierto por la derecha (no incluye b).

Intervalo cerrado (a,b)

Intervalo abierto (a,b)

Un intervalo abierto es aquel que contiene sólamente los puntos interiores pero no a los dos extremos a y b. Se representa con dos paréntesis (a,b). La función f es continua si lo es en todos los puntos interiores del intervalo.

Un intervalo cerrado es aquel que contiene los puntos interiores pero también a los dos extremos a y b. Se representa entre corchetes. La función es continua si:

(.)

Intervalo abierto por la izquierda (a,b]

(.)

f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).

(no incluye a). La función es continua si:

• f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
• f es continua por la izquierda en b:

f es continua por la derecha en a:

f es continua por la izquierda en b:

Intervalo abierto por la derecha [a,b)

(no incluye b). La función es continua si:

• f es continua en todos los puntos interiores (el intervalo abierto (a,b)).
• f es continua por la derecha en a:

Por último, vemos si f es continua por la izquierda en 4, viendo si f(4) y el límite por la izquierda en 4 coinciden

EJEMPLO

Estudiar la continuidad de la función f en el intervalo [1,4], siendo f:

Como f es continua dentro del intervalo y en los extremos, vemos como la función es continua en el intervalo [1,4].

• f es continua en todos los puntos interiores (1,4). La función definida en este intervalo es f(x)=1, que al tratarse de una función constante es continua.
• Ahora veamos si f es continua por la derecha en 1, es decir, si f(1) y el límite por la derecha en 1 coinciden

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

La continuidad en un punto estudia si una función es continua en un punto. También se puede estudiar la continuidad en un intervalo o la continuidad lateral. Una función es continua si su gráfica puede dibujarse de un solo trazo. Diríamos que es continua si puede dibujarse sin separar el lápiz de la hoja de papel. En particular, una función f es continua en un punto x = a si cumple las siguientes condiciones:

La función f existe en a, es decir, existe la imagen de a.

Existe el límite de f en el punto x = a:

La imagen de a y el límite de la función en a coinciden.

En el caso de que en un punto x = a no se cumpla alguna de las tres condiciones, se dice que la función es discontinua en a.

EJEMPLO

Estudiar la continuidad o discontinuidad en x=1 y x=4 de la siguiente función definida a trozos:

Veamos primero si es continua en x=1, viendo que se cumplen las tres condiciones

Existe el límite de f en el punto x = 1

La función f existe en 1 y su imagen es:

La imagen de 1 y el límite de la función en 1 coinciden:

Se cumplen las tres condiciones de continuidad en un punto, por lo que la función es continua en x=1.

Ahora veamos si es continua en el punto x=4

La función f existe en 4 y su imagen es:

Veamos que no existe el límite de f en el punto x = 4:

Como la función no tiene límite en 4, podemos decir que f es discontinua en x=4. Por lo tanto, la función f es continua en x=1 pero discontinua en x=4.