Método de Gauss-Jordan

Método de Gauss-Jordan

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Algebra linealIngeniería en Sistemas Computacionales Claudia Beatriz Argaez Martínez

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Método de Gauss-Jordan

El método de Gauss-Jordan es la extensión del método de eliminación de Gauss, utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método utiliza una forma escalonada para reducción de renglones, facilitando la solución y obtención de manera más directa. Su objetivo principal es llevar la matriz de coeficientes del sistema a un forma diagonal o identidad, simplificando la resolución del sistema de ecuaciones.

Info

Pasos del método de Gauss-Jordan

Formar la matriz aumentada

🔥

Convertir la matriz a forma escalonada

Convertir la matriz a forma escalonada reducida

Obtener las soluciones

Interpretar las soluciones

Geometría de la solución

Lageometría de la solución de un sistema de ecuaciones lineales se relaciona con la interpretación de las soluciones en un espacio vectorial. Cada ecuación en un sistema lineal representa una restricción geométrica en el espacio, y la solución del sistema corresponde a la intersección de estas restricciones. .

Situación práctica

El tráfico vehicular es una problemática común que afecta a la movilidad de las personas, la calidad del aire, la eficiencia en el transporte público y la productividad económica.

Principales problemas:

• Congestión
• Contaminación del aire
• Accidentes de tránsito
• Impacto en la economía
• Problemas de salud

Ciudad Seleccionada: Cuidad de México

Situación práctica

Suponiendo que los nodos están numerados del 1 al 4 y que el flujo de tráfico entre los nodos se puede representar de la siguiente manera:

Sea Xij la cantidad de tráfico que fluye del nodo i al nodo j Donde: i, j = 1, 2, 3, 4. Podemos establecer un sistema de ecuaciones lineales que represente el equilibrio de tráfico en los nodos. Si consideramos que la cantidad de tráfico que entra a un nodo es igual a la cantidad de tráfico que sale, podríamos tener un sistema de ecuaciones lineales como sigue: Para el nodo 1: x21+x31=x14 Para el nodo 2: x12+x32=x21 Para el nodo 3: x13+x23=x31+x32 Para el nodo 4: x14=x23

Sistema de ecuaciones: Para el nodo 1: e1 =x41 +s1 Para el nodo 2: e2+x12=x21+s2 Para el nodo 3: e3+x23=x31+s3 Para el nodo 4: e4+x14=s4

Dado el sistema de ecuaciones: e1=x41+s1 e2+x12=x21+s2 e3+x23=x31+s3 e4+x14=s4 Podemos expresar este sistema en forma matricial como:

Referencias bibliográficas

Implicaciones en un sistema de ecuaciones:

• Eficiencia en la resolución de sistemas de ecuaciones.
• Obtención directa de las soluciones
• Mayor precisión en los resultados
• Aplicabilidad a sistemas con muchas incógnitas

Se realizan operaciones elementales sobre los renglones de la matriz aumentada para llevarla a una forma escalonada. Esto implica convertir los elementos debajo de la diagonal principal en ceros.

Una vez que la matriz está en forma escalonada, se continúa realizando operaciones elementales para llevarla a una forma escalonada reducida. En esta forma, la matriz de coeficientes se convierte en una matriz identidad..

Una vez que la matriz está en forma escalonada reducida, se leen directamente las soluciones del sistema de ecuaciones. Cada columna de la matriz identidad corresponde a una de las incógnitas del sistema.

Se construye una matriz aumentada que incluye tanto la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones como la matriz de términos independientes.

Se interpretan las soluciones obtenidas para determinar el valor de cada incógnita y resolver el sistema de ecuaciones de manera completa.