ÁLGEBRA MATRICIAL MII

ÁLGEBRA MATRICIAL

Índice

1. DEFINICIÓN DE MATRIZ Y TIPOS DE MATRICES

7. MATRIZ INVERSA Y CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

4. PRODUCTO DE MATRICES

8. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. REGLA DE CRAMER, MÉTODO DE GAUSS, TEOREMA DE ROCHÉ-FROBENIUS

5. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Y PROPIEDADES

2. IGUALDAD DE MATRICES

3. SUMA Y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

6. RANGO DE UNA MATRIZ

9. PREGUNTAS PAU

DEFINICIÓN DE MATRIZ. TIPOS DE MATRICES

• Se dice que una matriz cuadrada es idempotente cuando se cumple que su cuadrado es igual a ella misma, es decir, A2 = A.

• Una matriz cuadrada es nilpotente cuando alguna de sus potencias es la matriz nula. En el caso de que n sea el menor entero positivo tal que An = 0, se dice que A es nilpotente de orden n.

IGUALDAD DE MATRICES

• Se dice que dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño (dimensión u orden) y los mismos elementos en las mismas posiciones.

SUMA Y PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ

SUMA DE MATRICES

• Sólo se pueden sumar matrices de la misma dimensión.

PRODUCTO DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR (NÚMERO)

PRODUCTO DE MATRICES

PRODUCTO DE MATRICES

Si A y B son dos matrices, para poder realizar A · B es necesario que el nº de columnas de la primera matriz (A) sea igual al nº de filas de la segunda matriz (B)

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ Y PROPIEDADES

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

• Sólo se habla de determinantes en matrices cuadradas.
• El determinante de una matriz de orden uno es el mismo número. Para órdenes dos y tres es habitual calcularlos a través del desarrollo de Sarrus.

Determinante de orden 3:

DETERMINANTE DE ORDEN n

• Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamamos menor complementario del elemento aij, y lo escribimoscomo αij al determinantede orden n−1 que está formado por todos los elementos de A excepto los pertenecientes a la fila i y a la columna j .

• Dada una matriz cuadrada A de orden n, llamamos adjunto del elemento aij , y lo escribimos como Aij , al menor complementario de aij con su signo cambiado, según i + j sea par o impar, respectivamente.

Aij =(−1) i+j · αij

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Para calcular determinantes de manera más eficaz es interesante conocer las siguientes propiedades:

• Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas (o dos de sus columnas), el determinante cambia de signo.

• Si en una matriz cuadrada multiplicamos por un mismo número todos los elementos de una misma fila (o columna), su determinante queda multiplicado por ese número.

• Si una matriz cuadrada tiene una fila (o una columna) de ceros su determinante es cero.

• Si a una fila (o una columna) de una matriz cuadrada le sumamos una combinación lineal de las demás, su determinante no varía.

• Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o dos columnas) iguales, su determinante es cero.

• Si una matriz cuadrada tiene una fila (o una columna) que es combinación lineal de las demás, su determinante es cero.

• Si una fila (o columna) la podemos reescribir como suma de dos columnas se cumple que el determinante es suma de los dos determinantes cambiando cada columna por cada una de esas dos columnas.

• El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus respectivos determinantes. Esdecir,|A·B|=|A|·|B|

El determinante de una matriz cuadrada de orden n es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o una columna cualquiera por sus adjuntos correspondientes: Por filas: |A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + . . .+ ain Ain. Por columnas:|A|=a1j A 1j +a2j A2j +...+ anj Anj

Determinante por el método pivotal:

Determinante por el método de Gauss:

RANGO DE UNA MATRIZ

RANGO DE UNA MATRIZ

Se llama menor de orden k de una matriz A al determinante de orden k que está formado por los elementos que pertenecen a k filas y k columnas de la matriz A. El rango de una matriz coincide con el orden del mayor menor no nulo. Por tanto, puedes pensar que el rango de una matriz es el orden (tamaño) del mayor determinante no nulo que ésta contiene.

EJEMPLOS DE CÁLCULO DEL RANGO DE UNA MATRIZ

CÁLCULO DEL RANGO POR EL MÉTODO DE GAUSS

MATRIZ INVERSA Y CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

MATRIZ INVERSA (INVERSIBLE, INVERTIBLE O REGULAR)

La matriz inversa de una matriz cuadrada A de orden n es otra matriz cuadrada A−1 del mismo orden que cumple que: * A · A−1 = I * A−1 · A = I No todas las matrices tienen inversa. En primer lugar, ésto sólo es posible si la matriz es cuadrada y además: * |A|≠0 * rg(A) = n, es decir de rango máximo. Propiedades: * (A−1)−1 = A. * (A·B)−1 =B−1·A−1 (At )−1 = (A−1)t

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA

__

A-1 =

Adj(At)

|A|

CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS-JORDAN

Este método consiste en poner la matriz que queremos invertir seguida de la matriz identidad separadas por una línea recta y transformar la primera en la identidad con combinaciones entre filas y columnas. La matriz inversa será la matriz que nos de a la derecha cuando terminemos.

ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES

ECUACIONES MATRICIALES

La forma de resolver estos ejercicios es bastante similar a la tradicional. Como salvedad hay que tener en cuenta que el producto de matrices no es conmutativo por lo que el lugar por el que multipliquemos las matrices inversas es muy importante.

AX + B = C

AX + B - B = C - B

Se resta la matriz B a ambos miembros->

AX = C - B

A-1·AX = A-1·(C - B)

Se multiplica por la izquierda por la matriz A-1

I·X = A-1·(C - B) -->

X = A-1 · (C - B)

SISTEMAS DE ECUACIONES MATRICIALES

La forma de resolver estos ejercicios es bastante similar a la tradicional, aconsejando aplicar el método de reducción característico de los sistemas 2x2.

DISCUSIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES: TEOREMA DE ROCHÉ-FROBENIUS

B =

X =

Llamamos matriz del sistema a la matriz A

A·X = B

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican atendiendo a su número de soluciones: * Sistemas Incompatible (SI) : no tiene solución * Sistemas Compatible Indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones. * Sistemas Compatibles Determinado: si la solución es única. Discutir un sistema de ecuaciones es clasificarlo, atendiendo a su número de soluciones en alguno de los tres tipos anteriores.

TEOREMA DE ROCHÉ - FROBENIUS

Sea A·X =B un sistema de ecuaciones lineales y A∗ =(A|B), la matriz ampliada del mismo. Se cumple lo siguiente: - Si rg(A)≠ rg(A∗), el sistema es incompatible (SI) - Si rg(A) = rg(A∗) = r , el sistema es compatible:*Si r = nº de incógnitas, el sistema es compatible determinado (SCD) * Si r < no de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado (SCI)

EJEMPLO DE DISCUTIR SCD:

EJEMPLO DE DISCUTIR SCI:

REGLA DE CRAMER:

Dado un sistema de n ecuaciones y n incógnitas (x1, x2,. . . , xn ) si se cumple que |A|≠ 0 entonces el sistema es compatible determinado y su solución es xi = |Axi|/ |A| para cada i = 1,2,...,n, siendo |Axi| el determinante que resulta de sustituir en el determinante del sistema la columna de los coeficientes de xi por la columna de términos independientes.

REGLA DE CRAMER PARA SCD

REGLA DE CRAMER PARA SCI

MÉTODO DE GAUSS PARA SCD

MÉTODO DE GAUSS PARA SCI

MÉTODO DE GAUSS PARA SI

PREGUNTAS PAU