INTERES COMPUESTO

Matemáticas Financieras

INTERÉS COMPUESTO

INTERÉS COMPUESTO

La tasa de interés compuesto es el interés que se calcula sobre el capital inicial y también sobre los intereses previamente acumulados. A diferencia del interés simple, que se calcula solo sobre el capital inicial, el interés compuesto permite que el interés ganado se reinvierta, lo que resulta en un crecimiento exponencial de la inversión o deuda a lo largo del tiempo.

EJEMPLO

Suponga que se depositaron $50,000 en una cuenta bancaria que paga el 12% de interés anual compuesto por mes. ¿Cuál será el monto al final de año y medio? Decir que el interés es compuesto por meses significa que cada mes los intereses que se generan se capitalizan, es decir, se suman al capital. Para los intereses del primer mes, el capital se multiplica por la tasa mensual 0.12/12 = 0.01, como si fuera una tasa de interés simple, y luego se suman al capital. Así resulta un monto compuesto o, simplemente, monto M1 al final del primer mes M1= 50,000 + 50,000(0.01) M = C + I M1 = 50,000(1 + 0.01) M1 = 50,000(1.01) o bien, M1 = $50,500

PERIODO DE CAPITALIZACIÓN

FRECUENCIA DE CONVERSIÓN

El tiempo entre 2 fechas sucesivas en las que los intereses se agregan al capital se llama periodo de capitalización. Si el periodo de capitalización es mensual, entonces las siguientes expresiones son equivalentes: “el interés es compuesto por meses”, “capitalizable por meses”, “convertible mensualmente” o “interés nominal mensual”. En estas condiciones, el valor de p es 12.

El número de veces por año en que los intereses se capitalizan se llama frecuencia de conversión y se denota con p. A la frecuencia de conversión se le conoce también como frecuencia de capitalización de intereses.

VALORES MÁS USUALES PARA LA FRECUENCIA DE CONVERSIÓN P, SON:

• p = 1 para periodos anuales, los intereses se capitalizan cada año
• p = 2 si los intereses se capitalizan en periodos semestrales
• p = 3 para periodos cuatrimestrales
• p = 4 para periodos trimestrales, los intereses se agregan al capital cada trimestre
• p = 6 cuando son periodos bimestrales
• p = 12 para periodos de un mes, los intereses se capitalizan cada mes
• p = 13 si los periodos son de 28 días y
• p = 24, 52 y 360 o 365 para periodos quincenales, semanales y diarios, respectivamente.

M = CEIN

Los periodos de capitalización pueden ser tan pequeños como se quiera, llegando a tasas con capitalización instantánea, en cuyo caso puede probarse que el monto estará dado por: M = Cein donde

• e = 2.71828..., es la base de los logaritmos naturales
• i es la tasa convertible instantáneamente y
• n es el tiempo en años.

FÓRMULA DE INTERÉS COMPUESTO

El monto acumulado (M) de un capital (C) al final de (np) periodos es: M = C(1 + i/p)np donde:

• n es el plazo en años
• np es el número de periodos e
• i es la tasa de interés anual capitalizable en p periodos por año

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EJEMPLO

MONTO CON EL QUE LIQUIDA UN PRÉSTAMO ¿Con cuánto se cancela un préstamo de $65,000 3 años después si se cargan intereses del 21.36% compuesto por semestre? El capital es C = $65,000, la tasa anual es i = 0.2136, la frecuencia de conversión es p = 2 porque el año tiene 2 semestres, n = 3 porque el plazo es de 3 años, el número de periodos en el plazo es np = 6; entonces el monto es: M = 65,000(1 + 0.2136/2)6, ya que M = C(l + i/p)np M = 65,000(1.1068)6 M = 65,000(1.838293717) o bien, M = $119,489.04

TASA EQUIVALENTES, EFECTIVA Y NOMINAL

Las tasas efectivas son indicadores que ayudan a los inversionistas y a los asesores financieros a tomar la mejor decisión para invertir sus capitales. Resulta más rentable invertir un capital con una tasa anual capitalizable por meses, que, con la misma tasa capitalizable por semestres, pero ¿cuánto es más rentable? o, más precisamente, ¿qué tasa compuesta por meses es igual de productiva que otra que se capitaliza cada semestre? Veamos un ejemplo de cómo aplicarlo en una institución bancaria.

EJEMPLO

TASA MÁS PRODUCTIVA PARA UNA INSTITUCIÓN BANCARIA ¿Qué conviene más a los propósitos de una institución bancaria: prestar su dinero con intereses del 20.28% anual compuesto por semanas, o prestarlo con el 21.29% capitalizable por semestres? Para comparar las opciones, se obtiene la tasa i compuesta por semestres, equivalente al 20.28% capitalizable por semanas de la primera opción, y se igualan los montos considerando C = 1, el capital. (1 + i/2)2 = (1 + 0.2028/52)52 (1 + i/2)2 = (1.0039)52 (1 + i/2)2 = 1.224344459 1 + i/2 =√ 1 224344459 1 + i/2 = 1.106500998 de donde: i = (1.106500998 − 1)2 i = 0.213001996 o bien, 21.3001996% Que es mayor al 21.29% de la segunda opción y por eso es más conveniente para el banco

TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA

La tasa anual e compuesta o convertible una vez en el año, p = 1, equivalente a la tasa nominal i capitalizable en p periodos por año, se denomina tasa efectiva. La tasa efectiva e, equivalente a una tasa nominal i, capitalizable en p periodos por año, está dada por: e = (1 + i/p)p − 1

EJEMPLO

TASA EFECTIVA EQUIVALENTE A TASA NOMINAL ¿Cuál es la tasa efectiva equivalente al 11.8% anual compuesto por trimestres? e = (1 + i/p)p − 1 i por 0.118, la tasa capitalizable por trimestres y p por 4, el número de trimestres por año e = (1 + 0.118/4)4 − 1 e = 1.123324947 − 1 o bien, e = 0.123324947 Quiere decir que una inversión al 11.8% anual compuesto por trimestres es tan productiva como el 12.3324947% capitalizable por años.

REGLA COMERCIAL Y DESCUENTO COMPUESTO

Consideremos el siguiente cuestionamiento. ¿En cuánto tiempo se acumulan $120,000, si ahora se invierten $107,750 al 15% nominal mensual? Con la fórmula del interés compuesto se obtiene el plazo: 120,000 = 107,750(1 + 0.15/12)x M = C(1 + i/p)np 120,000/107,750 = (1.0125)x o bien, (1.0125)x = 1.113689095 de donde x = ln(1.113689095)/ln(1.0125) o bien, x = 8.667968633 La parte decimal se multiplica por 30 para saber el número de días 0.66796863(30) = 20.03905899 Entonces el plazo será de 8 meses y 20 días pero en la práctica, en la vida real, generalmente no se pagan los intereses de los periodos incompletos y en el mejor de los casos pudiera ser que se pague o se reciba la parte proporcional del periodo.

REGLA COMERCIAL Y DESCUENTO COMPUESTO

Una forma de evaluar los intereses de esta parte proporcional es la que llaman regla comercial que consiste en calcular el monto acumulado durante los periodos de capitalización completos con la fórmula del interés compuesto, para luego sumarlo con lo del periodo incompleto, los 20 días del caso supuesto, considerando para este, interés simple. Hay notar que el monto que se logra en los 8 meses, los periodos completos son: M = 107,750(1.0125)8 M = 107,750(1.104486101) o bien, M = 119,008.38 redondeando Y la diferencia con los pretendidos 120 mil, 991.62 es lo que ganaría con interés simple.

DIAGRAMAS DE TIEMPO, FECHA FOCAL Y ECUACIONES DE VALOR

Los diagramas de tiempo que constituyen herramientas útiles para plantear y resolver problemas financieros, ya que facilitan los desplazamientos simbólicos de capitales en el tiempo. Estos desplazamientos permiten llevar todas las cantidades de dinero que intervienen en un problema hasta una fecha común, que se conoce como fecha focal o fecha de referencia. Con todos los valores en esa fecha focal y separando aquellos que corresponden a las deudas de los que corresponden a los pagos, es decir, agrupando por un lado los del “debe” y por otro los del “haber”, se establece una igualdad que se conoce como ecuación de valores equivalentes o simplemente ecuación de valor.

ILUSTRACIÓN

Si la cantidad de dinero A, está antes de esa fecha, se suman los intereses hallando su valor futuro equivalente en la fecha focal; pero si está después, entonces se restarán los intereses obteniendo su valor presente equivalente en la misma fecha focal. En la siguiente imagen se muestran las 2 posibilidades, donde MA es el monto de A y CB es el valor presente de B. En ambos casos, el traslado se realiza con la fórmula del interés compuesto, o del interés simple si así lo estipula el problema.

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VIDEO DE EJEMPLO

https://youtu.be/Bn0cOTzXUD8?si=UOY8mJa4hHXm0teK

BIBLIOGRAFÍA

Mendieta, S. (2016). Matemáticas financieras Manual de soluciones José Luis Villalobos 4a edición PEARSON. www.academia.edu. https://www.academia.edu/29569672/Matem%C3%A1ticas_financieras_Manual_de_soluciones_Jos%C3%A9_Luis_Villalobos_4a_edici%C3%B3n_PEARSON