2º bach. T2 DETERM

DETERMINANTES

DEFINICIÓN Y PROPIEDADES

Tema 2

1

2

F

CÁLCULO DE DETERMINANTES

4

INVERSAS

3

RANGO

1. Definición y propiedades

Los determinantes sólo existen para matrices cuadradas. Def: A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar denominado determinante de A, denotado por |A| o por det(A). Este escalar se obtiene como combinación lineal de los elementos que componen la matriz.

Propiedades

Propiedad 1: el determinante de una matriz es igual al determinante de su matriz traspuesta:

Cálculo de determinantes de orden 2

Propiedad 2: si los elementos de una fila (o columna) de una matriz se multiplican por un número el determinante de la nueva matriz queda multiplicado por dicho número.

Propiedad 3: Sea A una matriz cuadrada de orden n y k un escalar. Si multiplicamos la matriz A por k, obtenemos una nueva matriz B=k⋅A. El determinante de la nueva matriz B está relacionado de la siguiente manera:

<-- Cálculo<-- Propiedad

Propiedad 4: El determinante del producto de matrices cuadradas es igual al producto de los determinantes de ambas matrices.

<-- Cálculo<-- Propiedad

Propiedad 5: Si permutamos (intercambiamos) dos columnas (o filas) de una matriz, el determinante de la matriz cambia de signo.

Propiedad 6: Si una matriz tiene dos filas (o dos columnas) iguales, entonces su determinante es 0.

Propiedad 7: Si una fila o columna de una matriz es una combinación lineal de otras filas o columnas, entonces el determinante de la matriz es 0. En otras palabras, si hay dependencia lineal entre las filas o columnas de la matriz, su determinante será 0.

Propiedad 8: Si una matriz tiene una fila o una columna llena de ceros, su determinante es 0.

Este es un caso típico en el que la matriz es singular, lo que significa que no tiene inversa.

Propiedad 9: El determinante de la matriz A-1 es: (Siempre que A sea invertible).

Propiedad 10: Si a los elementos de una fila (o columna) se les suma una combinación lineal de otras filas (o columnas), su determinante no varía.

Ej 1:

Ej 1:

Ej 2:

Ej 2:

7

7

2. Cálculo de determinantes

DETERMINANTES DE ORDEN 2

DETERMINANTES DE ORDEN 3

Regla de Sarrus:Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

¿Practicamos?

Ej 1:

Ej 2:

Ej 3:

DETERMINANTES DE ORDEN MAYOR QUE 3

Ej 4: ¿Puedes encontrar el valor de los determinantes?

El menor complementario, 𝛼ij, del elemento aij de una matriz, An, es el determinante de orden n – 1 que resulta de eliminar la fila i y la columna j de la matriz A

Ej 5:

El adjunto, Aij, del elemento aij de una matriz, An, es Aij =𝛼ij · (–1)i + j

Ej 6:

Ej 7: Halla los determinantes

Ej 7: Halla los determinantes

Ej 7: Halla los determinantes

Ej 8: Halla los determinantes

Ej 8: Halla los determinantes

3. Rango

A partir de sus menores: La condición necesaria y suficiente para que el determinante de una matriz cuadrada sea cero es que sus filas o columnas sean linealmente dependientes, esto es, que alguna de ellas se pueda poner como combinación lineal de las otras. Si det (A) = 0, las filas de A son L.D.

Ej 1: Calcula el rango de las siguientes matrices:

Ej 1: Calcula el rango de las siguientes matrices:

Ej 2: Estudia el rango de las siguientes matrices según el valor del parámetro:

b

Una matriz regular es una matriz cuadrada n×n que tiene inversa. En una matriz regular, sus filas (o columnas) son linealmente independientes. Es decir, ninguna fila (o columna) puede expresarse como combinación lineal de las demás.

Una matriz singular es una matriz cuadrada que no tiene inversa. Esto ocurre cuando su determinante es igual a 0. En otras palabras, una matriz 𝐴 es singular si:

4. Inversas

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n−1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Menor complementario

Adjunto

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo: Signo + si i+j es par. Signo − si i+j es impar.

Cálculo de inversas:

Se llama matriz adjunta a la compuesta por todos los adjuntos de cada elemento de la matriz inicial.

Matriz adjunta

¿Tiene A inversa?

Ej 1:

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

A=

Adj (A)=

Adj (A)=

Adj (A)=

[Adj (A)] =

t

Ej 2:

Ej 3:

Ej 3: