Álgebra Superior

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Marco Antonio Castillo Cruz

Números complejos

Álgebra Superior

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Resumen

Los números complejos son una extensión del sistema de números reales que nos permiten resolver problemas matemáticos que antes parecían imposibles. Surgieron de la necesidad de encontrar soluciones a ecuaciones que no tienen raíces reales, como por ejemplo √-1.

ÍNDICE

Definición

Suma

Resta

Multiplicación

División

Forma Rectangular y forma polar

Bibliografías

Definición

Los números complejos son una extensión del sistema de números reales que nos permiten trabajar con cantidades que incluyen la raíz cuadrada de números negativos. Se representan en la forma a + bi, donde:

• a → es la parte real, que es un número real común.
• b → es un coeficiente real que acompaña a la unidad imaginaria.
• i → es la unidad imaginaria, definida como la raíz cuadrada de -1 (i² = -1).

Propiedades y operaciones

Los números complejos tienen propiedades interesantes, como la conjugación, módulo y argumento. Las operaciones con números complejos, como la suma, resta, multiplicación y división, siguen reglas específicas.

Origen e historia

Los números complejos surgieron de la necesidad de encontrar soluciones para ecuaciones que no podían resolverse con números reales. Tienen sus raíces en el siglo XVI con la resolución de ecuaciones cuadráticas.

Definición

De esta manera, la suma de números complejos combina las partes reales y las partes imaginarias de los números.

EJEMPLO

La suma de números complejos se realiza sumando por separado la parte real y la parte imaginaria de los números, manteniendo la notación de 'i' para la parte imaginaria.

SUMA

La suma de números complejos cumple con las propiedades conmutativa y asociativa, lo que significa que el orden de los números no altera el resultado, y se pueden agrupar en diferentes formas sin cambiar el resultado.

EJEMPLO

La resta de números complejos sigue las mismas reglas que la resta de números reales, pero recordando que las partes reales e imaginarias se tratan por separado

La resta de números complejos es similar a la suma, pero en este caso, restamos por separado las partes reales y las partes imaginarias.

La resta de números complejos también cumple con las propiedades conmutativa y asociativa, al igual que la suma.

RESTA

La multiplicación de números complejos cumple con la propiedad distributiva y la regla de los signos, lo que garantiza la consistencia en los cálculos.

La multiplicación de números complejos se basa en las reglas del álgebra junto con la propiedad de la unidad imaginaria 𝑖i^2 = -1

EJEMPLO

MULTIPLICACIÓN

se utiliza un proceso similar al de la división de fracciones

Este proceso puede aplicarse tanto en la forma rectangular como en la forma polar de los números complejos.

Dividir números complejos es un poco más complicado que sumarlos, restarlos o multiplicarlos, porque no podemos dividir directamente por un número imaginario. Para dividir dos números complejos, necesitamos eliminar la parte imaginaria del denominador.

EJEMPLO

DIVICIÓN

De polar a rectangular

De rectangular a polar

El número se representa usando un módulo y su ángulo: z = r (cos θ +𝑖 sin θ) y z=re^iθ (forma exponencial)Donde:

• r es el módulo del numero complejo
• θ es el angulo

Las transformaciones facilitan la multiplicación y división de numeros complejos así como la potenciación y radicación.Se representan en el plano polar, donde r es la distancia desde el origen y θ el ángulo respecto al eje real positivo

En la forma rectangular de un número complejo, se representa de manera directa:𝑧 = 𝑎 + 𝑏 𝑖 Donde:

• 𝑎 es la parte real del numero complejo
• 𝑏 es la parte imaginaria
• 𝑖 es la unidad imaginaria, con la propiedad que 𝑖^2 = -1

Es la forma mas sencilla y directa para realizar operaciones aritmeticas.Se puede visualizar en el plano complejo siendo 𝑎 en la parte horizontal y 𝑏 en la parte vertical

Forma rectangular

Forma Polar

• Universidad Nacional de General Sarmiento. (s.f.). Números complejos. Recuperado de https://www.ungs.edu.ar/wp-content/uploads/pdfs_ediciones/Números_Complejos-completo.pdf
• Math4all. (s.f.). Números complejos. Recuperado el 9 de septiembre de 2024, de https://www.math4all.es/los-numeros-complejos/

• Wunsch, A. (2004). Variable compleja con aplicaciones. Pearson.

• MateFacil. (2018, 16 de octubre). ¿Qué son los números complejos? [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=JLOvW28ftWo

• julioprofe. (2012, 20 de enero). Operaciones con números complejos [Video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=ygJ6Tvda_Uc

Bibliografías

Ejemplo

Sea z1 = 3 + 4i y z2 = 1 + 2i Por lo tanto: z1+z2 = (3+1)+(4+2)i= 4+6i Entonces la respuesta sería: z1+z2 = 4+6i

Ejemplo

Sea z1 = 6 + 5i y z2 = 3 + 2i Por lo tanto: z1-z2 = (6-3)+(5-2)i= 3+3i Entonces la respuesta sería: z1+z2 = 3+3i

Ejemplo

Sea z1 = 3 + 2i y z2 = 1 + 4i Por lo tanto: z1*z2 = (3+2i)(1+4i)z1*z2 = 3*1 + 3*4i + 2i*1 + 2i*4iz1*z2 = 3 + 12i + 2i + 8i^2se sabe que: i^2 = -1z1*z2 = 3 + 14i + 8(-1)z1*z2 = 3 + 14i - 8 = -5 + 14iPor lo tanto z1*z2 = -5 + 14i

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Ejemplo