Calculo vectorial

12/09/2024

Claudia Rodriguez Correa

Cálculo Vectorial

Clave de la asignatura: ACF – 0904

Cálculo Vectorial

¿Qué es el Cálculo Vectorial?

El cálculo vectorial es una rama de las matemáticas que se centra en el análisis de funciones vectoriales y campos vectoriales en múltiples dimensiones

El cálculo vectorial es esencial en el estudio y manipulación de vectores. Incorpora operaciones como: suma, producto escalar, producto vectorial, gradientes, rotacionales divergencias y laplacianos.Es aplicable en diversas áreas, incluyendo física e ingeniería

Concepto de vector

Un vector es la representación matemática y gráfica de un segmento rectilíneo orientado, es decir, con una determinada magnitud, dirección y sentido. Simbólicamente se representan con una letra minuscula con una flecha encima.

Generalmente se estudia las proyecciones de un vector sobre los ejes de coordenadas cartesianos.en cada uno de los ejes cartesianos se define un vector unitario i→ , j→ y k→ ), cualquier vector r→ del espacio puede expresarse como una combinacion lineal de los vectores i→ , j→ y k→ ), como puede verse en el siguiente figura.

se llaman cosenos directores de un vector respecto de un sistema de coordenadas ortogonales, a los cosenos de los ángulos (α, β, γ) que forma el vector con el sentido positivo de cada uno de los ejes coordenados.Haciendo uso de las reglas de trigonometría, el valor de los cosenos directores se expresa como:cos α = x/||v|| cos B = y/||v|| cos γ = z/||v||

Clasificación de los vectores

Vectores libres: conjunto de todos los vectores equipolentes (Mismo módulo, dirección y sentido) entre sí. u→ , v→ , w→ .Vectores concurrentes: vectores que tienen el mismo origen. Por tanto, sus rectas de acción se cortan en un mismo punto, que coincide con el origen de aplicación de todos ellos

Vectores coplanares: dos o más vectores serán coplanares si se encuentran en un mismo plano.Vectores colineales: son todos aquellos vectores que son paralelos a una misma recta

Vectores opuestos: en este caso, los vectores opuestos tienen el mismo módulo, la misma dirección y distinto sentido. Vectores unitarios: su módulo vale la unidad, es decir, / v /→ = 1. Vectores ortogonales: se dice que dos vectores son ortogonales o perpendiculares, si su producto escalar es ceroVectores ortonormales: son ortogonales y además, los dos vectores son unitarios

Una base vectorial es un conjunto de vectores que son linealmente independientes y que a partir de ellos es posible expresar cualquier otro vector del espacio que se esté considerado, que puede ser en el plano (2D) o en el espacio (3D).

Base vectorial

Las coordenadas de un vector respecto de una base considerada son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base para generar al vector considerado, de manera que éste se expresa como una combinación lineal de los vectores de la base.

Base vectorial

Una base de un espacio vectorial es ortogonal cuando, además de cumplir con los requisitos para ser una base vectorial, los vectores que la forman son además perpendiculares entre sí.

Base ortogonal

una base vectorial es ortonormal cuando los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen de módulo la unidad.Esta base formada por los vectores i→ , j→ , k→ suele denominarse también base canónica, y es la base en la que suele trabajarse más habitualmente.

Base ortoNOrMAl

Suma y resta de vectores Supongamos dos vectores u→ y v→, se define la suma de los vectores u→ y v→ como el vector que se obtiene de sumar las coordenadas semejantes:u→ + v→ = ( ux , uy , uz ) + ( vx , vy , vz ) = ( ux + vx , uy + vy , uz + vz ) = ( ux + vx )·i→ + ( uy + vy )·j→ + ( uz + vz )·k

operaciones con vectores

Multiplicación de un escalar por un vectorSe define el producto de un escalar "k" por un vector u→ como el vector resultante que se obtiene de multiplicar cada una de sus coordenadas por el escalar:k · u→ = k · ( ux , uy , uz ) = ( k · ux , k · uy , k · uz ) = k · ux ·i→ + k · uy ·j→ + k · uz ·k

El producto escalar de dos vectores del espacio u→ y v→ (se representa como u→ · v→ ), es un escalar que se obtiene de multiplicar las coordenadas semejantes de ambos vectores y sumar los resultados:u→·v→ = (ux ,uy ,uz ) · (vx ,vy ,vz ) = ux · vx + uy · vy + uz · vz

producto escalar de dos vectores

El producto vectorial de dos vectores del espacio u→ y v→ (se representa como u→ ∧ v→ o bien como u→ x v→ ), es un nuevo vector, cuyas componentes se obtienen analíticamente de la siguiente manera:

Producto vectorial de dos vectores

Se llama producto mixto de tres vectores del espacio v→ , w→ y t→ — se representa como [ v→ , w→ , t→ ] — al número real que se obtiene como resultado de realizar la operación: v→ · ( w→ x t→ ).

Producto mixto de tres vectores

Si se permuta la posición de dos vectores en el producto mixto, éste cambia de signo: [ v→ , w→ , t→ ] = - [ t→ , w→ , v→ ] Si se multiplica un vector por un número, el producto mixto queda multiplicado por ese número: [ k·v→ , w→ , t→ ] = k·[ v→ , w→ , t

Interpretación geométrica del producto mixto: Como se muestra en la fugura adjunta, si sobre un punto P se llevan los vectores v→ , w→ y t→ resulta un paralelepípedo cuyas aristas son los tres vectores.

se puede afirmar que el valor absoluto del producto mixto de los vectores v→ , w→ y t→ es igual al volumen del paralelepípedo que tiene de aristas v→ , w→ y t→ , pero es indispensable que sean linealmente independientes o no coplanares. Otra forma de decir es que el determinante de una matriz de orden tres es cero si las filas o las columnas son linealmente dependientes.

Sea contenido en un plano un punto P de coordenadas ( px , py , pz ), y el vector r→ su vector de posición que tendrá su origen en el origen de coordenadas O y como extremo el punto dado, r→ = px · i→ + py · j→ + pz · k→ .

Momento de un vector respecto a un punto

se define el momento del vector v→ con respecto al punto O como el producto vectorial: Mo→ = r→ ∧ vComo se trata de un producto vectorial, el momento Mo→ que resulta es otro vector con origen en el punto O, y que tiene las siguientes ecuaciones:

• Módulo: el módulo del vector momento resulta ser / Mo→ / = / r→ ∧ v→ / = / r→ / · / v→ / · sen ( α ) • Dirección: el vector Mo→ resulta perpendicular al plano que contiene a los dos vectores r→ y v→ • Sentido: se aplica la regla de la mano derecha. refiere que al hace girar en el sentido de la agujas de un reloj, se "avanza" y viceversa, es decir, cuando se hace girar "hacia la izquierda" (contrario a las agujas del reloj), se "retrocede"

Rodríguez (sf) Cálculo vectorial, leyes y fórmulas de física, disponible en: https://ingemecanica.com/utilidades/calculo-vectorial.html

fuentes de información