Ensemble de définition d'une fonction

Ensemble de définition d'une fonction

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1. Définition

2. Méthodes de détermination de l'ensemble de définition d'une fonction

3. Les différentes fonctions

4. Applications

Définition

L'ensemble de définition d'une fonction f, noté Df , est l'ensemble de toutes les valeurs de x pour lesquelles f (x) existe et est définie. ⚠ On peut aussi prendre en compte l'ensemble de définition de la dérivée appelé l'ensemble de dérivabilité de f. L'ensemble de définition d'une fonction est le plus souvent déterminé par calcul mais on peut aussi le déterminer graphiquement.

Méthodes de Détermination de l'ensemble de définition d'une fonction

Par calcul

Graphiquement

À partir de l'expression algébrique de la fonction

À partir de la représentation graphique de la fonction

vs

Ces deux approches complémentaires permettent de déterminer rigoureusement l'ensemble de définition d'une fonction.

Les différentes fonctions

Fonctions : Affine Polynôme Exponentielle

Fonctions : Racine carréeLogarithme

Fonctions rationnelles

Fonctions composées

Applications

N'hésitez pas à visionner la vidéo et à faire les exercices proposés sur le Digipad pour vérifier si vous avez bien compris !

La fonction racine carrée est définie sur [0 ; + [ (0 inclus).

La fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; + [(0 exclus).

On remarque que les courbes n'existent pas pour des valeurs de x négatives et que la fonction logarithme présente une asymptote verticale en 0.

Cette méthode consiste à analyser l'expression mathématique de la fonction pour identifier les contraintes sur les valeurs de x. On cherche notamment :

• Les dénominateurs qui ne doivent pas s'annuler (division par zéro interdite) ;
• Les expressions sous une racine carrée qui doivent être positives ou nulles ;
• Les expressions à l'intérieur d'un logarithme qui doivent être strictement positives.

On résout ensuite les équations et inéquations correspondantes pour déterminer l'ensemble des x autorisés.

Les fonctions affines, polynômes et exponentielles sont définies pour tous les nombres réels. Leur ensemble de définition est donc ℝ.

On peut remplacer x dans la fonction par n'importe quelle valeur appartenant à l'ensemble des nombres réels.

Une fonction qui contient une fraction n'existe que si son dénominateur (expression sous le trait de fraction) est différent de 0. Il faut donc trouver toutes les valeurs de x pour lesquelles il s'annule en résolvant une équation et les exclure de l'ensemble de définition.

La courbe présente une discontinuité : elle est coupée en deux parties distinctes.On voit la présence d'asymptotes verticales au niveau de la valeur interdite.

Pour une fonction composée qui contient plusieurs restrictions dues aux fonctions qui la composent, il faut identifier les valeurs interdites de chacune en résolvant des équations (ou inéquations) et effectuer la réunion des intervalles déterminés.

La courbe présente une discontinuité : elle est coupée en deux parties distinctes.On voit la présence d'une asymptote au niveau de la valeur interdite -2. Df = ]- ; -2[U[0 ; + [

Cette méthode utilise le graphe de la fonction pour déterminer visuellement son ensemble de définition. On observe :

• La présence ou non de la courbe sur le graphique ;
• Les éventuelles asymptotes verticales ou points de discontinuité ;
• Les bornes du graphe s'il est limité.

L'ensemble de définition correspond alors à l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction existe graphiquement.