Métodos de Integración

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Es una herramienta eficaz para integrar funciones racionales, especialmente cuando el integrando es un cociente de polinomios.

Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales

Estas sustituciones transforman la expresión irracional en una expresión trigonométrica o algebraica que puede ser integrada más fácilmente.

Sustitución para racionalizar

Derivación de un producto de 2 funciones.

Integración por partes

Jesus Andrade CerezoES241112509

Métodos de integración.

Es un método que se aplica cuando el integrando es una función racional, es decir, una fracción donde el numerador y el denominador son polinomios. El objetivo de este método es descomponer la fracción en una suma de fracciones más simples (fracciones parciales), las cuales se pueden integrar fácilmente.

Ejemplo

Funciones racionales mediante fracciones parciales

Descripción del método:Verifica que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador:

• Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, se debe realizar una división polinomial primero para obtener una parte polinómica y una fracción donde el grado del numerador sea menor que el del denominador.

Factoriza el denominador:

• El siguiente paso es factorizar el denominador en términos lineales o cuadráticos irreducibles. Esto determinará la forma de las fracciones parciales.

Escribe las fracciones parciales:

• Dependiendo de la factorización del denominador, se descompone en fracciones parciales.

Determina las constantes:

• Multiplica ambos lados de la ecuación por el denominador común para eliminar las fracciones y luego agrupa los términos por potencias de x.

Integra cada fracción parcial:

• Una vez descompuesto el integrando en fracciones parciales, cada una se puede integrar fácilmente utilizando técnicas básicas de integración

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• Este método se usa para integrales que involucran funciones irracionales, especialmente aquellas que contienen raíces cuadradas de expresiones polinómicas.

• Se aplica cuando se quiere transformar una expresión irracional en una racional, es decir, eliminar las raíces para simplificar la integral.

Sustitución para racionalizar

Descripción del método:El método de sustitución para racionalizar consiste en hacer una sustitución adecuada que permita convertir la raíz u otras expresiones irracionales en una expresión algebraica más manejable. Un caso típico es la sustitución trigonométrica o una sustitución algebraica.Estas sustituciones transforman la expresión irracional en una expresión trigonométrica o algebraica que puede ser integrada más fácilmente.

teorema

• Este método se aplica cuando la integral es el producto de dos funciones, en las cuales una de ellas es más fácil de derivar y la otra es más fácil de integrar.

• Se utiliza generalmente cuando el método de sustitución simple no es adecuado.

Integración por partes.

Descripción del método:La fórmula de integración por partes se basa en la regla del producto para la derivación.Donde:u es una función que se elige para ser derivada (lo que genera du). dv es la parte de la función que se elige para ser integrada (lo que genera v).El método requiere seleccionar adecuadamente las funciones u y dv para simplificar la integral resultante. Un criterio común es usar la regla LIATE para elegir u, en el siguiente orden de prioridad:

• Logaritmos
• Inversas trigonométricas
• Álgebra (polinomios)
• Trigonometría
• Exponenciales

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