La quadratura del cerchio (Amico Roxas - Di Dia)

La quadratura del cerchio

Amico Roxas Beniamino - Di Dia Salvatore

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Il problema della quadratura del cerchio è uno dei più celebri della matematica antica, che ha affascinato matematici per secoli e ha una lunga storia.

Origini e contesto storico

Il problema della quadratura del cerchio risale all'antica Grecia, nel contesto della geometria euclidea. Consiste nel trovare, usando solo una riga e un compasso, un quadrato che abbia la stessa area di un dato cerchio. Il termine "quadratura" si riferisce al fatto che trovare un quadrato con la stessa area di un cerchio era visto come una sorta di "misurazione" delle aree, basata sull'idea che un quadrato è una figura "perfetta” nella geometria greca.

Matematici come Anassagora, Ippocrate ed Archimede cercarono una soluzione al problema. In particolare, Archimede propose un'approssimazione del valore di π (pi greco), un elemento chiave per la risoluzione del problema, calcolando il rapporto tra la circonferenza e il diametro del cerchio.

La quadratura del cerchio

Infatti: L’area di un cerchio è Ac= πR2 L’area di un quadrato è Aq=L2 Se uguagliamo le aree ed estraiamo la radice quadrata da entrambi i membri otteniamo L = (√π)R

Nonostante gli sforzi, la quadratura del cerchio si dimostrò impossibile con i mezzi della geometria classica. Tuttavia, questi tentativi furono cruciali per lo sviluppo della matematica, in particolare per la comprensione di concetti come il numero π. Nel 1882 il matematico tedesco Ferdinand von Lindemann dimostrò che il numero π è trascendente, cioè non può essere la soluzione di un'equazione algebrica con coefficienti razionali.

La radice di π non è un numero algebrico ma, per l’appunto, trascendente. Questo significa che il quadrato cercato, in realtà, non esiste. La dimostrazione dell'impossibilità della quadratura del cerchio ha influenzato l'evoluzione del pensiero matematico, spingendo i matematici a esplorare nuovi campi, come la geometria non euclidea e l'algebra moderna.

La quadratura del cerchio

Nel mondo letterario...

Il problema della quadratura del cerchio non ha solo una valenza matematica, ma anche un significato culturale e simbolico. Ad esempio, nella letteratura e nella filosofia medievale e rinascimentale, il problema divenne un simbolo della ricerca della perfezione o della conoscenza inaccessibile.

Uso di GeoGebra

Prove con GeoGebra

Considerando che: L’area di un cerchio è Ac= πR2 L’area di un quadrato è Aq=L2 L = (√π)R 1. Traccio la circonferenza di R = 1

Uso di GeoGebra

2. L'equazione diventa L= √π Con GeoGebra è possibile tracciare il quadrato di lato √π Come detto in precedenza non esiste alcuna costruzione con riga e compasso che permetta di ottenere una lunghezza esatta pari a √π, che è necessaria per costruire il quadrato. GeoGebra e altri strumenti di geometria dinamica, tuttavia, operano in un contesto diverso. In questi ambienti, si possono utilizzare i numeri reali (incluso π) come input per costruire oggetti geometrici. Quando si costruisce un quadrato di lato √π in GeoGebra, in pratica si sta "approssimando" o "forzando" la costruzione utilizzando una rappresentazione numerica del valore di √π, che non è possibile ottenere esattamente con riga e compasso. Il fatto che si possa ottenere un quadrato di lato √π in GeoGebra o in qualsiasi altro software non significa che la quadratura del cerchio sia risolvibile nel senso classico.

• Nella geometria classica, si limita l'uso a costruzioni meccaniche con riga e compasso, e non è possibile creare segmenti che rappresentino esattamente π o √π perché questi numeri sono trascendenti.
• Con un software, invece, operi in un ambiente in cui la numerazione e il calcolo sono gestiti in modo diverso e ciò ti permette di raggirare le limitazioni della costruzione geometrica.

Conclusioni

In conclusione, la quadratura del cerchio è uno dei problemi più affascinanti della storia della matematica che ha coinvolto più matematici alla ricerca di una soluzione.

• È stato interessante scoprire le sue origini, sperimentare con il software GeoGebra e comprendere che anche con strumenti di calcolo avanzati è possibile ottenere solo un’approssimazione della costruzione che non rappresenta una vera e propria soluzione al problema. Nonostante la sua irrisolvibilità, ha svolto un ruolo cruciale nello sviluppo della matematica antica e moderna.