Copy - 4t ESO TIPUS DE FUNCIONS_

LLEGENDA ICONES

Passant el ratolí per damunt, s'obrirà una finestra on es mostraran els exercicis que cal que l'alumne faci.

Clicant al damunt s'obrirà un vídeo explicatiu sobre el contingut treballat.

Passant el ratolí per damunt, s'obriran finestres que mostraran explicacions, resolucions d'exercicis, ...

Mostra curiositats, connexions amb altres matèries, etc. sobre el tema tractat.

Clicant al damunt, et portarà a les diapositives amb exercicis on es treballen exercicis.

Explica trucs i ampliacions de continguts.

Mostra quelcom a tenir en compte important que cal que recordis.

Resol preguntes sobre continguts que hem treballat a classe.

TIPUS DE FUNCIONS

ÍNDEX

Funcions de proporcionalitat inversa

Introducció

Funcions linials

Funcions exponencials

Funcions afins

Funcions definides a trossos

Funcions constants

Exercicis resolts

Funcions quadràtiques

INTRODUCCIÓ

Funcions de proporcionalitat directa (rectes):Funcions lineals. Funcions afins. Funcions constants.Funcions quadràtiques (paràboles) Funcions de proporcionalitat inversa. Funcions irracionals. Funcions exponencials. Funcions definides a trossos.

FUNCIONS LINEALS

Dues magnituds, x i y, directament proporcionals amb constant de proporcionalitat m, estan relacionades mitjançant la funció y = f(x) = m · x. Aquest tipus de funció s’anomena funció lineal. Així doncs, les funcions lineals tenen la següent forma: f(x) = mx on m 0. Característiques més importants: - Les funcions lineals són rectes que passen per l'origen de coordenades (0,0) - La "m" ens indica el pendent de la recta i per aquest motiu s'anomena pendent de la recta. - Si m>0 aleshores la recta serà creixent. - Si m<0 aleshores la recta serà decreixent.

FUNCIONS LINEALS

Observa:

Passa pel (0,0) m=0'5 Creixent

Passa pel (0,0) m=2 Creixent

Passa pel (0,0) m=-2 Decreixent

FUNCIONS LINEALS

Quina relació hi ha entre el pendent "m" i la velocitat de creixement o decreixement de la recta?

FUNCIONS LINEALS

Fixa’t en les tres gràfiques: - A f(x) = 0,5x, quan x augmenta en una unitat, y augmenta en mitja. - A f(x) = 2x, quan x augmenta en una unitat, y augmenta en dues. - A f(x) = –2x, quan x augmenta en una unitat, y disminueix en dues.

En una funció lineal de pendent m, quantes unitats augmenta la y quan augmentem una unitat la x?

FUNCIONS LINEALS

Així doncs, donada la gràfica d'una funció lineal podem trobar el pendent i per tant, definir el pendent, de la següent forma:

Quina relació creus que hi ha entre el pendent i la TVM?

m = -2/4 = -1/2

m = 4/6 = 2/3

m = 6/2 = 3

Quina expressió algebraica tindrien les funcions representades a les gràfiques de l'exemple?

FUNCIONS AFINS

Les funcions afins tenen aquesta forma: f(x) = m · x + n on m ≠ 0 i n ≠ 0.

Exemple:

Quines semblances i diferències trobes entre les funcions afins i les lineals?

FUNCIONS AFINS

Característiques principals: - És una recta - "m" s'anomena pendent.

• Si m>0 aleshores la recta és creixent.
• Si m<0 aleshores la recta és decreixent.
• El pendent m expressa la TVM de la funció entre dos punts qualsevol.

- "n" s'anomena ordenada a l'origen i ens indica l'alçada a la qual la recta talla l'eix de les ordenades.És a dir, una funció afí sempre passa pel punt (0,n).

m = 3/6=1/2 n = 3 P(0,3)

FUNCIONS CONSTANTS

Una funció constant és aquella que té com a expressió f(x) = k on k és un nombre qualsevol. Caracterísiques principals: - És una recta paral·lela a l'eix de les abcsisses. - Talla l'eix de les ordenades en el punt (0,k). - El seu pendent, és a dir, la seva TVM, sempre és 0.

REPRESENTACIÓ DE RECTES

Per representar una recta ja sigui funció afí o lineal, cal fer una taula de valors i dibuixar-ne els punts als eixos de coordenades. Al unir aquests punts, quedarà representada la recta.

Exemple: f(x) = x +3

REPRESENTACIÓ DE RECTES

Rectes paral·leles i rectes perpendiculars

Dues rectes són paral·leles si tenen el mateix pendent. Per exemple: f(x) = -2x + 4 i f(x) = -2x -1 són paral·leles perquè en el dos casos m = -2. f(x) = 2/5x - 2 i f(x) = 4/10x són paral·leles perquè en el dos casos m= 0'40. Dues rectes són perpendiculars si tenen el pendent invers i canviat de signe. Per exemple: f(x) = 2x + 1 i f(x) = -1/2x + 4 són perpendiculars. f(x) = 2/3 x -1 i f(x) = -3/2 x -5 són perpendiculars.

FUNCIONS QUADRÀTIQUES (Paràboles)

Les funcions quadràtiques estan definides de la forma: f(x) = ax2 + bx + c.Observa que és com una equació de 2n grau, per tant, també pot tenir les formes següents: f(x) = ax2 + bx f(x) = ax2 + c f(x) = ax2 Exemples: f(x) = 2x2 f(x) = -2x2 + 3x f(x) = x2 -2x +2 f(x)= x2 + 1

FUNCIONS QUADRÀTIQUES (Paràboles)

Característiques principals:- Tenen forma de paràbola: Si a>0 Si a<0 (vall) (montanya) (mínim) (màxim)

- Totes les funcions quadràtiques tenen un vèxtex anomenat vèrtex de la paràbola que coincideix amb el màxim (a>0) o el mínim (a>0) de la funció.

- Cada paràbola és simètrica respecte un eix de simetria que ve donat pel vèrtex (màxim o mínim).

FUNCIONS QUADRÀTIQUES (Paràboles)

Característiques principals:- La gràfica pot tallar una, dues o cap vegada l'eix de les abcsisses. Un punt de tall Dos punts de tall Cap punt de tall

Quina relació creus que té la quantitat de talls amb l'eix de les abcsises amb una equació de segon grau?

Quants cops creus que pot tallar l'eix de les ordenades? Per què?

FUNCIONS QUADRÀTIQUES (Paràboles)

Característiques principals:Ja sabem que:Si a>0, paràbola còncava Si a<0, paràbola convexa A més, quant més gran és el valor absolut de a, més tancada és la paràbola.

FUNCIONS QUADRÀTIQUES (Paràboles)

Representació gràfica d'una funció quadràtica:1r: Trobar vèrtex de la paràbola: 2n: Representar l'eix de simetria. 3r: Trobar i representar punts de tall amb els eixos. 4t: Taula de valors per completar el gràfic.

FUNCIONS QUADRÀTIQUES (Paràboles)

Representació gràfica d'una funció quadràtica:Exemple: f(x) = 3x2 - 9x + 6 1r: vx= 9 / 2·3 = 9/6 = 3/2 = 1'5 vy = f(1,5) = 3·(1,5)2 - 9 ·1,5 + 6 = -3/4 = -0'75 Vèrtex: V =( 1'5,-0'75) 2n: Eix simetria: paral·lel a eix ordenades i passa per vx=1'5 3r: Punts de tall amb els eixos: A=(2,0), B=(1,0) i C=(0,6) 4t: Taula de valors

FUNCIONS PROPORCIONALITAT INVERSA

Les funcions de proporcionalitat inversa tenen la forma:

Exemples:

FUNCIONS PROPORCIONALITAT INVERSA

Observa:

FUNCIONS EXPONENCIALS

En les funcions exponencials, per obtenir la imatge d’un nombre x cal elevar a x un nombre real positiu diferent de 1. Una funció exponencial té la forma següent:

on k i a són valors constants, a>0 i a≠1

FUNCIONS EXPONENCIALS

Principals característiques

• El domini són tots els nombres reals.

• Són contínues.

• Sempre són o bé creixents o bé decreixents.

• La gràfica talla l’eix d’ordenades al punt (0, k).

• No talla l’eix d’abscisses.

• Tenen una asímptota horitzontal a y = 0.

FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS

Una funció definida a trossos és aquella que té dues o més fórmules cadascuna de les quals descriu un interval del domini.

FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS

Representació funcions definides a trossos

1r: Elaborem una taula de valors per cada tros de la funció:

FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS

Representació funcions definides a trossos

2n: Dividim els eixos segons els dominis en què està dividida la funció:

FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS

Representació funcions definides a trossos

2n: Dividim els eixos segons els dominis en què està dividida la funció:

FUNCIONS DEFINIDES A TROSSOS

Representació funcions definides a trossos

3r: Representem cada tros de funció dins el seu domini

Observa: El punt (2, 3) pertany al gràfic mentre que el punt (2, 2), no. La funció és discontínua a x = 2.

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Determina els punts de tall de cada paràbola amb els eixos de coordenades i comprova el resultat amb el Geogebra: a) f(x) = x2+x-2 b) f(x) = 3x2-9x+6 c) f(x) = x2 - 4 d) f(x) = x2 + 6x e) f(x)= x2 -16 f) f(x)= 2x2 +9x -5 g) f(x) = 5x2 -10x

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis