Copy - 4t ESO FUNCIONS

LLEGENDA ICONES

Passant el ratolí per damunt, s'obrirà una finestra on es mostraran els exercicis que cal que l'alumne faci.

Clicant al damunt s'obrirà un vídeo explicatiu sobre el contingut treballat.

Passant el ratolí per damunt, s'obriran finestres que mostraran explicacions, resolucions d'exercicis, ...

Mostra curiositats, connexions amb altres matèries, etc. sobre el tema tractat.

Clicant al damunt, et portarà a les diapositives amb exercicis on es treballen exercicis.

Explica trucs i ampliacions de continguts.

Mostra quelcom a tenir en compte important que cal que recordis.

Resol preguntes sobre continguts que hem treballat a classe.

FUNCIONS

ÍNDEX

Caracterísiques: Concavitat i convexitat

Caracterísiques: Domini i recorregut

Introducció

Què és una funció?Relació funcional

Característiques: Punts de tall amb els eixos.

Caracterísiques: Simetria

Variable independent i variable dependent

Caracterísiques: Creixement i decreixement

Caracterísiques: Periodicitat

Càlcul imatge i antiimatge

Caracterísiques: TVM

Exercicis resolsts

Caracterísiques: Màxims i mínims

Caracterísiques: continuïtat

INTRODUCCIÓ

INCÒGNITA vs VARIABLE

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ ?

Definició: Una funció és una regla que transforma nombres: a cada nombre, li assigna un altre nombre, que s’anomena imatge.

Per exemple: Si anomenem "f" la funció que assigna a cada nombre el seu quadrat, escriurem: f(3) = 9 f(5) = 25 f(–5) = 25 Es diu que: La imatge de 3 és 9 La imatge de 5 és 25 La imatge de -5 és 25

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ ?

Funcions i magnituds

Les funcions poden expressar relacions entre magnituds.

• Si dues magnituds estan relacionades i sabem expressar matemàticament aquesta relació, tindrem la fórmula d’una funció, per exemple: f(x)= 2x + 4

• En d’altres casos, la relació entre les dues magnituds es pot conèixer experimentalment. Aleshores, a partir d’observacions, podem elaborar una taula de valors de la funció.

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ ?

Com podem expressar una funció?:

Una funció la podem expressar de tres formes diferents:1. Mitjançant un enunciat. Donat un nombre, li assignem el seu quadrat 2. Mitjançant una taula de valors. 3. Mitjançant una expressió algebraica: f(x) = x2 4. Mitjançant una gràfica.

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ ?

Relació funcional

La relació entre dues magnitus no sempre és funcional, ho serà sempre que compleixi que a cada nombre li correspongui un únic nombre, és a dir, una única imatge.Exemples: Les magnituds següents tenen una relació funcional? 1 . La relació entre el pes dels préssecs que comprem i els diners que paguem, sabent que els préssecs van a 4 €/kg. 2. La relació entre l’alçada i el pes dels alumnes d’un institut.

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

Exercici: Digues, raonadament, si les taules següents poden correspondre o no a funcions. En cas afirmatiu, troba la fórmula que relaciona els valors de x amb les seves imatges f(x).

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ ?

Relació funcional

En l’exemple 1 anterior:Si comprem préssecs a 4 €/kg, conegut el pes dels préssecs comprats obtenim el preu a pagar multiplicant per 4. Donant valors, podem completar una taula de valors com la següent on els parells de valors corresponents es poden associar a punts d’un pla cartesià i, unint tots aquests punts, obtindrem la gràfica de la funció.

Fórmula: f(x) = 4x

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

Variable dependent i variable independent

Així, ara podem fer una altre definició de funció que impliqui l'ús de variables: Una funció és una relació entre dues magnituds o variables numèriques x i y, de manera que a cada valor de x li correspon un únic valor de y. En l’expressió algebraica de funcions, és habitual anomenar x la variable independent i y la variable dependent.

S'escriu y = f(x) per indicar que els valors de y s’obtenen a partir dels valors de x.

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ ?

f (x) = 0,60x

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ ?

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

Variable dependent i variable independent

Exercici: Una parada del mercat ven les taronges a 2,50 € el kg. a) Quina és la variable independent i quina la variable dependent. b) Quina és la imatge de 4?

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

Variable dependent i variable independent

Exercici: Un cotxe circula per una autopista a una velocitat constant de 110 km/h:a) Quina distància ha recorregut passades 3 h? b)Quina és la fórmula que permet calcular la distància recorreguda en funció del temps? Quina seria la variable independent i quina la dependent? c) Utilitza la fórmula anterior per calcular la distància recorreguda passades 3 h i 50 min.

QUÈ ÉS UNA FUNCIÓ?

Exercici: Els taxis de Barcelona cobren per un trajecte diürn en dia laborable 2,05 € per la baixada de bandera més 0,93 € per cada quilòmetre recorregut:a) Determina la fórmula que permet calcular el cost d’un viatge de x quilòmetres. c) Fes una taula de valors enters entre 1 i 5 km. d) Quina distància hem recorregut si hem pagat 10 € pel nostre trajecte?

CÀLCUL IMATGE I ANTIIMATGE

Gràfic:

Per calcular la imatge o l'antiimatge d'un nombre a través d'una gràfica només cal buscar la coordenada corresponent del punt.

La imatge del 2 és l'1. La imatge del -2 és l'1. L'antiimatge de l'1 són el 2 i el -2. La imatge del -3 és el 0. L'antiimatge del 0 és el 3.

Quina és la imatge del 3? Quina o quines són les antiimatges del 6?

CÀLCUL IMATGE I ANTIIMATGE

Fórmula:

Imatge: Per trobar la imatge d'un punt x0, cal trobar el valor numèric de la funció en x0, és a dir f(x0). Per exemple: Sigui f(x) = x2 + 3 la nostra funció: - La imatge de 2 és f(2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7, per tant f(2)=7. - La imatge de 0 és f(0) = 02 + 3 = 3, per tant f(0)=3.

CÀLCUL IMATGE I ANTIIMATGE

Fórmula:

Antiimatge: Per trobar l'antiimatge d'un punt y0, cal resoldre l'equació f(x) = y0. Per exemple: Sigui f(x) = x2 - 3 la nostra funció: L'antiimatge de 1 és la solució de l'equació x2 -3 = 1 x2 = 4 Per tant, x = 2 i x = -2 són les dues antiimatges de 1, és a dir, f(2) = f(-2) = 1

-2

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

A partir d'una taula: Cal representar els punts de la taula formats per (x , f(x)). A partir de la fórmula de la funció: Cal crear una taula de valors per trobar els punts necessaris (x , f(x)).

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESContinuïtat: Si la gràfica de la funció no té interrupcions, és a dir, no aixequem el llapis del paper al dibuixa-la, direm que és contínua. A vegades, però, la gràfica fa salts i no es pot dibuixar d’un sol traç, llavors direm que és discontínua.

Discontínua

Discontínua

Contínua

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESDomini: El domini d'una funció f(x) és el conjunt de tots els valors que pot prendre la variable independent x i s'anomena Dom f. Recorregut: El recorregut d'una funció f és el conjunt de tots els valors que pot prendre la variable dependent y i s'anomena Rec f.

Dom f = [3, 14] Rec f = [2,8]

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESDomini Com trobar el domini d'una funció donada en format algebraic? Cas 1: Si la funció és un polinomi. El domini sempre seran tots els reals. Exemple:

Dom f = R

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESDomini Com trobar el domini d'una funció donada en format algebraic? Cas 2: La funció és una fracció algebraica. El domini seran aquells valors de x que no anul·lun el denominador. Per calcular-ho caldrà igualar el denominador a 0 i trobar així els nombres que l'anul·len.

Exemple:

Dom f = R - { x = 2}

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESDomini Com trobar el domini d'una funció donada en format algebraic? Cas 3: La funció és una arrel. El domini seran aquells valors de x que fan que l'arrel sigui un nombre positiu.

Exemple

Dom f = [8, + ∞)

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESPunts de tall amb els eixos: Els punts de tall amb l'eix de les ordenades són de la forma (0,f(0)). Els punts de tall amb els eixos d'abscisses són de la forma (x,0).

RECORDA!

Quants cops pot tallar l'eix de les ordenades una funció? I el de les abcsisses?

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUES Punts de tall amb els eixos: Càlcul del punt de tall amb l'eix de les abcsisses:Per calcular el punt de tall amb l'eix de les abcisses cal calcular la imatge de 0, és a dir f(0). Càlcul del punt de tall amb l'eix de les ordenades: Per calcular el punt de tall amb l'eix de les ordenades, cal calcular la antiimatge de 0 és a dir, resoldre l'equació f(x)=0.

RECORDA!

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESPunts de tall amb els eixos:

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESCreixement i decreixement Creixement: Una funció és creixent en els intervals en què la gràfica és ascendent. Decreixement: Una funció és decreixent els intervals en què la gràfica és descendent. Constant: Una funció és constant en els trams en què la gràfica és horitzontal.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESTaxa de variació mitjana La taxa de variació mitjana d’una funció en un interval [a, b] és el resultat de dividir la variació de la variable dependent, f(b) − f(a), entre l’increment de la variable independent, b − a.

• En un interval on la funció és creixent, la taxa de variació és positiva.

• En un interval on la funció és decreixent, la taxa de variació és negativa.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESTaxa de variació mitjana: Exemple La gràfica mostra la trajectòria aproximada que segueix la pilota després que un jugador de bàsquet ha fet un llançament des de la línia de tirs lliures fins que arriba a la cistella.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESTaxa de variació mitjana: Exemple Com s'interpreta?Veiem que en l’interval que va dels 0 als 2,5 m horitzontals, la pilota ha pujat 1,5 m, és a dir, ha pujat 0,6 m de mitjana per cada metre de desplaçament horitzontal, mentre que en l’interval entre els 2,5 m i els 4 m horitzontals, la pilota ha baixat 0,5 m. Això correspon a –0,33 m de mitjana per cada metre de desplaçament.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESMàxim i mínim relatius Màxim relatiu: Una funció té un màxim en un punt si el valor de la funció en aquest punt és més gran que la resta de punts propers. Mínim relatiu: Una funció té un mínim en un punt si el valor de la funció en aquest punt és més petit que la resta de punts propers.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESMàxim i mínim absoluts Màxim absolut: Una funció té un màxim absolut en un punt si coincideix amb el valor més gran de totes les imatges (no només les del seu entorn). Mínim absolut: Una funció té un mínim absolut en un punt si coincideix amb el valor més petit de totes les imatges (no només les del seu entorn).

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESConcavitat i convexitat Convexitat: Si en un interval la taxa de variació mitjana d’una funció és cada cop més petita, la gràfica de la funció en aquest interval és convexa. Concavitat: Si en un interval la taxa de variació mitjana d’una funció és cada cop més gran, la gràfica de la funció en aquest interval és còncava.

Cóncava

Convexa

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESConcavitat i convexitat Punt d'inflexió: Quan la gràfica d’una funció passa de còncava a convexa o de convexa a còncava, el punt on es produeix aquest canvi és un punt d’inflexió.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESSimetria: La gràfica d’una funció és simètrica respecte a l’eix d’ordenades si a qualsevol valor x de la variable independent i al valor oposat −x els correspon una mateixa imatge. Formalment s’expressa així: f(x) = f(−x)

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESSimetria: La gràfica d’una funció és simètrica respecte a l’origen de coordenades si per a qualsevol valor x de la variable independent es compleix: f(−x) = −f(x)

A valors oposats de la variable independent els corresponen valors oposats de la variable dependent. Per exemple, per x=1: f(-1) = - f(1) ja que: f(-1) = 2 i -f(1) = -(-2) = 2

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UNA FUNCIÓ

CARACTERÍSTIQUESPeriodicitat: Funció periòdica: Una funció és periòdica si els valors de la funció es repeteixen transcorregut un cert interval de la variable independent.

El període d’una funció correspon a la longitud de l’interval que es repeteix successivament.

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Digues, raonant la resposta, si la relació entre els parells de magnituds següents són funcions o no. En cas afirmatiu, digues quina seria la variable independent i quina la dependent:1. El pes d'una persona i la seva altura.2. El pes d'un barril i la quantitat de líquid que conté.3. La longitud del costat d'un polígon regular i el seu perímetre.4. La qualificació d'un examen i el nombre d'hores dedicades a estudiar.5. El nombre d'obrers i el temps que tarden a acabar una feina.

Exercicis

Quina és la imatge de x = 1? I de 2? i de 4? Quina és la antiimatge de 6? I la de -4?

Fisicalab

Exercicis

Quina és la imatge de x = 1? I de 2? i de 4? Quina és la antiimatge de 6? I la de -4?

Fisicalab

Exercicis

Exercicis

Quines de les següents representacions gràfiques són funcions?

Fisicalab

Exercicis

Fisica

Exercicis

Fisica

Exercicis

a. Mira de calcular la imatge de x = 1. b. Què observes? Es tracta d’una funció contínua?

Exercicis

Aquestes funcions, són contínues o discontínues?

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Troba el domini de les funcions següents:

Exercicis

Troba el domini de les funcions següents:

Exercicis

Troba el domini de les funcions següents:

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Determina el domini i el recorregut de les funcions representades:

Exercicis

Determina el domini i el recorregut de les funcions representades:

Exercicis

Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades

Exercicis

Troba els punts de tall amb els eixos de coordenades:

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Indica els intervals de creixement i decreixement de la següent funció:

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Sabem que la taxa de variació mitjana de la funció y = f(x) és sempre 3. Quan el valor de la variable x augmenta en 4 unitats, quina variació es produeix en els valors de y?

Deixem caure una pilota per una rampa. Passats 2 segons arriba al final de la rampa amb una velocitat de 6 m/s. Quina és la taxa de variació mitjana de la velocitat? Què representa la taxa de variació mitjana en aquest cas?

Exercicis

Exercicis

Elabora una taula de creixement indicant els màxims i mínims d’altura que s’assoleixen al llarg de la marxa. Quin és màxim absolut? Quina és la taxa de variació mitjana entre Aiguafreda (km 0) i el Tagamanent (km 6)? I entre el Matagalls (km 20) i Sant Marçal (km 24)? Què indica el signe d’aquestes taxes de variació mitjana? I el seu valor?

Exercicis

Indica les coordenades dels màxims i mínims de la funció. Aquesta funció té un màxim absolut? I un mínim absolut? Raona les respostes.

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Determina els màxims i mínims relatius i elabora la taula de creixement corresponent. La funció té un màxim absolut? I un mínim absolut? Raona les respostes. Determina els punts d’inflexió i indica, mitjançant una taula, en quins intervals és còncava i en quins és convexa.

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Exercicis

Indica els períodes d’aquestes funcions periòdiques:

Exercicis

Indica els períodes d’aquestes funcions periòdiques:

Exercicis

Les taules mostren funcions periòdiques de les quals s’indica el període. Completa-les.

Exercicis

Dibuixa la gràfica d’una funció periòdica que tingui aquestes característiques: El seu període és 6. Té un mínim relatiu en el punt (0, 1). Té un màxim relatiu en el punt (4, 5).

Exercicis

Exercicis 33 i 34 pàg 202

Exercici 5 pàg 196

Exercici 43 i 44 pag 205