calculo diferencial

UNIDAD 1

Vanessa Jaqueline Perez Alvaro

CÁLCULO DIFERENCIAL

06/10/18

El cálculo diferencial es una de las ramas fundamentales del cálculo, que se centra en el estudio de las tasas de cambio y las derivadas de funciones. Esta disciplina proporciona las herramientas matemáticas necesarias para analizar cómo cambian las funciones en relación con sus variables y es esencial para una variedad de aplicaciones en ciencia, ingeniería, economía, y muchas otras áreas.

INTRODUCCIÓN

Gracias

Operaciones con funciones: adición, sustracción, multiplicación, división, composición.

Definiciones básicas: variables (dependiente e independiente). Relación, función, dominio y rango.

La función inversa

Transformaciones rígidas y no rígidas.

Funciones definidas por partes

Funciones transcendentes: trigonométricas, logarítmicas y exponenciales.

Funciones algebraicas: polinomiales y racionales.

Función real de variable real y sus distintas representaciones (analítica, numérica, gráfica, y vrbal).

Intervalos en los reales y su representación gráfica.

Modelación de fenómenos (fisicos, quimicos, económicos...) como funciones.

Formulación de funciones como modelos matemáticos en diferentes contextos.

La función implicita

Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Funciones pares, impares y ni par ni impar.

Los números reales y sus subconjuntos.

Índice

LOS NÚMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS

LOS NÚMEROS, REALES Y SUS SUBCONJUNTOS.

Los números naturales son aquellos números que utilizamos para contar, ya que estos números se encuentran de manera evidente en la naturaleza. Los números enteros son el conjunto numérico que abarca la totalidad de los números naturales, sus inversos negativos y el cero Los números racionales son aquellos que pueden reescribirse como fracciones de dos números enteros.Los números irracionales son números reales que no pueden expresarse en forma de fracción, es decir, no se pueden escribir como un cociente de números enteros.Los números reales constituyen el conjunto numérico que abarca a los números naturales, los enteros, los racionales y los irracionales.

FUNCIONES PARES , IMPARES Y NI PAR NI IMPAR

Función par: Tiene simetría reflectiva a través del eje de las y. Función impar: Para cada x en el dominio de f, f(-x) = -f(x). Tiene simetría rotacional de 180º con respecto al origen.Función ni par ni impar: La mayoría de las funciones no cumplen con estas propiedades. La única función que es tanto par como impar es f(x) = 0

FUNCIONES PARES, IMPARES Y NI PAR NI IMPAR

FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

(ejemplo)

Las funciones pueden ser inyectivas, suprayectivas o biyectivas.Una función es inyectiva si manda distintos elementos del dominio a distintos elementos del contradominio. Una función es suprayectiva si todo el contradominio tiene su correspondencia. Una función es biyectiva si todo elemento del contradominio vendrá de uno y solamente un elemento del dominio

FUNCIÓN INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

LA FUNCIÓN INVERSA

La función inversa es un concepto fundamental en matemáticas que se refiere a una función que "deshace" el efecto de otra función. Para una función 𝑓 que toma un valor 𝑥 y lo mapea a un valor 𝑦, la función inversa 𝑓−1toma ese valor 𝑦y lo mapea de vuelta al valor 𝑥.

LA FUNCIÓN INVERSA

LA FUNCIÓN IMPLÍCITA

La función implícita es una manera de definir funciones que no están expresadas de forma explícita en términos de una variable independiente. En lugar de escribir una función como 𝑦 =𝑓(𝑥), una ecuación implícita define una relación entre 𝑥 e y sin despejar y explícitamente en términos de 𝑥.

LA FUNCIÓN IMPLICITA

FORMULACIÓN DE FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS EN DIFERENTES CONTEXTOS

La formulación de funciones como modelos matemáticos es una herramienta fundamental para entender y resolver problemas en diversos contextos. Los modelos matemáticos utilizan funciones para representar relaciones y comportamientos en el mundo real, permitiendo hacer predicciones, analizar fenómenos y tomar decisiones informadas.

FORMULACIÓN DE FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS EN DIFERENTES CONTEXTOS.

MODELACIÓN DE FENÓMENOS (FÍSICOS, QUÍMICOS, ECONOMICOS..)COMO FUNCIONES

El cálculo diferencial nos proporciona métodos para el estudio y análisis de funciones, las cuales constituyen una herramienta eficaz para resolver y comprender desde el punto de vista gráfico y analítico los fenómenos de la naturaleza, de los procesos físicos, el desarrollo de los avatares de la economía, los continuos avances en la ingeniería y la biología, entre otros, donde se nos exige el conocimiento de la modelación matemática.

MODELACIÓN DE FENÓMENOS (FÍSICOS, QUÍMICOS, ECONÓMICOS...) COMO FUNCIONES

INTERVALOS EN LOS REALES Y SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

La representación gráfica de intervalos de números reales permite realizar operaciones entre conjuntos para hallar intersecciones o uniones. Para representar los intervalos gráficamente, se utiliza un punto hueco si el valor no está incluido, o un punto relleno si el valor está incluido en el intervalo. Existen cuatro tipos de intervalos: cerrado, abierto, cerrado por la izquierda y cerrado por la derecha. Esta representación es ampliamente utilizada en las matemáticas de números reales.

INTERVALOS EN LOS REALES SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA

DEFNICIONES BÁSICAS: VARIABLE (DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE DOMINIO Y RANGO

Las variables dependientes e independientes son utilizadas para entender las relaciones entre diferentes factores y variables, y para hacer predicciones basadas en la información recopilada. En pocas palabras, las variables dependientes son aquellas que son afectadas por las variables independientes.

DEFINICIONES BÁSICAS: VARIABLE (DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE) RELACIÓN, FUNCIÓN, DOMINIO Y RANGO.

El rango de la función es el conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente luego de haber sustituido el dominio. Es decir, el rango son los valores resultantes de y que obtenemos después de haber sustituido todos los posibles valores de x.

El dominio se refiere al conjunto de valores para los cuales una función matemática es definida. En otras palabras, es el conjunto de todos los posibles valores de entrada (x) para los cuales la función tiene un valor correspondiente en el conjunto de números reales (y). Este concepto es fundamental para determinar la viabilidad de una función en un intervalo dado.

Una función es una relación matemática entre dos conjuntos, donde a cada elemento del primer conjunto, llamado dominio, le corresponde exactamente un elemento del segundo conjunto, denominado codominio.

Una relación en la que a cada elemento del dominio le corresponde uno y solo un elemento del rango o contradominio. Dominio y rango de una función Dominio: son el conjunto de elementos que hacen posible una función. Rango: es el conjunto de elementos que son reflejo o imagen de la relación.

FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL Y SUS DISTINTAS REPRESENTACIONES

La función real de una variable real se refiere a una relación matemática en la que cada valor de la variable independiente (dominio) se asocia con un único valor de la variable dependiente (recorrido).Representación analítica: Se expresa mediante una fórmula matemática que relaciona la variable independiente con la variable dependiente. Representación numérica: Se muestra en una tabla con valores específicos de la variable independiente y sus correspondientes valores de la variable dependiente. Representación gráfica: Se dibuja en un plano cartesiano, donde el eje x representa la variable independiente y el eje y representa la variable dependiente. Representación verbal: Se describe en palabras, indicando cómo la variable dependiente cambia en función de la variable independiente.

FUNCÍON REAL DE VARIABLE REAL Y SUS DISTINTAS REPRESENTACIONES

FUNCIONES ALGEBRAICAS: POLINOMIALES Y RACIONALES

Una función polinómica es una función definida por una expresión con al menos un término algebraico. Una función racional es cualquier función que pueda escribirse como la relación de dos funciones polinómicas.

FUNCIÓNES ALGEBRAICAS: POLINOMIALES Y RACIONALES

FUNCIONES TRASCENDENTES:TRIGONOMÉTRICAS, LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

Las funciones trigonométricas son las funciones establecidas con el fin de extender la definición de las razones trigonométricas a todos los números reales y complejos.Las funciones logarítmicas son un tipo de funciones transcendentales12. Las funciones transcendentales son aquellas que transcienden el álgebra en el sentido de que ninguna puede ser expresada en términos de una secuencia finita de operaciones algebraicas de suma, resta y/o extracción de raícesSe llaman funciones exponenciales las que tienen la ecuación y = ax, siendo la base a un número positivo distinto de 1

FUNCIONES TRASCENDENTES: TRIGONOMETRICAS, LOGARÍTMICAS Y EXPONENCIALES

FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES

Una función definida por partes es aquella que no esta definida por una ecuación sola, sino por dos o más. Cada ecuación es válida para algún intervalo .

FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES

OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCCIÓN, MULTIPLICACIÓN...

Se pueden hacer 5 tipos de operaciones diferentes con funciones: suma, resta, producto, división y composiciónEl valor de la suma (o adición) de dos funciones es igual a la suma del valor de cada función. Es decir, para calcular la imagen de una función suma basta con sumar las imágenes de las funciones que intervienen en la operación.La resta de funciones se define como la resta de las imágenes de dos funciones f y g que están definidas en un mismo intervalo y tienen la misma variable independiente

OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICIÓN, SUSTRACCIÓN, MULTIPLICACIÓN, DIVISIÓN, COMPOSICIÓN

La multiplicación de dos funciones se define como el producto de las imágenes de las funciones. Para obtener el producto, se deben multiplicar las dos ecuaciones de las funciones. El dominio del cociente de funciones es el conjunto de valores compartidos por sus dominios excluyendo a aquellos que hacen a (x) igual a cero.La de funciones es una operación matemática que consiste en evaluar un mismo valor de la variable independiente (x) en dos o más funciones de manera sucesiva

TRANSFORMACIONES RÍGIDAS Y NO RÍGIDAS

• NO RÍGIDAS

• RÍGIDAS

Hay dos tipos de transformaciones. Una transformación rígida cambia la ubicación de la función en un plano de coordenadas, pero deja sin cambios el tamaño y la forma de la gráfica. Una transformación no rígida cambia el tamaño y/o la forma de la gráfica.

TRANSFORMACIONES RÍGIDAS Y NO RÍGIDAS

LOREM IPSUM DOLOR

¡Gracias!