El modelo de razonamiento geométrico de van Hiele

MADEMSUNAM

Georgina Orozco Nolasco

La elipse y el modelo de razonamiento geométrico de van Hiele en estudiantes de Educación Media Superior

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Evaluación

Propuesta didáctica

El modelo de razonamiento geométrico de van Hiele

Vygotsky

Piaget

Pensamiento formal

Introducción

Índice

Marcus du Sautoy

"Los seres humanos estamos hechos para las matemáticas pero nos las enseñan mal"

Tabla 1. Muestra las trece materias con mayor índice de reprobación entre los años 2003-2019 en la Facultad de Ciencias.

La materia de Geometría Moderna es la más reprobada dentro de la carrera de matemáticas de la UNAM. mientras que las materias de Geometría Analítica I y II ocupan el lugar número 7 y 12 respectivamente.

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Existe una tasa alta de reprobación en materias relacionadas a geometría.

¿Las matemáticas son difíciles?

Introducción

Tabla 3. El índice de aprobación en la materia de Geometría Analítica se mantiene a la baja.

Tabla 2. Los estudiantes que provienen del CCH se mantienen más irregulares que aquellos que entran mediente examen o vía la ENP.

Datos: regularidad y aprobación

¿Por qué las matemáticas son consideradas difíciles?

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A pesar de que las mátemáticas surgieron de observar nuestro entorno, a la hora de ser escritas y comunicadas, apelan a un carácter lógico formal y hacen uso del pensamiento hipotético deductivo. Este pensamiento formal está asociado con la etapa más alta del desarrollo congnitivo del ser humano.

Pensamiento formal

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En países en vías de desarrollo, gran cantidad de jóvenes no cuentan con esquemas de operaciones formales (Molina, 2013), lo que les impide abstraer y desarrollar tipos de pensamientos apropiados para construir conocimiento en áreas como la matemática.

Un estudio del 2019 llevado a cabo en la UNAM, arrojó que más del 50% de estudiantes de bachillerato, no son capaces de formalizar conceptos en física y matemáticas y no consideran que tenga alguna utilidad en su formación profesional (Vázquez, 2019), además, sólo 50% de estudiantes logran desarrollar un pensamiento formal adecuado dentro de una licenciatura científica.

Etapa operaciones formales

Etapa operaciones concretas

Etapa preoperacional

Etapa sensoriomotora

Entre los años de 1950 y 1975 Jean Piaget y Barbel Inhelder realizaron una serie de estudios sobre el desarrollo del pensamiento. Analizaron las diferentes etapas del desarrollo cognitivo y establecieron diferencias cualitativas entre este. Identificaron a lo largo del desarrollo del ser humano una fase de pre-pensamiento, posteriormente se desarrollará un tipo de pensamiento denominado pensamiento concreto y el finalmente el pensamiento formal.

Piaget y la teoría psicogenética

Apropiación

Andamiaje

Zonas de desarrollo

Lenguaje

Instrumentos y artefactos

Apropiación

Andamiaje

Zonas de desarrollo

Lenguaje

Instrumentos y artefactos

Lev Vigotsky y la teoría sociocultural

Esta teoría sienta las bases del socio- constructivismo y enfatiza la importancia de la interacción humana como motor de las construcciones simbólicas y sociales, apuntando al estudio de la mente humana y la cultura como resultado de esta. El pensamiento humano y lenguaje son producto de la interacción y por ende, los diferentes intercambios entre individuos son los fenómenos claves para entender el desarrollo.

• Los seres humanos cuentan con distintos niveles a la hora de razonar.

• No existe una manera de enseñar a razonar a alguien con instrucciones, es necesaria la propia experiencia y la interacción para lograr un pensamiento sofisticado.

• Un estudiante de geometría únicamente puede comprender aquellos resultados que el profesor le presente de manera adecuada a su nivel de razonamiento.

Con el pasar de los años y su experiencia docente, resaltaron algunas características en la manera de razonas de niños y jóvenes:

Es un modelo de enseñanza-aprendizaje desarrollado por dos profesores de geometría Holandeses: Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele en los años 60´s

EL MODELO DE RAZONAMIENTO GEOMÉTRICO DE VAN HIELE

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Nombre Apellidos

Los estudiantes comienzan a dotar de propiedades a los objetos geométricos de manera informal y hacer descripciones de estos. No logran reconocer propiedades necesarias y suficientes. Rechazan definiciones formales en favor de las de ellos mismos. Perciben a la geometría como una ciencia experimental.

Comienzan a desarrollar su capacidad de razonamiento y son capaces de reconocer la deducción de propiedades y reconocer las implicaciones en tales deducciones. Intuyen algunos resultados sencillos y los pueden enunciar sin rigor , sin embargo, no comprenden el significado de la deducción a partir axiomas, ni el papel que estos tienen en las teorías formales. Comprenden pasos de un razonamiento lógico formal, no entienden la estructura de una demostración ni la necesidad o importancia a pesar de que pueden seguirla

Es el último nivel del modelo y corresponde a un razonamiento geométrico relacionado a una estricta formalidad matemática. Los individuos con este nivel aceptan la existencia de sistemas axiomáticos diferentes y son capaces de poder analizarlos y compararlos. También pueden conectar ramas de las matemáticas, descubrir nuevos resultados o bien, probar problemas abiertos.

Comienza la sofisticación del pensamiento lógico formal, los estudiantes pueden entender y realizar demostraciones y éstas comienzan a tener un sentido para ellos, aceptando su función y necesidad como único medio para identificar la veracidad en proposiciones y en sistemas formales. Pueden comparar distintas demostraciones y distinguir condiciones necesarias y suficientes.

Se caracteriza por una percepción de la geometría incompleta y la carencia de atribuir propiedades geométricas a los objetos. No hay clasificaciones ni generalizaciones aunque es posible aprender vocabulario.

Clasificación

Rigor

Deducción formal

Análisis

Reconocimiento o visualización

Niveles de razonamiento geométrico

Dos estudiantes con distinto nivel pueden no comprenderse entre sí cuando el que tenga un nivel más avanzado de razonamiento no maneje el mismo lenguaje y significatividad de contenidos que el otro

Cada nivel tiene su lenguaje utilizado (notación matemática) y su significatividad de los contenidos (conexión de estos símbolos dotándolos de significado). El paso de un nivel a otro se da de manera continua.

Lo que es implícito en un nivel de pensamiento, en el nivel siguiente se vuelve explícito

Los niveles de razonamiento, cuentan con una organización jerárquica en referencia al nivel de sofisticación que requieren, pero no son incompatibles o excluyentes entre sí, la adquisiciónn de un nivel no implica la necesidad de eliminar otro.

Acerca de los niveles de razonamiento

INTEGRACIÓN

ORIENTACIÓN LIBRE

EXPLICITACIÓN

ORIENTACIÓN DIRIGICA

INFORMACIÓN

Fases de aprendizaje de modelo de van Hiele

La elipse y el modelo de razonamiento geométrico de van Hiele

PROPUESTA DIDÁCTICA

Vygotsky

Piaget

La elipse puede ser estudiada desde varias definiciones y sus aplicaciones suelen ser amplas. Dentro de los programas académicos suele ser dejada de lado, siendo la circunferencia y la parábola las curvas más populares.

El estudio de las cónicas, se encuentra contemplado en los programas de estudio de los estudiantes de nivel medio superior en las escuelas mexicanas.

Las curvas cónicas han sido de suma importancia en el estudio de la geometría a lo largo de la historia. Dichas curvas fueron descubiertas y descritas por brillantes matemáticos en los tiempos antiguos. En la actualidad es vigente su estudio e incluso existen problemas abiertos relacionados a ellas, en áreas de las matemáticas relativamente recientes como: la geometría algebraica, los sistemas dinámicos o la geometría proyectiva, entre otras.

La elipse

- Se realizó una prueba diganóstica con la finalidad de determinar el nivel de razonamiento de van Hiele en el que se encontraban.-Elaboración de 4 secuencias didácticas tomando en cuenta el modelo de razonamiento geométrico de van Hiele sin dejar de lado las aportaciones de la teoría sociocultural revisada anteriormente. -Evaluación

Estudiantes de cuarto semestre del CCH sur

Estructura de las secuencias didácticas

Cuestionario diagnóstico

Nivel 1- Observar si los estudiantes reconocen prototipos visuales de la elipse, saben vocabulario geométrico relacionado a las cónicas, identifican formas y las reproducen.-Determinar si los estudiantes usan un lenguaje apropiado al referirse a la definición de elipse en términos de distancia.Nivel 2-Determinar si los estudiantes hacen explícitas las propiedades de la elipse y usan lenguaje apropiado al referirse a ellas sobre definiciones propias.-Determinar si los estudiantes pueden deducir propiedades a partir de otras o bien las relacionan para hacer clasificaciones lógicas basadas en tales propiedades.-Observar si los estudiantes son o no capaces de realizar una demostración matemática informal relacionada con la elipse.

Objetivos particulares

Hallar el nivel de razonamiento en el que se encuentran los estudiantes

Objetivo general

La imagen muestra una Elipse. Mueve el punto E hasta que coincida con el punto D. ¿Qué curva se obtiene? ¿Dirías que es una elipse? ¿Por qué?

Pregunta 5. Nivel de análisis. Abre la siguiente hoja dinámica:

¿Qué caracteriza a los puntos que se están dibujando?

Pregunta 3. Nivel de análisis. Observa con detenimiento el siguiente video:

Cuestionario diagnóstico

Pregunta 7. Nivel de clasificación. Abre la siguiente hoja dinámica:

Pregunta 10. Nivel de análisis. 1¿Cómo convencería a un compañero que la elipse es una curva simétrica con respecto a sus ejes?

La imagen muestra un plano cortando a un cono en una curva. Puedes mover el punto D para variar el corte. ¿Qué condición se debe de cumplir para que dicho corte sea una elipse? OJO: También puedes mover el vértice B del cono para observar mejor las intersecciones.

Los resultados fueron analizados y se encontró que: -Todos los estudiantes reconocieron a las elipses-El 90% de los estudiantes sabían vocabulario relacionado a la elipse: Focos, ejes, centro, semiejes.-El 85% se refería a la elipse con un lenguaje informal haciendo referencia a su forma: es achadita, está más aplastada, es un óvalo, está redondeada. El 15% restante, recordó la definición en términos de distancias.-El 60% consideraba un dibujo como una prueba suficiente de una propiedad simétrica de la elipse.El 40% restante no supo dar un argumento al respecto. -Únicamente un estudiante pudo diferenciar entre una elipse y una circunferencia -Ningún estudiante encontró una relación entre la ecuación canónica de una elipse horizontal y alguna propiedad geométrica que se deduce de ella.-Ningún estudiante dio una condición necesaria y suficiente para que un plano corte a un cono en una elipse.

Resultados obtenidos

Secuencias didácticas en el tema de la elipse para estudiantes de nivel medio superior

Fases de aprendizaje

Secuencia 1

Fases de aprendizaje

Secuencia 2

Secuencia 4

Fases de aprendizaje

Es de suma importancia que las secuencias sean evaluadas con una prueba que determine si el lenguaje de los estudiantes se aproxima a un nivel de formalidad apropiado a sus conocimientos adquiridos así como indagar si los objetivos generales y específicos se cumplieron.

Evaluación

Georgina Orozco

¡Gracias!

Se desarrolla del nacimiento hasta los 2 años, es el periodo en el cual en ausencia del lenguaje o de una función semiótica (la capacidad de representar un significado a través de un signo o un significante) el niño se limita a experimentar el mundo físico sin establecer representaciones como tal y basa su mundo en las percepciones. La imitación juega un papel fundamental en esta etapa ya que permitirá generar imágenes mentales que ayudarán a representar el mundo externo a nivel interno.

Etapa sensomotriz

El andamiaje es un proceso que se encuentra asociado al desarrollo en el contexto de la ZDP, pues en situaciones educativas delimita el proceso guiado por la que un sujeto experto o de mayor nivel de desarrollo en una actividad, facilita a través de la interacción las herramientas o conocimientos necesarios para que un individuo de menor nivel de desarrollo logre adquirir esas nuevas herramientas y conocimientos, derivando en un crecimiento individual y este llegue a un nuevo nivel de desarrollo.

El niño puede emplear la lógica que ha experimentado hasta el momento (tanto a nivel experiencia como la adquirida escolarmente) y manipular el medio de manera simbólica, como son las operaciones aritméticas o las transformaciones concretas simples, como cambios de estado. Se consideran concretas porque tratan directamente de los objetos y no de hipótesis enunciadas y constituye la transición entre la acción y las estructuras lógicas más generales que implican una estructura de grupo.Esta etapa está íntimamente relacionada con el desarrollo afectivo y de interacciones sociales. Piaget reconoce que la capacidad de transformar y operar se puede ver potenciado o mermado por las características de las interacciones mentales y afectivas que tenga el infante.

Se trata de una fase de diagnóstico e información, el primer contacto. El profesor debe conocer las ideas previas que los estudiantes tienen sobre la materia y hacerles saber sobre el campo de estudio en el que van a trabajar, la importancia de ese campo dentro de las matemáticas, qué tipo de problemas se van a plantear, qué van a aprender, qué herramientas y materiales didácticos van a utilizar.

La docencia en matemáticas entonces es entendida como una facilitadora de las interacciones y es la responsable de que exista la riqueza contextual necesaria para que los individuos al interactuar sean capaces de significar y desarrollar.

Es una de las más importantes en el modelo de van Hiele, ahí se comienza a consolidar un aprendizaje sólido. Entre las finalidades principales de esta fase es conseguir que los estudiantes interactúen y colaboren entre ellos: intercambiando sus experiencias, comentando los patrones, propiedades o características que han observado, que expliquen cómo han resuelto las actividades, qué errores cometieron y cómo lograron resolverlos.

Está principalmente relacionada con el descubrimiento y la prueba. El objetivo principal será conseguir que los alumnos descubran, comprendan y aprendan cuáles son las principales definiciones, propiedades, estructuras geométricas, entre otros. Es muy importante la participación de los alumnos en esta fase, también que las actividades que se les propongan dejen de lado la mecanización.

Es el instrumento que nos permite intervenir y desarrollar acción social: contextualiza, dirige y permite la interacción humana. Es el proceso por el cuál los individuos establecen una conducta colaborativa, intercambian y se transforman. El lenguaje posee diferentes dimensiones, es dependiente del contexto y en su naturaleza instrumental, pertenece y desarrolla los niveles individuales, colectivos y culturales, pues será este el que permita codificar las experiencias y la actividad humana relacionada y a la par, codifica la relación entre individuos.

La apropiación (o aprendizaje) de las matemáticas dependerá de la riqueza y la efectividad de las interacciones que ocurran entre individuos con diferentes experiencias, el contexto individual y colectivo (considerando experiencias previas, significados y bagaje cultural determinado) así como la negociación que ocurra durante la interacción.

El pensamiento formal involucra la capacidad de utilizar reglas, lógica y estructura para razonar y resolver problemas, se enfoca en la forma y la estructura. Está estrechamente relacionado con el pensamiento hipotético-deductivo en dónde desde nociones generales se llegan a conclusiones particulares a través de herramientas formales y lógicas como silogismos, axiomas o juicios lógicos.

Una falla o deficiencia de un sujeto en alguna habilidad matemática puede estar relacionada a una falla colectiva que no ha generado el contexto necesario de signos y significados.

Las formas elaboradas de la actividad humana deben analizarse desde el contexto y el grupo para entender el abordaje que tiene un individuo

Todas las actividades humanas son mediadas por instrumentos o artefactos, existen instrumentos de naturaleza psicológica y material, ambos reflejan la actividad histórica cultural humana y son dependientes del contexto dónde se apliquen.

Es dónde los estudiantes realizarán un perfeccionamiento de su conocimiento geométrico, es el momento en que deberán aplicar los conocimientos que acaban de adquirir, haciendo uso de la notación y lenguaje matemático adecuado, a otros problemas diferentes de los anteriores. Esta fase es quizá las más complicada para el profesor ya que debe plantear ejercicios que puedan desarrollarse de diversas formas o que puedan llevar a diferentes soluciones, con la finalidad de que el estudiante los descubra y pueda perfeccionar los conocimientos que los estudiantes poseen sobre la geometría.

Son las operaciones que tardan más en aparecer, pues son aquellas que necesitan el mayor número de recursos mentales. En esta etapa, el sujeto llega a ser capaz de razonar correctamente sobre proposiciones en las que no cree, es decir, que considera como puras hipótesis. Llega a ser capaz de extraer las consecuencias necesarias de verdades simplemente posibles, lo que constituye el comienzo del pensamiento hipotético-deductivo o formal.

El sujeto aún no puede establecer operaciones con las que transformar el mundo externo ni interno, pero recurre a pautas desarrolladas que establecen las bases operantes. El primer logro es la consolidación de la función semiótica, la representación simbólica y el desarrollo de las imágenes mentales.

El ensayo y error es lo que permite el desarrollo del pensamiento formal

En la perspectiva sociocultural y su eventual aplicación a los contextos educativos el objetivo del andamiaje e identificación de Zonas de Desarrollo es la apropiación, esta se da en la participación, al tiempo que el individuo cambia para involucrarse en la situación y está contribuye tanto a la dirección que toma el acontecimiento como a la preparación del individuo. La apropiación es el proceso de transformación.

Algunos datos recientes sugieren que existe un fuerte problema con el aprovechamiento de la geometría, en el Taller La docencia en los siguientes 80 años, realizado en la Facultad de Ciencias en junio del 2019, como parte de los festejos por los 80 años de la facultad, se expusieron algunos datos relacionados con las tasas de reprobación, regularidad y aprobación.

Cuando se analiza el aprovechamiento, rendimiento o aprendizaje de los estudiantes en cuanto a las matemáticas, pocas veces se realiza un análisis integral de la situación que ésta representa.Cada alumno tiene una Zona de Desarrollo diferente, en tanto exista este nivel diferenciado, se debe facilitar que alumnas y alumnos interactúen, pues serán los individuos que dominen las matemáticas, los que eventualmente llevarán a un mayor entendimiento a aquellos individuos que tienen un nivel de pericia mayor.

Interacciones y transmisiones sociales permiten afinar el pensamiento.

La falta de pericia en el desarrollo del conocimiento matemático puede estar altamente relacionada con la deficiencia del desarrollo de alguna de las etapas operatorias.

Vygotsky propuso que existían zonas de desarrollo, que cumplían ciertas características que eran propias de un individuo o un grupo al momento de una interacción. Las zonas son interdependientes, dinámicas y negociables. La Zona de desarrollo Real es aquella dónde se ubican los diferentes individuos o grupos a partir de sus experiencias, significados, expectativas y emociones.La Zona de desarrollo potencial es la distancia entre el nivel de desarrollo real determinado por la solución de problemas independientes y el nivel de desarrollo potencial determinado por la solución de problemas bajo la guía de alguien con mayor experiencia. Es la zona dónde ocurren diferentes aprendizajes ya que emerge en la actividad creando soluciones conjuntas.

Es la última fase que permite a los estudiantes adquirir una visión general de lo que han realizado anteriormente, así como de los contenidos, herramientas y conocimientos que tienen a su disposición. Los estudiantes deben relacionar lo aprendido con otros temas que hayan estudiado anteriormente y reconocer la importancia de su materia dentro de ciencia y las matemáticas. De ser posible, deben de concentrar sus saberes en un todo: el dominio que ha explorado su pensamiento.