Métodos numéricos 1

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Métodos numéricos

Conclusión de lo visto en clase y asignación de actividades extraescolares.

Exposición de tema a ver intercalado con actividades.

Acuerdos de convivencia y objetivos de aprendizaje, pase de lista.

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ÍNDICE

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Ingeniero Industrial

Fernando Yahir Mendoza Calva

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El alumno organizara la informacion presentada en clase mediante un cuadro comparativo entre metodos numericos y metodos analiticos, un glosario y ejercicios, para entender la importancia de la teoria del error.

objetivo

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1. Teoría de errores 1.1 Métodos analíticos versus métodos numéricos 1.2 Herramientas de software para resolver numéricamente problemas de matemáticas 1.3 Conceptos de la teoría de errores 1.3.1 Cifra significativa 1.3.2 Precisión 1.3.3 Exactitud 1.3.4 Incertidumbre 1.3.5 Sesgo 1.4 Tipos de error 1.5 Solución de problemas de cálculo de errores

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Buscan encontrar una solución exacta de un problema a través de expresiones algebraicas o fórmulas cerradas. Estos métodos se utilizan principalmente en problemas donde se pueden manipular las ecuaciones simbólicamente y obtener resultados exactos.

Métodos analíticos

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Son algoritmos diseñados para encontrar soluciones aproximadas de problemas matemáticos cuando no se puede obtener una solución analítica o cuando esta es muy complicada. Estos métodos utilizan aproximaciones iterativas y son esenciales en la resolución de problemas complejos y no lineales.

Métodos Numéricos

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Herramientas de software

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Reglas

tipos

Componentes

Tipos

Tipos

Operaciones

Medida

Medida

Medida

Medida

Importancia

Importancia

factores

factores

Importancia

concepto

concepto

concepto

concepto

concepto

Expresión

Incertidumbre

Exactitud

Precisión

Sesgo

Cifra significativa

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Error DE truncamiento

Error DE APROXIMACIÓN

Tipos

Ejemplos

causa

Caracteristicas

Caracteristicas

Caracteristicas

Causa

concepto

concepto

concepto

ERROR ALEATORIO

Error absoluto

ERROR RELATIVO

ERROR DE REDONDEO

Error sistemático

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problemas de cálculo de errores

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¡Conclusiones!

Causa: Es causado por factores impredecibles o fluctuaciones en las condiciones de medición, como cambios en la temperatura, vibraciones, o el juicio del operador.

Errores sistemáticos: Desviaciones constantes en la medición debido a un mal calibrado de los instrumentos o a factores ambientales estables.Condiciones del entorno: Cambios en temperatura, presión o humedad pueden afectar la medición.Errores del operador: Un mal uso del equipo de medición o interpretaciones incorrectas pueden generar errores.

• Es reproducible y afecta todas las mediciones de la misma manera.
• No disminuye con la repetición de las mediciones.
• Puede corregirse si se detecta y se conoce su origen.

Ejemplo: Si el valor verdadero de una longitud es 10.0 cm y se mide como 9.8 cm, el error absoluto es 0.2 cm.

Error absoluto=|Valor medido−Valor verdadero|

El error absoluto es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero de una cantidad. Representa la magnitud del error sin tener en cuenta si es positivo o negativo.

El sesgo se cuantifica como la diferencia entre el valor medido (o estimado) y el valor verdadero, que se expresa como el error sistemático: Sesgo=Valor promedio medido−Valor verdaderoSi el sesgo es positivo, las mediciones tienden a sobreestimar el valor verdadero.Si es negativo, las mediciones subestiman sistemáticamente el valor.

Es un error que varía de manera impredecible y puede ser positivo o negativo en diferentes mediciones. A diferencia del error sistemático, no sigue un patrón específico y tiende a distribuirse alrededor del valor verdadero.

Ejemplo: Al medir la misma longitud varias veces, los resultados pueden variar ligeramente debido a la imprecisión de la herramienta o a pequeños movimientos durante la medición.

Ejemplo: 1500 puede tener 2, 3 o 4 cifras significativas dependiendo de la precisión con que se haya medido el número. Si se expresa como , tiene 3 cifras significativas.

Ejemplo: En 3.00, los tres dígitos son significativos (3.00 tiene 3 cifras significativas).

Ejemplo: En 0.0045, solo los dígitos "4" y "5" son significativos (0.0045 tiene 2 cifras significativas).

Ejemplo: En el número 456, los tres dígitos son significativos (456 tiene 3 cifras significativas).

Ejemplo: En el número 405, los tres dígitos son significativos (405 tiene 3 cifras significativas).

1. Todos los dígitos distintos de cero son significativos.2. Los ceros ubicados entre dígitos distintos de cero son significativos.3. Los ceros a la izquierda de los dígitos distintos de cero (ceros iniciales) no son significativos, ya que solo indican la posición decimal.4. Los ceros a la derecha de un número que contiene un punto decimal son significativos.5. Los ceros a la derecha de un número sin punto decimal no son necesariamente significativos a menos que haya alguna notación especial que lo indique (como notación científica).

Incertidumbre tipo A: Basada en análisis estadísticos de una serie de mediciones repetidas. Se calcula utilizando métodos estadísticos, como la desviación estándar, y se denomina incertidumbre aleatoria.Incertidumbre tipo B: Se refiere a las estimaciones basadas en información diferente a la obtenida de las mediciones repetidas, como la exactitud de los instrumentos, la calibración, datos previos, especificaciones del fabricante, etc. Es más difícil de cuantificar que la incertidumbre tipo A y se basa en juicios cualitativos o información externa.

Donde son los valores medidos, es la media y 𝑁 es el número de mediciones.

Desviación estándar (σ): Representa la dispersión de los valores medidos respecto a la media. Cuanto menor sea la desviación estándar, mayor será la precisión.

Rango: Es la diferencia entre el valor más alto y el más bajo en un conjunto de mediciones. Un rango más estrecho indica mayor precisión.

La precisión se cuantifica típicamente mediante la desviación estándar o el rango de las mediciones repetidas.

2. Multiplicación y división: El resultado de una multiplicación o división debe tener tantas cifras significativas como el número con menos cifras significativas.

Ejemplo: 12.11+3.6=15.7 (el resultado tiene una cifra decimal, como el número con menos decimales).

Ejemplo: 4.56×1.4=6.4 (el número con menos cifras significativas, 1.4, tiene 2 cifras significativas, por lo que el resultado también tendrá 2 cifras significativas).

1. Suma y resta: El resultado de una suma o resta debe tener el mismo número de decimales que la cantidad con menos decimales en la operación.

Ejemplo: Si se mide una longitud de 100 cm con un error absoluto de 1 cm, el error relativo es del 1%.

El error relativo es la relación entre el error absoluto y el valor verdadero, generalmente expresado como un porcentaje. Este tipo de error proporciona una medida más comprensible en términos de la importancia del error respecto al valor total medido.

Efecto del Sesgo en las Mediciones

• El sesgo puede hacer que las mediciones no sean confiables, incluso si las mediciones son precisas (es decir, consistentes entre sí).
• Cuando hay sesgo, las mediciones pueden no reflejar correctamente el valor verdadero, lo que genera errores sistemáticos que no se cancelan al promediar los resultados, a diferencia de los errores aleatorios.
• El sesgo puede ser difícil de detectar sin comparación con un estándar conocido o sin realizar mediciones controladas.

Sesgo sistemático: Es el tipo más común y se refiere a errores constantes en todas las mediciones. Este sesgo puede ser causado por fallas en los instrumentos de medición, condiciones ambientales que afectan el proceso o errores humanos que se repiten de manera consistente.Sesgo de selección: Ocurre cuando la muestra seleccionada para un estudio no es representativa de la población objetivo, lo que lleva a resultados sesgados.Sesgo de medición: Surge cuando los instrumentos o métodos de medición utilizados no capturan adecuadamente el valor verdadero de una variable.Sesgo cognitivo: En el análisis de datos, puede ocurrir debido a la interpretación subjetiva de los resultados o a la influencia de expectativas previas.

Ejemplo: Realizar una encuesta sobre preferencias de transporte solo en personas que utilizan automóviles, excluyendo a quienes usan transporte público.

Ejemplo: Si un investigador tiene una hipótesis fuerte, puede interpretar los resultados de una manera que favorezca su hipótesis, ignorando o minimizando datos contrarios.

Ejemplo: Utilizar una escala que no ha sido calibrada correctamente y siempre mide más peso del real.

Ejemplo: Un termómetro mal calibrado que siempre marca 2 grados más de lo real.

Ejemplo: En el cálculo de integrales numéricas, el error de truncamiento aparece cuando se aproxima la integral utilizando un número finito de subintervalos

Causa: Este error es causado por detener un cálculo iterativo o una serie en un paso intermedio.

El error de truncamiento es un tipo de error numérico que ocurre cuando se corta o se trunca una parte de un cálculo. Este error surge cuando se detiene una serie infinita o un algoritmo numérico después de un número finito de pasos.

La precisión puede verse afectada por diversos factores, como:

• La calidad del instrumento de medición.
• Las fluctuaciones ambientales (temperatura, presión, etc.).
• Errores humanos durante la medición.
• Variaciones en el procedimiento de medición.

Intervalo de ConfianzaEl intervalo de confianza es una manera de expresar la incertidumbre y se refiere al rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el valor verdadero con una determinada probabilidad. Los intervalos de confianza comúnmente usados son del 68%, 95% y 99.7%, correspondientes a 1, 2 y 3 desviaciones estándar en una distribución normal.Un intervalo de confianza del 95% indica que hay un 95% de probabilidad de que el valor verdadero esté dentro del rango de incertidumbre dado.

Resuelve el siguiente ejercico utilizando el error por aproximación de 1 y 2 decimales con los datos dados y resultantes.

Resuelve el siguiente ejercico utilizando el error por dedondeo con la ultima cifra dada y resultante.

Precisión: Es el grado en el que repetidas mediciones de una misma cantidad dan como resultado valores similares. Es decir, describe la capacidad de un instrumento o sistema de proporcionar resultados consistentes.

No debe confundirse con la exactitud, que es el grado de proximidad entre una medición y el valor verdadero. Un sistema puede ser preciso (mediciones consistentes) pero no exacto (lejos del valor verdadero), y viceversa.

1. En ciencia e ingeniería, la exactitud es crucial, ya que indica la validez de las mediciones. Si un sistema es inexacto, las conclusiones basadas en sus mediciones pueden ser incorrectas, lo que puede llevar a decisiones erróneas.2. La calibración de los instrumentos de medición es una práctica clave para asegurar la exactitud. Al comparar y ajustar los instrumentos con estándares conocidos, se minimizan los errores sistemáticos que afectan la exactitud.

• Varía de una medición a otra y no es constante.
• Se distribuye de forma aleatoria y puede ser positivo o negativo.
• Puede reducirse haciendo un mayor número de mediciones y tomando la media.

Importancia de la IncertidumbreLa incertidumbre es un concepto crucial en ciencia, ingeniería y cualquier campo que implique mediciones, ya que comunica la fiabilidad de los resultados. Reportar la incertidumbre permite interpretar correctamente los datos y evita la falsa sensación de exactitud.Es fundamental para la toma de decisiones, ya que los datos sin un margen de incertidumbre pueden conducir a conclusiones erróneas.

El error relativo se utiliza para expresar la inexactitud en términos porcentuales o proporcionales:

Para evaluar la exactitud, se compara el valor medido con un valor de referencia o estándar conocido. El error absoluto es una forma simple de medir la inexactitud:

Reducción del SesgoReducir el sesgo es fundamental para mejorar la exactitud de las mediciones y estudios. Algunas maneras de reducir el sesgo incluyen:

• Calibración regular de los instrumentos.
• Diseño experimental adecuado.
• Recolección y análisis imparcial de los datos.
• Realización de pruebas ciegas o doble ciego.

Es un error que se repite de manera consistente en las mediciones, causando un desvío constante en una dirección particular (hacia arriba o hacia abajo). Este tipo de error no se debe al azar y es predecible.

Sesgo: Es un error sistemático que causa que las mediciones o estimaciones se desvíen de manera consistente del valor verdadero. Este error no se debe al azar, sino a factores constantes en el proceso de medición, como un instrumento mal calibrado, un método inapropiado o errores en el diseño experimental.

Incertidumbre: Es una estimación cuantitativa de la posible dispersión de los resultados de medición alrededor de un valor esperado. En otras palabras, es una indicación del grado de fiabilidad que podemos asignar a una medición o cálculo.

No indica necesariamente un error, sino que expresa el margen de confianza dentro del cual se encuentra el valor real.

Ejemplo: Si una balanza tiene un sesgo y siempre mide 0.5 kg de más, este error será constante en todas las mediciones.

Causa: Generalmente es causado por fallas en el diseño experimental, instrumentos mal calibrados, errores de procedimiento, o factores ambientales constantes.

Reducción de la IncertidumbreLa reducción de la incertidumbre es posible mejorando la precisión y exactitud de los instrumentos, haciendo más mediciones (lo que reduce la incertidumbre aleatoria) y mejorando las condiciones experimentales.Sin embargo, siempre habrá una cantidad irreducible de incertidumbre debido a la naturaleza del proceso de medición y las limitaciones tecnológicas.

Causa: Al representar números con una precisión limitada, como en el caso de los computadores que trabajan con números finitos de cifras decimales. Ejemplo: Si redondeamos el número 3.146 a 3.15, estamos introduciendo un pequeño error en la representación del número. (4 o menor al inferior, 5 o mayor al superior) Caracteristicas:

• Aumenta con el número de operaciones matemáticas realizadas.
• Es común en cálculos computacionales y matemáticos.

Donde son los valores medidos, es la media y 𝑁 es el número de mediciones.

La incertidumbre se expresa generalmente como un valor acompañado de un rango que indica el intervalo en el que, con un cierto nivel de confianza, se espera que esté el valor verdadero.Para la incertidumbre tipo A, se puede calcular a partir de la desviación estándar:Para la incertidumbre tipo B, se estima en función de la información proporcionada por el fabricante o mediante procedimientos de calibración.

Sesgo y Exactitud

• El sesgo reduce la exactitud de las mediciones, ya que desvía los resultados del valor verdadero. Aunque un sistema puede ser preciso (mediciones consistentes), si existe sesgo, el sistema no será exacto.
• El objetivo es eliminar o minimizar el sesgo para lograr tanto precisión como exactitud.

Ejemplo: Utilizar la aproximación π=3.14 en lugar del valor completo de 𝜋, introduce un error de aproximación.

Causa: Al utilizar aproximaciones en lugar de valores exactos para simplificar cálculos complejos.

El error de aproximación ocurre cuando se utiliza una aproximación en lugar del valor exacto en un cálculo. Este tipo de error es común en los métodos numéricos, donde se utilizan aproximaciones para resolver ecuaciones o representar funciones complejas.

Veracidad (Bias): Mide el sesgo de las mediciones, es decir, si los valores obtenidos tienden a ser consistentemente más altos o más bajos que el valor verdadero. Si un sistema tiene un alto sesgo, es inexacto.Precisión: Aunque la precisión y la exactitud son conceptos diferentes, la precisión contribuye a la exactitud, ya que un instrumento puede ser exacto y preciso al mismo tiempo si sus mediciones son consistentes y cercanas al valor verdadero.

El error de redondeo surge cuando los números se redondean a un número limitado de cifras significativas. Este error es común en los cálculos numéricos y puede acumularse cuando se realizan muchas operaciones matemáticas.

Por ejemplo, si el resultado de una medición es 5.00m±0.02m, esto significa que se espera que el valor verdadero esté entre 4.98 m y 5.02 m con un determinado nivel de confianza (generalmente 95%).También puede expresarse en términos relativos o porcentuales:

La incertidumbre de una medición se expresa típicamente de la siguiente manera:

Cifras significativas: Son todos los dígitos conocidos con certeza, más el primer dígito incierto en una medición.En otras palabras, reflejan el nivel de precisión con el que se conoce un valor.

Errores instrumentales: Debido a defectos o mala calibración de los instrumentos de medición. Errores personales: Causados por la forma en que el operador utiliza el equipo o interpreta los resultados. Errores de procedimiento: Ocasionados por un método incorrecto o inadecuado para realizar la medición.

Importancia de la Precisión1. En ciencia e ingeniería, la precisión es crucial, ya que ayuda a asegurar la fiabilidad de los resultados experimentales y mediciones. Si un proceso es impreciso, sus resultados son difíciles de reproducir y confiar.2. Instrumentos de medición con alta precisión son esenciales cuando se requiere consistencia en aplicaciones como la manufactura, los laboratorios y los sistemas de control.

• Pequeñas variaciones en la lectura de un voltímetro.
• Fluctuaciones en las condiciones ambientales durante el experimento (temperatura, presión, etc.).

Precisión repetida: Mide cuán consistentes son los resultados cuando se repite una medición varias veces en las mismas condiciones.Precisión intermedia: Se refiere a la variabilidad de las mediciones cuando se realizan en diferentes días, por diferentes operadores o con instrumentos diferentes, pero manteniendo el mismo proceso.

Ejemplos de Sesgo en la Ciencia e IngenieríaInstrumentos de medición: Un reloj que atrasa 5 minutos siempre dará una lectura incorrecta, aunque sea preciso en cuanto a mantener la misma diferencia en cada medición.Ensayos clínicos: Si los participantes en un estudio médico son seleccionados de manera que todos tienen características similares, los resultados pueden no ser aplicables a la población general.Encuestas: Si se realiza una encuesta de satisfacción de clientes solo entre aquellos que visitan una tienda físicamente, se puede introducir un sesgo al no considerar las opiniones de quienes compran en línea.

Exactitud: Es el grado de proximidad entre el valor medido y el valor verdadero de una cantidad. Un sistema exacto produce resultados que son correctos, es decir, están muy cerca del valor real, independientemente de si las mediciones son o no consistentes.

La exactitud no debe confundirse con la precisión. La precisión se refiere a la repetibilidad de las mediciones, mientras que la exactitud se refiere a cuán correctas son esas mediciones en relación con el valor real.