U4R1 Ecuaciones en diferencias

Carlos Alberto Delgado Ríos

Ecuaciones en diferencias

4.1 Ecuaciones en diferencias 4.2 Solución de una ecuación en diferencias

Optimización II

El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de solución general. Esta solución general presenta cierto número de parámetros, que pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales, dando lugar a las diferentes soluciones particulares. Llamamos orden de la ecuación, a la diferencia entre el mayor y el menor de los índices que afectan a y.

Llamamos ecuación en diferencias a una expresión del tipo

4.1 Ecuaciones en diferencias

La expresión es una ecuación en diferencias de orden t+2−t = 2, o de segundo orden. La ecuación en diferencias Yt+1 − Yt = 5, es de primer orden y tiene por solución general a todas las progresiones aritméticas de razón 5, es decir yt = y(t) =5t + C, siendo C una constante cualquiera. Una solución particular, es la progresión aritmética {1, 6, 11, 16, · · ·, 5t + 1, · · · }.

Vamos a construir el modelo que corresponde a la siguiente situación. Supongamos que una población de insectos crece el triple, en cada periodo de tiempo que transcurre entre dos medidas, de lo que creció en el periodo inmediatamente anterior. Si llamamos Yt al número de individuos en el instante t; del enunciado del ejemplo se deduce Yt+2 − Yt+1 = 3 (Yt+1 − Yt), t = 0, 1, 2, 3, · · · simplificando obtenemos Yt+2 – 4Yt+1 + 3Yt = 0 que es una ecuación en diferencias de segundo orden. Si por ejemplo, conocemos el número inicial de insectos, y0 = 100, podemos sustituir y obtendríamos Y2 − 4Y1 + 300 = 0

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4.2 Solución de una ecuación en diferencias

Una ecuación en diferencias lineal de primer orden es aquella que puede expresarse como P1 (t) Yt + 1 + P2 (t) Yt = q (t), donde Pi (t), i = 1, 2 y q (t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesión q(t) es nula, entonces la ecuación lineal recibe el nombre de ecuación homogénea asociada a. Cuando las funciones p1(t) y p2(t) son constantes, se dice que la ecuación lineal es de coeficientes constantes.

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Ejemplo 1

Supongamos que una determinada población de insectos con 100 individuos, duplica su número en cada generación, y que además, 10 nuevos individuos se incorporan en cada generación procedente de otro lugar. Vamos a construir una ecuación en diferencias que modele a esta situación y posteriormente la resolveremos. Del enunciado se deduce, Yt = 2Ytt-1 + 10, y0 = y(0) = 100 y1 = 2 × 100 + 10 y2 = 2(2 × 100 + 10) + 10 = 2 × 2 × 100 + 2 × 10 + 10 y3 = 2 × 2 × 2 × 100 + 2 × 2 × 10 + 2 × 10 + 10

FINAL

INICIO

Usamos las condiciones iniciales para encontrar C1 y C2

Solución Pasa el cursor sobre cada botón

Ejemplo 2

Sea la ecuación en diferencias Yt+2 – 2Yt+1 + Yt = 0, donde Yt representa a la cantidad de individuos en el año t. Si el número inicial de individuos es 2 y al cabo de un año es 5, ¿cuál será el valor de la población al cabo de 10 años?

y, en general, para cualquier periodo t, el proceso de iteración es elemental, es análogo a la solución de ecuaciones diferenciales simples por integración directa, pero sirve para señalar claramente la manera en que se genera una trayectoria de tiempo.

Ejemplo 3

Encuentre la solución de la ecuación en diferencias, suponiendo un valor inicial de Yo = 15. Para desarrollar el proceso iterativo es más conveniente usar la forma alternativa de la ecuación en diferencias, es decir, Yt+i = Yt + 2, A partir de esta ecuación, podemos deducir paso por paso que

Éstos pueden resumirse en la solución

yt+1 = 0.9yt

Nuevamente es más conveniente trabajar con la versión alternativa de

Ejemplo 4

Resuelva la ecuación en diferencias; esta vez, con un valor inicial no especificado

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Nota

Para el tema 1, pueden ingresar a esta página si necesitan verificar alguna fórmula:

Referencias

Este tipo de ecuaciones son muy interesantes en el estudio de dinámica de poblaciones. Suelen aparecer escritas como Yt+1 = p(t)Yt + q(t), donde p(t)Yt, representa el crecimiento de la población en el tiempo t y q(t) el número de individuos que en el tiempo t se incorporan a la población como consecuencia de la inmigración.

yt = 2 × · · · × 2 | {z } ×100 + 2 × · · · × 2 | {z } ×10 + 2 × · · · × 2 | {z } ×10 + · · · + 2 × 10 + 10 donde en el último de los pasos hemos utilizado la fórmula que nos da la suma de t términos de una progresión geométrica de razón 2. La solución es, por tanto, yt = 110 × 2^t − 10

• Subtema 4.2

Solución de una ecuación en diferenciasBibliografíahttps://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/matriciales/sistemas%20dinamicos.pdf

Referencias

• Subtema 4.1

Ecuaciones en diferenciasBibliografíahttps://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/matriciales/sistemas%20dinamicos.pdf