U4R1 Ecuaciones en diferencias

Ecuacionesen diferencias

Carlos Alberto Delgado Ríos

Optimización II

4.1 Ecuaciones en diferencias 4.2 Solución de una ecuación en diferencias

4.1 Ecuaciones en diferencias

Llamamos ecuación en diferencias a una expresión del tipo

El conjunto de todas las soluciones recibe el nombre de solución general. Esta solución general presenta cierto número de parámetros, que pueden determinarse a partir de las condiciones iniciales, dando lugar a las diferentes soluciones particulares.Llamamos orden de la ecuación, a la diferencia entre el mayor y el menor de los índices que afectan a y.

La expresión es una ecuación en diferencias de orden t+2−t = 2, o de segundo orden.La ecuación en diferencias Yt+1 − Yt = 5, es de primer orden y tiene por solución general a todas las progresiones aritméticas de razón 5, es decir yt = y(t) =5t + C, siendo C una constante cualquiera. Una solución particular, es la progresión aritmética{1, 6, 11, 16, · · ·, 5t + 1, · · · }.

Vamos a construir el modelo que corresponde a la siguiente situación. Supongamos que una población de insectos crece el triple, en cada periodo de tiempo que transcurre entre dos medidas, de lo que creció en el periodo inmediatamente anterior.Si llamamos Yt al número de individuos en el instante t; del enunciado del ejemplo se deduce Yt+2 − Yt+1 = 3 (Yt+1 − Yt), t = 0, 1, 2, 3, · · · simplificando obtenemosYt+2 – 4Yt+1 + 3Yt = 0que es una ecuación en diferencias de segundo orden. Si por ejemplo, conocemos el número inicial de insectos, y0 = 100, podemos sustituir y obtendríamos Y2 − 4Y1 + 300 = 0

Una ecuación en diferencias lineal de primer orden es aquella que puede expresarse como P1 (t) Yt + 1 + P2 (t) Yt = q (t), donde Pi (t), i = 1, 2 y q (t) son funciones en la variable discreta t. Si la sucesión q(t) es nula, entonces la ecuación lineal recibe el nombre de ecuación homogénea asociada a. Cuando las funciones p1(t) y p2(t) son constantes, se dice que la ecuación lineal es de coeficientes constantes.

4.2 Solución de una ecuación en diferencias

Info

Supongamos que una determinada población de insectos con 100 individuos, duplica su número en cada generación, y que además, 10 nuevos individuos se incorporan en cada generación procedente de otro lugar. Vamos a construir una ecuación en diferencias que modele a esta situación y posteriormente la resolveremos. Del enunciado se deduce,Yt = 2Ytt-1 + 10, y0 = y(0) = 100 y1 = 2 × 100 + 10 y2 = 2(2 × 100 + 10) + 10 = 2 × 2 × 100 + 2 × 10 + 10 y3 = 2 × 2 × 2 × 100 + 2 × 2 × 10 + 2 × 10 + 10

Ejemplo 1

Info

Sea la ecuación en diferencias Yt+2 – 2Yt+1 + Yt = 0, donde Yt representa a la cantidad de individuos en el año t.Si el número inicial de individuos es 2 y al cabo de un año es 5, ¿cuál será el valor de la población al cabo de 10 años?

Ejemplo 2

SoluciónPasa el cursor sobre cada botón

Usamos las condiciones iniciales para encontrar C1 y C2

INICIO

FINAL

Despejando la ecuación queda como r=1 donde C1 y C2 son constantes que se determinarán a partir de las condiciones iniciales

Lo podemos escribir como:

La ecuación queda como:

Para t = 0

Para t = 1 Sustituyendo C1 = 2 Queda C2 = 3

Ahora que tenemos C1 y C2, la solución particular es:

Para encontrar la Población al Cabo de 10 Años La población al cabo de 10 años será 32 individuos

Encuentre la solución de la ecuación en diferencias, suponiendo un valor inicial de Yo = 15. Para desarrollar el proceso iterativo es más conveniente usar la forma alternativa de la ecuación en diferencias, es decir, Yt+i = Yt + 2, A partir de esta ecuación, podemos deducir paso por paso que

Ejemplo 3

y, en general, para cualquier periodo t, el proceso de iteración es elemental, es análogo a la solución de ecuaciones diferenciales simples por integración directa, pero sirve para señalar claramente la manera en que se genera una trayectoria de tiempo.

Resuelva la ecuación en diferencias; esta vez, con un valor inicial no especificado

Ejemplo 4

Nuevamente es más conveniente trabajar con la versión alternativa de

yt+1 = 0.9yt

Éstos pueden resumirse en la solución

Para el tema 1, pueden ingresar a esta página si necesitan verificar alguna fórmula:

Nota

https://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/matriciales/sistemas%20dinamicos.pdf

Referencias

Este tipo de ecuaciones son muy interesantes en el estudio de dinámica de poblaciones. Suelen aparecer escritas como Yt+1 = p(t)Yt + q(t), donde p(t)Yt, representa el crecimiento de la población en el tiempo t y q(t) el número de individuos que en el tiempo t se incorporan a la población como consecuencia de la inmigración.

yt = 2 × · · · × 2 | {z } ×100 + 2 × · · · × 2 | {z } ×10 + 2 × · · · × 2 | {z } ×10 + · · · + 2 × 10 + 10donde en el último de los pasos hemos utilizado la fórmula que nos da la suma de t términos de una progresión geométrica de razón 2. La solución es, por tanto,yt = 110 × 2^t − 10

• Subtema 4.1

Ecuaciones en diferenciasBibliografíahttps://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/matriciales/sistemas%20dinamicos.pdf

Referencias

• Subtema 4.2

Solución de una ecuación en diferenciasBibliografíahttps://matema.ujaen.es/jnavas/web_recursos/archivos/matriciales/sistemas%20dinamicos.pdf