Sesión 6

Matemáticas para ingeniería

Lic. Ingeniería en Sistemas y Tecnologías de la Información Sesión 6

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Bienvenidos a la sesión 6 de nuestra materia Matemáticas para ingeniería.

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 6

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 6

Para comprender con más detalle los conceptos generales de la asignatura Matemáticas para Ingeniería I (Álgebra) necesario revisar los siguientes temas: 6. Espacios vectoriales con producto interno 6.1. Definición de producto interno 6.2. Propiedades de los espacios vectoriales con producto interno 6.3. Ortogonalidad y proyecciones ortogonales 6.4. Aplicaciones en la criptografía y seguridad informática 6.5. Aplicaciones en el análisis de señales y sistemas

Los espacios vectoriales con producto interno, también conocidos como espacios con producto escalar, juegan un papel fundamental. Estos espacios no solo permiten generalizar conceptos geométricos como la longitud y el ángulo a dimensiones superiores, sino que también son cruciales en diversas áreas de la matemática aplicada, la física, la ingeniería y la informática.Un espacio vectorial V sobre un campo F (donde F es típicamente R o C) es un conjunto dotado de dos operaciones: suma de vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen los siguientes axiomas:

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Espacios vectoriales con producto interno:

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Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de vectores: Para todo α ∈ F y u , v ∈ V, α(u+v) = αu+αv.

Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de escalares: Para todo α,β ∈ F y u ∈ V , (α+β) u = αu + βu.

Elemento neutro escalar: Para todo u ∈ V, 1u = u.

Asociatividad de la multiplicación escalar: Para todo α,β∈F y u ∈ V, α(βu) = (αβ)u.

Elemento opuesto: Para cada u ∈ V, existe un −u ∈ V tal que u + (−u) = 0

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Elemento opuesto: Para cada u ∈ V, existe un −u ∈ V tal que u + (−u) = 0.

Elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ V tal que u+0= u para todo u ∈ V.

Asociatividad de la suma: Para todo u, v, w ∈ V, u + (v + w) = (u + v ) + w

Conmutatividad de la suma: Para todo u, v ∈ V,u + v = v + u

Cierre bajo la suma: Para todo u, v ∈ V, U + v ∈ V.

Axiomas

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Producto Interno Neto (PIN)

Producto Nacional Bruto (PNB)

Producto Interno Bruto (PIB)

El Producto Interno Bruto (PIB) es una de las métricas más utilizadas y fundamentales en el análisis económico de cualquier país. Representa el valor total de todos los bienes y servicios producidos dentro de un país en un período específico, generalmente un año. Este indicador económico es crucial para entender el nivel de actividad económica y el crecimiento de una nación.

Definición de producto interno:

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Mide el desempeño económico

Atrae inversión extranjera

Define el nivel de vida

Guía la política económica

El PIB es una herramienta crucial para los economistas y los responsables de la formulación de políticas, ya que:

Importancia del PIB

PIB por el método del ingreso:

Se calcula sumando todos los ingresos recibidos por los factores de producción en el país, incluidos salarios, intereses, rentas y beneficios.

PIB por el método del gasto:

Suma el consumo privado, el gasto público, la inversión y las exportaciones netas.

PIB por el método de la producción:

Se calcula sumando el valor agregado de todas las industrias en el país.

El PIB puede medirse de tres maneras diferentes, aunque todas deben dar el mismo resultado:

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Modalidades del PIB

Un producto interno en un espacio vectorial V es una función ⟨⋅,⋅⟩: V × V → K que asigna a cada par de vectores (u,v) un escalar y cumple las siguientes propiedades:

⟨u,u⟩ ≥ 0 y ⟨u,u⟩ = 0 si y solo si u = 0 .

⟨αu+βv,w⟩ = α⟨u,w⟩ + β ⟨v,w⟩ para todos α, β ∈ K.

⟨u,v⟩ = ⟨v,u⟩ (donde la barra superior indica el complejo conjugado si K = C.

Positividad

Linealidad en la primera variable

Conmutatividad

Producto Interno

1. Cerradura bajo adición y multiplicación escalar.2. Asociatividad y conmutatividad de la adición.3. Existencia de un elemento neutro aditivo (el vector cero).4. Existencia de elementos inversos aditivos.4. Distribución de la multiplicación escalar sobre la adición de vectores y escalares.5. Asociatividad y existencia de un elemento neutro para la multiplicación escalar.

Un espacio vectorial V sobre un cuerpo K (comúnmente R o C es un conjunto de vectores que cumple las siguientes propiedades:

Espacio Vectorial:

Son una extensión significativa de los espacios vectoriales básicos, añadiendo una estructura que permite medir ángulos y longitudes. Esta estructura es fundamental en varias ramas de las matemáticas y la física, como el análisis funcional, la teoría de operadores y la mecánica cuántica.

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Propiedades de los espacios vectoriales con producto interno:

Dado un subespacio W de V y un vector v ∈ V, existe un único vector w ∈ W tal que v−w es ortogonal a W. El vector w se llama la proyección ortogonal de v en W.

Proyecciones Ortogonales:

Una base ortogonal de un espacio vectorial con producto interno es un conjunto de vectores ortogonales entre sí que generan todo el espacio. Si además cada vector de la base tiene norma uno, se llama base ortonormal. Estas bases simplifican enormemente los cálculos en el espacio vectorial.

Base Ortogonal:

La ortogonalidad y las proyecciones ortogonales son conceptos fundamentales en el estudio de los espacios vectoriales con producto interno. Estos conceptos no solo son esenciales para comprender la geometría de estos espacios, sino que también tienen aplicaciones cruciales en áreas como la optimización, la teoría de la señal, la mecánica cuántica y el análisis numérico.Dos vectores u y v se dicen ortogonales si ⟨u,v⟩ = 0 Esta propiedad es central en muchas aplicaciones, facilitando la descomposición de vectores y la simplificación de problemas geométricos y algebraicos.

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Ortogonalidad y proyecciones ortogonales:

Ortogonalidad: vi⋅vj=0 para i ≠ j Normalización: ∥vi∥ = 1 para todo i

Vi ⋅ Vj = 0

La ortogonalidad y las proyecciones ortogonales son conceptos fundamentales en el estudio de los espacios vectoriales con producto interno. Estos conceptos no solo son esenciales para comprender la geometría de estos espacios, sino que también tienen aplicaciones cruciales en áreas como la optimización, la teoría de la señal, la mecánica cuántica y el análisis numérico.Dos vectores u y v se dicen ortogonales si ⟨u,v⟩ = 0 Esta propiedad es central en muchas aplicaciones, facilitando la descomposición de vectores y la simplificación de problemas geométricos y algebraicos.

Base Ortonormal

Una base ortonormal es un caso especial de una base ortogonal en la que los vectores no solo son ortogonales, sino también unitarios. Es decir, los vectores tienen longitud 1. Formalmente, un conjunto de vectores {v1,v2,…,vn} es una base ortonormal si cumple con las siguientes dos propiedades:

Base Ortogonal

Una base ortogonal de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen la propiedad de ser mutuamente perpendiculares. Formalmente, un conjunto de vectores {v1,v2,…,vn} en un espacio vectorial V es una base ortogonal si y solo si para todo i ≠ j, se cumple que:

Ortogonalidad

La ortogonalidad es un concepto clave en álgebra lineal y geometría, que describe la relación entre dos vectores que se encuentran a 90 grados uno del otro, es decir, son perpendiculares. Esta relación tiene importantes implicaciones matemáticas, ya que los vectores ortogonales poseen varias propiedades que facilitan los cálculos y la comprensión de los espacios vectoriales.

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La criptografía es la ciencia y el arte de transformar datos para hacerlos incomprensibles a personas no autorizadas. Involucra técnicas matemáticas para asegurar la información y las comunicaciones. Los principales objetivos de la criptografía incluyen:

Criptografía:

No repudio

Autenticación

Integridad

Confidencialidad

En la era digital, la criptografía y la seguridad informática son fundamentales para proteger la confidencialidad, integridad y disponibilidad de la información. Con el aumento exponencial de la información digital y la interconexión global, las amenazas cibernéticas también han crecido, lo que ha llevado a un enfoque intensivo en la criptografía y otras técnicas de seguridad para salvaguardar datos sensibles.

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Aplicaciones en la criptografía y seguridad informática:

AES (Advanced Encryption Standard):

DES (Data Encryption Standard):

En la criptografía simétrica, el mismo clave se utiliza tanto para cifrar como para descifrar la información. Este tipo de criptografía es rápido y eficiente, pero plantea desafíos en cuanto a la gestión segura de las claves. Ejemplos de algoritmos de criptografía simétrica incluyen:

Tipos de Criptografía

La seguridad informática es la práctica de proteger sistemas, redes y programas de ataques digitales. Los objetivos principales de la seguridad informática son similares a los de la criptografía y se centran en proteger la información contra el acceso no autorizado, el uso indebido, la divulgación, la destrucción, la modificación o la interrupción.

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Seguridad Informática:

La criptografía de hash genera un valor fijo a partir de datos de cualquier tamaño, creando un "resumen" que representa los datos originales. Las funciones hash son fundamentales para garantizar la integridad de los datos y para la creación de firmas digitales. Ejemplos incluyen:

La criptografía asimétrica utiliza un par de claves: una clave pública para cifrar y una clave privada para descifrar. Este método facilita la gestión de claves, ya que la clave pública puede distribuirse libremente mientras que la clave privada se mantiene en secreto. Ejemplos de algoritmos de criptografía asimétrica incluyen:

ECC:

RSA:

MD5:

SHA-256:

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Lineales vs. No lineales

Causal vs. No causal

Tiempo-invariante vs. Tiempo-variante

Sistema

Un sistema es una entidad que recibe una señal de entrada y produce una señal de salida. Los sistemas pueden ser clasificados como:

Determinísticas vs. Aleatorias

Analógicas vs. Digitales

Continuas vs. Discretas

Señal

Una señal es una función que transmite información sobre el comportamiento o las características de algún fenómeno. Las señales pueden ser clasificadas de varias maneras:

Aplicaciones en el análisis de señales y sistemas:

Es una rama fundamental de la ingeniería y las ciencias aplicadas que se ocupa de la representación, transformación y manipulación de señales. Estas señales pueden ser de diferentes tipos, como eléctricas, acústicas, biomédicas o imágenes. Los sistemas, por otro lado, son dispositivos o algoritmos que procesan estas señales. Las aplicaciones del análisis de señales y sistemas son vastas, abarcando desde las telecomunicaciones y el procesamiento de audio hasta la ingeniería biomédica y el control de sistemas.

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Recuperado de: https://elibro.net/es/lc/udibiblioteca/titulos/238416

Consulta el Tema 8 Espacios vectoriales. Página 369-457.

• Rodríguez Vallejo, Ramón, Gloria. (2023). Álgebra 1, Editorial Tébar Flores,

Recursos bibliográficos

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Consutla todo el documento.

Recuperado de: https://drive.google.com/file/d/18UL7fUq8GPSkaqFVDtlKnU-_eSEHNyBS/view?usp=sharing

• Jerónimo, (s.f). Espacios vectoriales con producto interno, Universidad de Buenos Aires.

Recursos bibliográficos

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Recuperado de: https://www.youtube.com/watch?v=aLJMEfv1JME

Tutoriales de Arquitectura, (2017, 03 MAYO), Proyección Ortogonal. [Video]. YouTube.

Un algoritmo de cifrado simétrico que fue ampliamente utilizado, aunque ahora se considera inseguro debido a su clave corta.

Las señales analógicas tienen un rango continuo de valores, mientras que las señales digitales tienen valores discretos.

Analógicas vs. Digitales

Las señales determinísticas son completamente predecibles, mientras que las señales aleatorias contienen algún grado de incertidumbre.

Determinísticas vs. Aleatorias

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Los sistemas lineales obedecen el principio de superposición, mientras que los sistemas no lineales no lo hacen.

Lineales vs. No lineales

Los gobiernos y bancos centrales utilizan el PIB para tomar decisiones sobre políticas fiscales y monetarias.

Guía la política económica

Un PIB alto y en crecimiento puede atraer inversión extranjera directa, ya que sugiere una economía robusta y en expansión.

Atrae inversión extranjera

Una función hash que fue ampliamente utilizada pero que ahora se considera insegura.

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Los sistemas tiempo-invariantes tienen propiedades que no cambian con el tiempo, mientras que los sistemas tiempo-variantes tienen propiedades que sí cambian con el tiempo.

Tiempo-invariante vs. Tiempo-variante

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Dividir una imagen en regiones o segmentos significativos para facilitar su análisis.

Una función hash segura utilizada en una variedad de aplicaciones, incluida la tecnología blockchain.

(Elliptic Curve Cryptography): Un método de criptografía asimétrica que ofrece alta seguridad con claves más cortas.

Aunque no mide directamente el bienestar de la población, un PIB per cápita alto generalmente indica un nivel de vida más alto.

Define el nivel de vida

El PIN se deriva del PIB restándole la depreciación del capital, es decir, el desgaste de los activos productivos utilizados en la producción.

Las señales continuas están definidas para todos los tiempos, mientras que las señales discretas están definidas solo en instantes específicos.

Continuas vs. Discretas

Según el Fondo Monetario Internacional (FMI), el PIB es el valor monetario de todos los bienes y servicios finales producidos dentro de las fronteras de un país en un período de tiempo determinado. Incluye el consumo privado, el gasto del gobierno, las inversiones y las exportaciones netas (exportaciones menos importaciones).

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Los sistemas causales dependen solo de entradas presentes y pasadas, mientras que los sistemas no causales pueden depender de entradas futuras.

Causal vs. No causal

El proceso de captura de imágenes utilizando dispositivos como cámaras digitales, escáneres y sensores.

A diferencia del PIB, el PNB incluye los ingresos obtenidos por los residentes de un país, tanto dentro como fuera de sus fronteras. Es decir, suma los ingresos recibidos del exterior y resta los ingresos enviados al exterior.

Identificación y extracción de características importantes de la imagen, como bordes, formas y texturas.

Ofrece una instantánea de la salud económica de un país, permitiendo comparaciones interanuales y entre diferentes naciones.

Mide el desempeño económico

Un algoritmo de cifrado simétrico que es el estándar actual y se considera muy seguro.

Un algoritmo de cifrado asimétrico ampliamente utilizado para la transmisión segura de datos.

Técnicas para mejorar la calidad de las imágenes, incluyendo filtrado, corrección de color y eliminación de ruido.