Sesión 5

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Lic. Ingeniería en Sistemas y Tecnologías de la InformaciónSesión 5

Matemáticas para ingeniería

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 5

Bienvenidos a la sesión 5 de nuestra materia Matemáticas para ingeniería.

Para comprender con más detalle los conceptos generales de la asignatura Matemáticas para Ingeniería I (Álgebra) es necesario revisar los siguientes temas:5. Valores y vectores propios 5.1. Concepto de valores y vectores propios 5.2. Diagonalización de matrices 5.3. Aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales 5.4. Aplicación en la comprensión y procesamiento de imágenes digitales

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 5

Valores y vectores propios:

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En el ámbito del álgebra lineal, los conceptos de valores y vectores propios juegan un papel crucial en la comprensión y solución de numerosos problemas matemáticos y aplicaciones prácticas en diversas disciplinas, desde la física y la ingeniería hasta la economía y las ciencias de la computación.

Concepto de valores y vectores propios:

Los valores y vectores propios se definen en el contexto de una transformación lineal. Dada una matriz cuadrada A de dimensión n×n un vector no nulo v se denomina vector propio de A si existe un escalar λ tal que:

A v = λ vAquí, λ es el valor propio correspondiente a v. En otras palabras, aplicar la matriz A al vector v solo cambia la escala del vector, pero no su dirección. Esto lleva a la ecuación característica:det⁡ (A−λI) = 0 donde I es la matriz identidad de la misma dimensión que A. La solución de esta ecuación da los valores propios λ, y para cada λ, los vectores v que satisfacen la ecuación original son los vectores propios.

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 5

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Propiedades de Valores y Vectores Propios: Los valores y vectores propios tienen varias propiedades importantes que son útiles en teoría y aplicaciones:

Escalarización

Estabilidad

Ortogonalidad

Invariancia

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Diagonalización de matrices:

Es un concepto fundamental en el álgebra lineal que permite simplificar el análisis y la manipulación de matrices. Este proceso transforma una matriz cuadrada en una forma diagonal, lo que facilita la resolución de diversos problemas matemáticos y prácticos. La diagonalización tiene aplicaciones significativas en áreas como la física, la ingeniería, la economía y la informática, donde las matrices desempeñan un papel crucial en la modelización y resolución de sistemas complejos.La diagonalización de una matriz consiste en encontrar una matriz diagonal D y una matriz invertible P tales que:A = PDP −1donde A es la matriz original. La matriz D es diagonal y contiene los valores propios de A en su diagonal principal, mientras que las columnas de la matriz P son los vectores propios correspondientes a esos valores propios.

No todas las matrices pueden ser diagonalizadas. Para que una matriz A sea diagonalizable, debe cumplir las siguientes condiciones:

Condiciones para la Diagonalización:

Existencia de n Vectores Propios Linealmente Independientes

Multiplicidad Algebraica y Geométrica

Proceso de Diagonalización:

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Para diagonalizar una matriz, se sigue un proceso sistemático que incluye los siguientes pasos:

Encontrar los Valores Propios

Determinar los Vectores Propios:

Formar la Matriz P

Construir la Matriz Diagonal D

Verificar la Diagonalización

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Aplicación en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales:

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Es una tarea fundamental en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería. Estas ecuaciones modelan una variedad de fenómenos naturales y procesos industriales, desde la dinámica de poblaciones biológicas hasta la ingeniería de control y la mecánica cuántica. Sin embargo, resolver sistemas de ecuaciones diferenciales puede ser un desafío, especialmente cuando se trata de sistemas acoplados o no lineales.Una de las herramientas más poderosas para abordar estos problemas es la diagonalización de matrices. Este enfoque permite simplificar la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales convirtiéndolos en sistemas más manejables.

Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones que relacionan funciones desconocidas y sus derivadas. En términos generales, un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) puede expresarse como:y′ (t) = Ay (t) + b (t)donde y(t) es un vector de funciones desconocidas, A es una matriz de coeficientes, y b(t) es un vector de términos no homogéneos.

Sistemas de Ecuaciones Diferenciales

Un sistema lineal homogéneo de ecuaciones diferenciales se puede escribir como:y′ ( t ) = Ay (t) Este tipo de sistema no incluye el término b(t) y es fundamental en el estudio de sistemas dinámicos.

Sistemas Lineales Homogéneos

Los sistemas no lineales de ecuaciones diferenciales incluyen términos que son funciones no lineales de las variables dependientes y sus derivadas. Estos sistemas son más complejos y generalmente requieren métodos numéricos para su solución.

Sistemas No Lineales

Aplicación en la comprensión y procesamiento de imágenes digitales:

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Es una rama de la ciencia computacional que se ocupa de la manipulación y análisis de imágenes digitales mediante algoritmos y técnicas matemáticas. Este campo ha experimentado un crecimiento significativo debido a su amplia gama de aplicaciones en diversas industrias, incluyendo la medicina, la seguridad, la comunicación y el entretenimiento. Desde la mejora de imágenes hasta el reconocimiento de patrones y la visión por computadora, las técnicas de procesamiento de imágenes digitales son fundamentales para transformar datos visuales en información útil.

Adquisición de Imágenes

Preprocesamiento de Imágenes

Segmentación de Imágenes

Extracción de Características

Reconocimiento de Patrones

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Componentes del Procesamiento de Imágenes

Recursos bibliográficos

• Gregori Gregori, Valentín - Roig Sala, Bernardino - Estruch Fuster, Vicent,2017, Algebra matricial, Editorial de la Universidad Politécnica de Valencia.

Consulta el Capitulo 9. Paginas 179-185.

Recuperado de: https://elibro.net/es/ereader/udibiblioteca/57450

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Recursos bibliográficos

• Aherrera, 2014, Valores y Vectores Propios,

Recuperado de: https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/25a.-VECTORES-Y-VALORES-PROPIOS-DIAGONALIZACION.pdf

Consutla todo el documento.

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MateFácil, (2020, 7 Junio) Diagonalización de Matrices en 4 pasos: Explicación completa. [Video]. YouTube.

Recuperado de:https://www.youtube.com/watch?v=-duROaTigUE

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En el caso de matrices simétricas, los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales entre sí. Esta propiedad es útil en la diagonalización y descomposición espectral de matrices.

Los valores propios permiten descomponer una matriz en una forma más simple mediante la diagonalización, lo cual es útil para realizar cálculos como potencias de matrices y exponenciales de matrices.

La matriz D se construye colocando los valores propios de A en su diagonal principal. El orden de los valores propios en D debe corresponder al orden de los vectores propios en P.

Para encontrar los valores propios de una matriz A, se resuelve la ecuación característica:det⁡(A−λI) =0 donde λ representa los valores propios y I es la matriz identidad del mismo orden que A.

Los vectores propios de una matriz A permanecen inalterados en su dirección bajo la transformación lineal representada por A.

Una vez que se han encontrado los valores propios, se determina los vectores propios correspondientes. Para cada valor propio λ, se resuelve el sistema de ecuaciones:(A−λI) v = 0para encontrar los vectores propios v.

Los valores propios pueden determinar la estabilidad de un sistema dinámico. Si todos los valores propios de una matriz tienen parte real negativa, el sistema es estable.

La matriz P se forma colocando los vectores propios de A como columnas de P. Es importante que estos vectores sean linealmente independientes para que P sea invertible.

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Dividir una imagen en regiones o segmentos significativos para facilitar su análisis.

Finalmente, se verifica que A= PDP −1 Esto asegura que la diagonalización se ha realizado correctamente.

Uso de algoritmos para identificar y clasificar objetos o patrones dentro de la imagen.

Una matriz cuadrada de orden n es diagonalizable si tiene n vectores propios linealmente independientes.

El proceso de captura de imágenes utilizando dispositivos como cámaras digitales, escáneres y sensores.

Para cada valor propio de A, su multiplicidad geométrica (el número de vectores propios linealmente independientes asociados) debe ser igual a su multiplicidad algebraica (el número de veces que el valor propio aparece como raíz de la ecuación característica).

Identificación y extracción de características importantes de la imagen, como bordes, formas y texturas.

Técnicas para mejorar la calidad de las imágenes, incluyendo filtrado, corrección de color y eliminación de ruido.