CALCULO DIFERENCIAL

MATERIACALCULO DIFERENCIAL

INSTITUTO TECNOLOGICO DE LERMA

ALUMNA MARIA ISABEL COUOH MAYDOCENTEEDUARDO ANTONIO MENA CALDERON

ALUMNAMARIA ISABEL COUOH MAYDOCENTEEDUARDO ANTONIO MENA CALDERON

UNIDAD1-FUNCIONES

1.12-funcion inversa

1.1 - Los números reales y sus subconjuntos

1.13-la funcion implicita

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1.10 - Funciones pares, impares y ni par ni impar

1.11-funcion inyectiva,suprayectiva y biyectivA

1.15 Modelación de fenómenos como fisicos,quimicos,economicos como funciones

1.14-formulacion de funciones como modelos matematicos en diferentes contextos

1.12-intervalos en los reales y su representacion grafica

1.3definiciones basicas: variable( variable e independiente) relacion, funcion, dominio y rango

transformaciones rigidas y no rigidas

operaciones con funciones: adicion , sustraccion, multiplicacion, divicion y composicion

funciones definidas por partes

funciones trascendentes: trigonometricas, logaritmicas y exponenciales

funciones algebraicas: polinomiales y racionales

funcion real de variable real y sus distintas representaciones( analitica,numerica, grafica y verbal)

1.3definiciones basicas: variable( variable e independiente) relacion, funcion, dominio y rango

transformaciones rigidas y no rigidas

operaciones con funciones: adicion , sustraccion, multiplicacion, divicion y composicion

funciones definidas por partes

funciones trascendentes: trigonometricas, logaritmicas y exponenciales

funciones algebraicas: polinomiales y racionales

funcion real de variable real y sus distintas representaciones( analitica,numerica, grafica y verbal)

LOS NUMEROS REALES Y SUS SUBCONJUNTOS

Los subconjuntos de los números reales son los números naturales, los números enteros, los números racionales y los números irracionales . Estos subconjuntos se definen de la siguiente manera: Los números naturales son el conjunto de los números contables. Es decir, los números naturales son el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, . . .}.

El conjunto de los números reales está formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.

FUNCIONES PARES, IMPARES Y NI PAR NI IMPAR

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Una función es par si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = f ( x ). Las funciones pares tienen simetría reflectiva a través del eje de las y . Un función es impar si, para cada x en el dominio de f , f (– x ) = – f ( x ). Las funciones impares tienen simetría rotacional de 180º con respecto del origen.

PARES,IMPARES

Si el dígito de las unidades de un número dado es par, entonces ese número se considera par. Si el dígito de las unidades de un número dado es impar, entonces ese número se considera impar.

Una función f(x) en la que f(x) ≠ f(−x) y −f(x) ≠ f(−x) para cualquier valor de x no es una función par ni una función impar. Gráficamente, estas funciones no son simétricas respecto del origen ni respecto del eje y.

NI PAR NI IMPAR

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FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

Una función es una relación entre dos conjuntos en la que a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto En la definición formal de función se da el conjunto inicial, denominado dominio, el conjunto final, denominado codominio, y la regla de correspondencia entre ellos. Por ejemplo, en:El dominio es el conjunto de los números naturales,ℕ , el codominio es el conjunto de los números reales, ℝ ,y la regla de correspondencia es

El conjunto imagen o recorrido de la función es el subconjunto del codominio formado por los valores que realmente toma la función, una vez se aplica a los elementos del conjunto inicial o dominio. En el caso del ejemplo anterior sería el subconjunto de los reales y que se obtienen al aplicar, a cada número natural n, y=πn.

Dominio, codominio y recorrido de una función En la función de nuestro ejemplo, el dominio es el conjunto formado por todos los números naturales. Aunque en ocasiones se confunden, observa la diferencia entre el codominio, formado por todos los reales, y el recorrido, un subconjunto de este cuyos valores cumplen la regla de correspondencia. En una función real de variable real el dominio y el codominio (y por tanto el recorrido) son subconjuntos de los números reales

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Funciones inyectivas Una función es inyectiva cuando no hay dos elementos del dominio que tengan la misma imagen. Formalmente: decir, para cualesquiera dos elementos a y b, pertenecientes al dominio de la función Domf, si sus imágenes f(a) y f(b) son iguales, los elementos son necesariamente iguales.

Funciones sobreyectivas Una función es sobreyectiva, también llamada suprayectiva o exhaustiva, cuando el codominio y el recorrido coinciden. Formalmente:Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe otro elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f. Las funciones reales son sobreyectivas cuando Recf=ℝ, ya que, por definición, en ellas Codf=ℝ.

Funciones biyectivas Una función es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Formalmente: Es decir, para cualquier elemento y del codominio existe un único elemento x del dominio tal que y es la imagen de x por f.

FUNCION INYECTIVA, SUPRAYECTIVA Y BIYECTIVA

FUNCION INVERSA

LA FUNCION INVERSA ´ Existen diferentes definiciones de funcion inversa, aunque el concepto matem ´ atico es el mismo. Expon- ´ dremos aqu´ı tres de ellas, para efectos formales, ya que para hallar la inversa de una funcion no se requiere ´ la utilizacion de la definicion

DEFINICION 1 Si R es una relacion, la relacion´ R∗ definida por la proposiciones

(a, b) ∈ R ←→ (b, a) ∈ R ∗ y (a, b) ∈ R ∧ (c, b) ∈ R −→ a = c es llamada la inversa de R.

Es decir, la inversa de una relacion´ R es la relacion´ R∗ que se obtiene intercambiando las componentes de cada una de los pares ordenados de R. Deducimos de esta definicion que el dominio de ´ R es el codominio de R∗ y que el codominio de R es el dominio de R∗ . Tomemos a R = f y a R∗ = f −1 , en esta definicion

DEFINICION 2 Sea la funcion directa ´ f : X −→ Y , inyectiva y de ambito Y. Se dice ´ que f es invertible si existe una funcion´ f −1 : Y −→ X, llamada funcion inversa y cumple con la siguiente condici ´ on:

(f ◦ f −1 ) = f[f −1 (x)] = x, ∀ x ∈ Y y (f −1 ◦ f) = f −1 [f(x)] = x, ∀ x ∈ X

Esta definicion usa el concepto de composici ´ on de funciones tanto por la izquierda como por la derecha, a ´ saber uno de ellos es: [f ◦ f −1 ](x) = IX(x) = x.

DEFINICI´ON 3 Sea la funcion´ f : X −→ Y , ambos conjuntos no vac´ıos. Si f(x) = y entonces f −1 (y) = x; ∀ x en el dominio de f ∧ ∀ y en el dominio de f −1 . Esto en diagramas de Venn-Euler se representa como

Esta ultima definici ´ on es m ´ as apta para secundaria mientras que los dos primeras se usan m ´ as a nivel uni- ´ versitario, para hacer demostraciones matematicas

QUE ES?

EJEMPLO

FUNCION IMPLICITA

Comprender la función implícita Una función implícita, como su nombre indica, es una función que se define implícitamente en lugar de explícitamente. A diferencia de una función explícita, en la que la variable dependiente se define claramente como función de la variable independiente, una función implícita incorpora las relaciones entre las variables dentro de una ecuación. Este concepto fundamental, aunque aparentemente abstracto, sustenta muchas áreas de las matemáticas y la ingeniería.

DEFINICIONDefinición simple: Una función implícita es un tipo de función en la que la variable dependiente no puede separarse explícitamente de la(s) variable(s) independiente(s).

Definición y fundamentos de la función implícita En términos más formales, una función implícita es una función en la que las variables x e y están entrelazadas de tal manera que no puedes expresar explícitamente y como función de x. En su lugar, la relación entre x e y es "implícita".

El método más habitual para tratar las funciones implícitas es el método de la diferenciación implícita. Este método consiste en diferenciar ambos lados de la ecuación con respecto a la variable independiente y, a continuación, resolver la derivada de la variable dependiente.

FORMULACION DE FUNCIONES COMO MODELOS MATEMATICOS EN DIFERENTES CONTEXTOS

Un Modelo Matemático: es una expresión o función matemática usada para describir una situación u objeto real. Un Modelo Lineal es un modelo que usa una función lineal para representar una situación que incluya una tasa de cambio constante. El gráfico de una ecuación lineal es una línea recta

La formulación del modelo matemático fue diseñado utilizado la técnica de programación lineal, el cual describió de una manera natural el modelo a través de una función objetivo y un conjunto de restricciones, facilitando así la identificación de las variables de decisión involucradas en el problema.

¿Cuáles son los tipos de modelos matemáticos? Tipos de modelos matemáticos | 1 Tipos de modelos matemáticos Empíricos o teóricos. El carácter empírico o teórico constituye la característica fundamental de un modelo. ... Estocásticos o deterministas. ... Estáticos o dinámicos. ... Agregados o distribuidos.

MODELACION DE FENOMENOS (FISICOS, QUIMICOS,ECONOMICOS) COMO FUNCIONES

Modelar fenómenos físicos, químicos y económicos como funciones implica representar estos fenómenos mediante ecuaciones matemáticas que describan sus comportamientos y relaciones. Aquí te doy un resumen de cómo se realiza este proceso en cada uno de estos campos: Fenómenos Físicos 1. Movimiento: Cinemática: La posición 𝑥 ( 𝑡 ) x(t) de un objeto en movimiento puede ser modelada como una función del tiempo. Por ejemplo, en el caso de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, la posición puede ser modelada como:

x(t)=x 0 ​ +v 0 ​ t+ 2 1 ​ at 2 donde 𝑥 0 x 0 ​ es la posición inicial, 𝑣 0 v 0 ​ es la velocidad inicial, y 𝑎 a es la aceleración.

2. Leyes de la Termodinámica: Ley de los Gases Ideales: La presión 𝑃 P, el volumen 𝑉 V, y la temperatura 𝑇 T están relacionadas por: 𝑃 𝑉 = 𝑛 𝑅 𝑇 PV=nRT donde 𝑛 n es la cantidad de sustancia y 𝑅 R es la constante de los gases ideales

3. Oscilaciones y Ondas: Oscilador Armónico Simple: La posición 𝑥 ( 𝑡 ) x(t) de un oscilador armónico puede ser modelada por: 𝑥 ( 𝑡 ) = 𝐴 cos ⁡ ( 𝜔 𝑡 + 𝜙 ) x(t)=Acos(ωt+ϕ) donde 𝐴 A es la amplitud, 𝜔 ω es la frecuencia angular, y 𝜙 ϕ es la fase inicial.

Fenómenos Químicos 1. Cinética Química: Ley de Velocidades: La velocidad de una reacción química puede ser modelada como: 𝑣 = 𝑘 [ 𝐴 ] 𝑚 [ 𝐵 ] 𝑛 v=k[A] m [B] n donde 𝑣 v es la velocidad de la reacción, 𝑘 k es la constante de velocidad, y [ 𝐴 ] [A] y [ 𝐵 ] [B] son las concentraciones de los reactivos.

2. Equilibrio Químico: Constante de Equilibrio: En un sistema en equilibrio, la constante de equilibrio 𝐾 K para una reacción general:

3. Ley de Henry: Solubilidad de Gases: La solubilidad de un gas en un líquido puede ser modelada por: 𝐶 = 𝑘 𝐻 𝑃 C=k H ​ P donde 𝐶 C es la concentración del gas en el líquido, 𝑘 𝐻 k H ​ es la constante de Henry, y 𝑃 P es la presión del gas sobre el líquido.

Fenómenos Económicos 1. Oferta y Demanda: Curvas de Oferta y Demanda: La cantidad demandada 𝑄 𝑑 Q d ​ y la cantidad ofrecida 𝑄 𝑠 Q s ​ de un bien pueden ser funciones del precio 𝑃 P:

2. Crecimiento Económico: Modelo de Solow: La producción total 𝑌 Y en una economía puede ser modelada por una función de producción como: 𝑌 = 𝐴 𝐾 𝛼 𝐿 1 − 𝛼 Y=AK α L 1−α donde 𝐴 A es el nivel de tecnología, 𝐾 K es el capital, 𝐿 L es el trabajo, y 𝛼 α es la elasticidad del producto respecto al capital.

3. Valor del Dinero en el Tiempo: Valor Futuro y Presente: La relación entre el valor presente 𝑃 𝑉 PV y el valor futuro 𝐹 𝑉 FV del dinero con una tasa de interés 𝑟 r y un período de tiempo 𝑡 t es:

Estos son solo algunos ejemplos de cómo los fenómenos en física, química y economía pueden ser modelados utilizando funciones matemáticas. Cada campo tiene una amplia variedad de modelos y ecuaciones que se pueden aplicar dependiendo del fenómeno específico que se esté estudiando.

INTERVALOS EN LOS REALES Y SU REPRESENTACION GRAFICA

DEFINICIONES BASICAS: variable( dependiente e indenpendiente) RELACION, FUNCION, DOMINIO Y RANGO

A menos que se indique lo contrario, el dominio o conjunto de valores de "entrada" está representado por la variable "x", mientras que el conjunto de valores de "salida" está representado por la variable "y". La variable de dominio (x) se denomina variable independiente. La variable de rango (y) se denomina variable dependiente.

FUNCION REAL DE VARIABLE REAL Y SUS DISTINTAS REPRESENTACIONES( ANALITICA,NUMERICA,GRAFICA Y VERBAL)

FUNCIONES ALGEBRAICAS: POLINOMIALES Y RACIONALES

Funciones algebraicas: Función polinomial, racional e irracional Funciones polinómicas: Aquellas funciones cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio todo el conjunto de los números reales: R, puesto que a partir de una expresión polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”. Son funciones polinómicas: La recta (función lineal o afín), la parábola (función de segundo grado) y los polinomios de grado superior.

Función racional: Para calcular el dominio de este tipo de funciones el primer paso es igualar el denominador a cero y resolver esa ecuación, una vez resuelta esa ecuación el dominio estará formado por todos los reales excepto las soluciones de la ecuación.

FUNCIONES TRASCENDENTES: TRIGONOMETRICAS, LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES

¿Qué son las funciones trascendentes trigonométricas, logarítmicas y exponenciales? Las funciones trascendentes son aquellas que no se pueden expresar como combinación de funciones algebraicas. Dentro de ellas se encuentran las funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.), logarítmicas (logaritmo neperiano, logaritmo base 10, etc.) y exponenciales (exponencial natural, exponencial base a, etc.). Estas funciones son fundamentales en el estudio y aplicación de las matemáticas, ya que permiten modelar y resolver diversos problemas de la vida real.

Estas funciones son aquellas que no pueden ser expresadas como una combinación finita de operaciones algebraicas y funciones elementales. Su estudio es fundamental para comprender diversos fenómenos y modelos matemáticos en diferentes contextos.

FUNCIONES DEFINIDAS POR PARTES

Las funciones definidas por secciones son aquellas en las que hay dos o más intervalos de valores y para cada uno de ellos hay una regla de correspondencia diferente.

OPERACIONES CON FUNCIONES: ADICION, SUSTRACCION, MULTIPLICACION, DIVICION, COMPOSICION

TRANSFORMACIONES RIGIDAS Y NO RIGIDAS