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MATERIA: Calculo Diferencial

DOCENTE:Eduardo Antonio Mena Calderon

NOMBRE: Airam Ixchel Zetina Caballero

cOmpetencia 1

Numeros reales

Los números reales, denotados como (R) , incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales.

numeros racionales

Numeros irracionales

Un número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción pq , donde p y q son enteros, con q diferente de cero y donde esta fracción es irreducible. Así un irracional es cualquier número real que no es racional.

Un número q se dice que es racional si se puede escribir como la división de dos números enteros ab con b distinto de cero, Algunos representantes de estos números son 5=51,34,1216,999888… Al conjunto de números racionales se le identifica con la letra Q .

numero entero

El conjunto de los números enteros, está formado por todos los naturales agregándoles los números negativos y el cero, algunos representantes de los números enteros son; …−5,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,5… Para referirnos al conjunto de números enteros, usamos la letra Z .

numero natural

Un número natural, es aquel que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto; los integrantes de este conjunto son: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,… Al conjunto de los números naturales usualmente lo denotamos con la letra N

• Numeros Naturales
• Numeros Enteros
• Numero Racionales
• Numeros Irracionales
• Numeros Reales

NUMEROS reales Y SUS subCONJUNTOS

que son números primos de la forma 4n+1 . El conjunto de los números primos pitagóricos es exactamente el conjunto de los números primos que representan la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con magnitudes enteras en sus catetos. Algunos números pitagóricos son: 5,13,17,29,37,41,53,61,73,89,97,101,109,113,…

que son los números naturales mayores que 1 y que tiene únicamente dos divisores, él mismo número y el 1. Ejemplos de estos números son: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,…

Ejemplos de estos números son: 1,3,6,10,15,21,28…

que son de la forma n2+n 2 donde n es un número natural

son los números naturales que son iguales a la suma de sus divisores propios positivos, sin incluirse él mismo

numeros pitagoricos

numeros primos

numeros perfectos

numeros triangulares

conjuntos

Numero Natuares

son los números enteros que se pueden escribir de la forma: 2k+1 , donde k es un entero. Ejemplos de estos números son: −137,−33,−19,−11,−3,−1,1,2,23,201

es un número entero que se puede escribir de la forma: 2k , donde k es un entero (los números pares son los múltiplos del número 2 ). Ejemplos de estos números son: −100,−50,−20,−10,−2,0,2,4,8,200

Numeros Pares

Numeros Impares

subconjuntosde los numeros enteros

son los números enteros que se pueden escribir de la forma: 2k+1 , donde k es un entero. Ejemplos de estos números son: −137,−33,−19,−11,−3,−1,1,2,23,201

f(x)=sinx

f(x)=x2+4

f(x)=lnx,x≥0

No tiene paridad, dado que f(−x)=ln(−x) y esta función no está definida para valores negativos; por lo tanto, es diferente de f(x) y también de −f(x) .

IMPAR: f(−x)=sin(−x)=−sinx=−f(x) .

PAR: f(−x)=(−x)2+4=x2+4=f(x)

Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad, satisfacen un conjunto de relaciones particulares de simetría, con respecto a los ejes cartesianos. Las funciones pares e impares son importantes en muchas áreas del análisis matemático, especialmente en la teoría de las series de potencias y series de Fourier.

Funciones Pares, Impares Y Ni Par Ni Impar

Una función deja de ser inyectiva si dos elementos del dominio se relacionan con uno del contradominio. Una función es suprayectiva si la imagen es igual al contradominio.

f(x)=5

No es inyectiva: todos los elementos del dominio están relacionados con el 5 ; tampoco es suprayectiva, pues el rango está formado por el 5 y el contradominio es todo R . Por lo tanto, no es biyectiva.

g(x)=x

Es inyectiva: cualesquiera dos números reales distintos en el dominio tienen resultados diferentes en el contradominio; también es suprayectiva , pues los resultados cubren a todo R y, en consecuencia, es biyectiva.

f(y)=y√Y

Es inyectiva: observemos que se consideran únicamente los resultados positivos de la raíz, en caso contrario no sería función; no es suprayectiva, pues el rango no cubre a los números reales negativos. No es biyectiva.

Una función es inyectiva o función 1 a 1 , si cada elemento distinto del dominio esta relacionado con uno diferente del codominio. Una función es suprayectiva si todos los elementos del codominio están relacionados. Una función es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva.

Función Inyectiva, Suprayectiva Y Biyectiva

Sea f:X→Y una función real biyectiva. Entonces, la función recíproca o inversa de f , denotada como f−1 , es la función f−1:Y→X con imagen igual al conjunto X definida por la siguiente regla: f−1(y)=xsi y sólo sif(x)=y.

La Función Inversa

La utilidad de las funciones implícitas radica en el hecho de que existen expresiones matemáticas que son muy complicadas para despejar cualquier variable de ella, por lo que trabajar con este tipo de funciones puede evitar tal dificultad.

Una función implícita es aquella en donde no está despejada ninguna de las dos variables, y se denota en la forma f(x,y)=0 . Si se despeja una de las dos variables, se conoce como función explícita y se escribe en la forma y=f(x) o x=f(y) .

fUNCIONES IMPLICITA

Formulación De Funciones Como Modelos MATEMATICOS EN DIFERENTES CONTEXTOS

MODELOS DE fenomenos (fisicos, quimicos,economicos....)como funciones

5.[a,∞) intervalo cerrado al infinito, incluye todos los números reales mayores o iguales a a .

4.[a,b] intervalo cerrado, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b , incluyendo a y b .

3.(a,b] intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b , sin incluir al número a , pero si a b .

2.[a,b) intervalo semiabierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b , incluye al número a , pero no a b :

1.(a,b) intervalo abierto, incluye todos los números reales comprendidos entre a y b , excepto a y b , su representación gráfica es:

Los intervalos dentro de la recta numérica se clasifican de la siguiente manera:

intervalos en los reales y su representacion grafica

definiciones basicas: variable (dependiente e independiente ),relacion,funcion, dominio y rango

Se define una función real de variable real, o simplemente función real, como aquella función matemática que hace corresponder a cada número real x ∈ R otro número real y ∈ R a través de una regla de transformación f(x). Formalmente:

funcion real de variable real y sus distintas representaciones (ANALITicas, numericas, graficas y verbal)

Polinomiales

Racionales

Una función algebraica es una función que consiste de operaciones como suma, resta, división, multiplicación, raíz o exponentes de expresiones polinómicas.

FUNCIONES ALGEBRAICAS:POLINOMIALES Y RACIONALES

Características de una función polinomial. C.1)El dominio es todo R . C.2)Si la función es de grado impar, el rango es todo R , cuando es de grado par nunca serán igual el rango y el contradominio. C.3)La trayectoria formada por las funciones polinomiales de grado 1,2 y 3 es: a) De primer grado, corresponde una línea recta. Ver figura 2.3 inciso a) . b) De segundo grado, corresponde una parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo. Ver figura 2.3 inciso b) . c) De tercer grado, dibuja una curva tipo S . Ver figura 2.3 parte c) .

Una función polinomial real tiene la forma: f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 donde los ai son números reales constantes, n≥0 .

Polinomial

a) Identificar todos los intervalos que contiene el dominio, quitando los ceros del denominador. b) Por cada intervalo asignar al menos tres valores a la variable independiente y evaluar la función en estos valores. c) Los puntos que hacen cero al denominador forman una asíntota vertical y la gráfica va aproximándose cada vez más a ésta, subiendo o bajando según su trayectoria pero sin tocarla.

Características de una función racional. C.1) El dominio es todo R , excepto los puntos donde se hace cero el denominador. C.2) El rango se puede obtener a partir de su gráfica, normalmente es todo R y solo le quitamos algunos puntos que se reflejan en asíntotas horizontales. C.3) Para graficar funciones racionales, debemos considerar lo siguiente:

Una función de la forma: f(x)=Pn(x) anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0 Qm(x)= bmxm+bm−1xm−1+⋯+b1x+b0 donde Pn(x) y Qm(x) son funciones polinomiales y Qm(x)≠0 , es llamada función racional.

Racionales

Exponencial

Logaritmica

Trigonometrica

Dentro de las funciones trascendentes tenemos tres tipos esencialmente

Funciones trascendentes

Una función que no es algebraica, es decir no satisface una ecuación polinomial se conoce como función trascendente.

funciones tracendentes:trigonometricas,logaritmicas y exponenciales

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria.

TRIGRONOMETRICAS

Para encontrar los valores de la función f(x)=cscx , se traza una línea vertical en y=1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobre un círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal. La magnitud del segmento que se forma desde el punto (0,0) hasta el punto de intersección de las dos rectas, será el valor de la función secante, considerando este valor negativo, si la intersección de las dos rectas queda en sentido contrario a la posición del punto P .

Secante. Para encontrar los valores de la función f(x)=secx , se traza una línea vertical en x=1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobre un círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal. La magnitud del segmento que se forma desde el punto (0,0) hasta el punto de intersección de las dos rectas, será el valor de la función secante, considerando este valor negativo, si la intersección de las dos rectas queda en sentido contrario a la posición del punto P .

Para encontrar los valores de la función f(x)=cotx , se traza una línea horizontal en y=1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobre un círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal. La magnitud del segmento que se forma desde el punto (0,1) hasta el punto de intersección de las dos rectas será el valor de la función tangente, considerando este valor negativo si la intersección se produce a la izquierda del eje Y

Para encontrar los valores de la función f(x)=tanx , se traza una línea vertical en x=1 y otra que pasa por el origen y un punto arbitrario P , que se encuentra sobre un círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal. La magnitud del segmento que se forma desde el punto (1,0) hasta el punto de intersección de las dos rectas, será el valor de la función tangente, considerando este valor negativo si la intersección se produce por debajo del eje X .

Los valores de la función f(x)=cosx , están definidos de acuerdo a la distancia horizontal del origen que alcanza un punto arbitrario P , que se encuentra sobre un círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal, considerando el valor de la función negativa, si el punto se encuentra a la izquierda del eje Y .

Los valores de la función f(x)=senx , están definidos de acuerdo a la altura que alcanza un punto arbitrario P que se encuentra sobre un círculo unitario centrado en el origen, y que forma un ángulo x respecto a la horizontal, considerando el valor de la función negativa, si el punto se encuentra por debajo del eje X

coseno

Tangente

Cosecante

Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria.

Ceno

Contangente

Secante

Gráficas de funciones logarítmicas

Características de la función logarítmica C.1) El dominio son todos los números reales positivos, sin incluir el cero. C.2) El rango corresponde a todos los reales. C.3) Esta función, crece muy lentamente por lo que podemos tomar valores grandes sobre el eje X , sin afectar visualmente la gráfica.

La función logarítmica f(x)=logax , se identifica como la expresión inversa de la función exponencial g(x)=ax .

LOGARITMICAS

Gráficas de funciones exponenciales

Características de la función exponencial C.1) El dominio son todos los números reales. C.2) El rango corresponde sólo a los números reales positivos. C.3) Esta función, crece muy rápidamente a medida que avanzamos sobre el eje X , por lo que al momento de graficar debemos asignar valores relativamente pequeños a la variable.

Una función exponencial tiene la forma f(x)=ax , donde a es cualquier constante.

EXPONENCIALES

EPara graficar una función se asignan al menos tres valores a cada una de las funciones que la componen.

C.3

El rango es la unión de las imágenes de cada función y se puede obtener a través de la gráfica

C.2

El dominio es la unión de cada una de las funciones que la componen

C.1

En matemáticas, una función definida a trozos o por partes, es una función cuya regla de correspondencia cambia dependiendo del valor de la variable independiente, es decir esta compuesta de varias funciones en intervalos pequeños.

funciones definidas por parte

Composición: (f∘g)(x)=f(g(x))

División: (fg)(x)=f(x)g(x) , para g(x)≠0

Multiplicación: (fg)(x)=f(x)g(x)

Resta: (f−g)(x)=f(x)−g(x)

Suma: (f+g)(x)=f(x)+g(x)

Sean f,g:X→Y dos funciones reales, definimos las operaciones básicas entre ellas de la siguiente manera:

operaciones con funciones:adicion sustraccion, multiplicacion, division,composicion

Una transformación no rígida cambia el tamaño y/o la forma de la gráfica. Una traslación vertical es una transformación rígida que desplaza una gráfica hacia arriba o hacia abajo en relación con la gráfica original. Esto ocurre cuando se agrega una constante a cualquier función.

Una estructura es rígida si no puede flexionarse; es decir, si no hay un movimiento continuo de la estructura que conserve la forma de sus componentes rígidos y el patrón de sus conexiones en los acoplamientos.

tranformaciones rigidas y no rigidas