Introducción a los métodos numéricos

"INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS NUMÉRICOS"

Los métodos numéricos constituyen técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que puedan resolverse utilizando operaciones aritméticas. Aunque existen muchos tipos de métodos numéricos, éstos comparten una característica común: invariablemente requieren de un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas en ingeniería haya aumentado de forma considerable en los últimos años.

Introducción

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones

El lenguaje algorítmo es aquel por medio del cual se realiza un análisis previo del programa a resolver y encontrar un método que permita resolverlo. El conjunto de todas las operaciones a realizar y el orden en que se deben efectuar, se le denomina algorítmo.Es un método para resolver un problema mediante una serie de datos precisos, definidos y finitos. La resolución de un problema con ayuda de las computadoras exige el diseño de un algorítmo que resuelva el problema propuesto.Los pasos para la resolución de un problema son: Diseño del algoritmo, que describe la secuencia ordenada de pasos que conducen a la solución de un problema dado. (Análisis del problema y desarrollo del algoritmo).Expresar el algoritmo como un programa de lenguaje de programación adecuado. (Fase de codificación).

Las características fundamentales que debe cumplir todo algoritmo son:- Un algoritmo debe ser preciso e indicar el orden de realización de cada paso.- Un algoritmo debe estar definido. Si se sigue un algoritmo dos veces, se debe obtener el mismo resultado cada vez. Un algoritmo debe ser finito. Si se sigue un algoritmo se debe terminar en algún momento; o sea, debe tener un número finito de pasos.- La definición de un algoritmo debe definir tres partes: entrada, proceso y salida.Entrada: es la información de partida que necesita el algoritmo para arrancar.Proceso: es el conjunto de todas las operaciones a realizar.Salida: son los resultados obtenidos.

¿Qué es una aproximación?

La mayor parte de las técnicas tiene la característica de poseer errores. Aunque la perfección es una meta digna de alabarse, es difícil, si no imposible, alcanzarla. Sin embargo, sus distribuciones aleatorias se agrupan muy próximas alrededor de la predicción.En algunos conceptos básicos de los Métodos Numéricos podemos encontrar los siguientes: cifra significativa, presición, exactitud, incertidumbre y sesgo, que forman parte de las aproximaciones y predicciones numéricas adecuadas.Cifras significativas: cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.2.- Aunque ciertos números representan números específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Por lo que podemos tener un algoritmo aproximado.Dado un problema completo, es probable que no sepamos resolverlo de manera precisa y completa utilizando un algoritmo polimico en tiempo. Para este tipo de problemas, los algoritmos que conducen a una solución óptima se llaman algoritmos de aproximación. Sin embargo, resulta parcialmente interesante que estos garanticen una cota en el margen de imprecisión.

Si una magnitud de x0 unidades se mide y se obtiene el valor de x unidades, se llama error absoluto de la medida a la diferencia: εa= x – x0 En la práctica se adopta para x0 el valor medio de un gran numero de observaciones o simplemente se asigna a εa un cierto valor limite o cota superior (o se toma la menor cantidad capaz de ser medida con el dispositivo utilizado). Así, por ejemplo, cuando realizamos una pesada hasta el centígrado se admite que εa ≤ 0.01 g y cuando tomamos el número π = 3.141 con tres cifras decimales el error cometido es <0.001.Error absoluto es igual a la imprecisión que acompaña a la medida. Nos da idea de la sensibilidad del aparato o de lo cuidadosas que han sido las medidas por lo poco dispersas que resultaron. Ea=imprecisión=incertidumbre El error absoluto nos indica el grado de aproximación y da un indicio de la calidad de la medida. El conocimiento de la calidad se complementa con el error relativo.

- Error absoluto

1.2 Tipos de errores: Error absoluto, error relativo, error porcentual, errores de redondeo y truncamiento

Por ejemplo:Imagina que el error al medir el lado de un azulejo ha sido 2 mm y el error al medir la longitud de una habitación ha sido también 2mm.Aunque el error absoluto en ambas medidas es el mismo, la medida de la cocina es mucho mejor que la del azulejo, ya que la medida era mucho mayor.

El error relativo de una medida es el cociente entre el error absoluto de la medida y el valor real de ésta. El error relativo suele expresarse en %. El error relativo de una medida, denotado como ε, se define como el cociente entre el error absoluto ΔX y la cantidad medida X. En términos matemáticos queda como εr = ΔX / X. Se trata de una cantidad adimensional, puesto que el error absoluto comparte las mismas dimensiones con la cantidad X. Con frecuencia se presenta en términos de porcentaje, en este caso se habla del error relativo porcentual: εr% = (ΔX / X) . 100 %El cálculo del error relativo en un proceso de medida nos aporta más información que el simple cálculo del error absoluto.

- Error relativo

El cálculo del error absoluto se hace restando la aproximación al valor matemático exacto, así:Error Absoluto = Resultado Exacto – Aproximación.Error Relativo = (Error Absoluto/ Resultado Exacto)Error Relativo = (Error Absoluto/ Resultado Exacto) x 100%

Por ejemplo:"Asistentes a un evento"Se asumió que 1,000,000 de personas irían a un evento determinado. Sin embargo, el número exacto de personas que fue a dicho evento fue de 88,000. El error absoluto y porcentual serían los siguientes: Ea = 1,000,000 – 88,000 Ea = 912,000 Ep = (912,000/1,000,000) x 100 Ep = 91,2%

El error porcentual es la manifestación de un error relativo en términos porcentuales. En otras palabras, es un error numérico expresado por el valor que arroja un error relativo, posteriormente multiplicado por 100.

- Error porcentual

Redondeo: Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado. Reglas de redondeo Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de menos cifras de dos formas: - Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las diezmilésimas π = 3,1415.- Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las milésimas π = 3,142 y a las diezmilésimas π = 3; 1416. En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor. Estimación: Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no son verdaderos, sino que se consideran estimaciones.

- Errores de redondeo y truncamiento

Truncamiento: En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos. Por ejemplo dados los números reales: 3,14159265358979... 32,438191288 6,3444444444444 Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal. El resultado es: 3,1415 32,4381 6,3444 Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Método común Las reglas del redondeo se aplican al decimal situado en la siguiente posición al número de decimales que se quiere transformar, es decir, si tenemos un número de 3 decimales y queremos redondear a 2, se aplicará las reglas de redondeo: - Dígito menor que 5: Si el siguiente decimal es menor que 5, el anterior no se modifica. Ejemplo: 12,612. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,612= 12,61. - Dígito mayor que 5: Si el siguiente decimal es mayor o igual que 5, el anterior se incrementa en una unidad. Ejemplo: 12,618. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,618= 12,62. Ejemplo: 12,615. Redondeando a 2 decimales deberemos tener en cuenta el tercer decimal: 12,615= 12,62.

Se entiende por convergencia de un método numérico la garantía de que, al realizar un buen número de repeticiones (iteraciones), las aproximaciones obtenidas terminan por acercarse cada vez más al verdadero valor buscado. En la medida en la que un método numérico requiera de un menor número de iteracciones que otro, para acercarse al valor numérico deseado, se dice que tiene una mayor rapidez de convergencia. Se entiende por estabilidad de un método numérico el nivel de garantía de convergencia, y es que algunos métodos numéricos no siempre convergen y, por el contrario divergen; es decir, se alejan cada vez más y más del resultado deseado. En la medida en la que un método numérico, ante una muy amplia gama de posibilidades de modelado matemático, es más seguro que converja que otro, entonces se dice que tiene una mayor estabilidad. Normalmente se puede encontrar métodos que convergen rápidamente, pero son demasiado inestables y, por el contario, modelos muy estables, pero de lenta convergencia. En Métodos numérico la velocidad con la cual una sucesión converge a su límite es llamada orden de convergencia. Este concepto es, desde el punto de vista práctico, muy importante si necesitamos trabajar con secuencias de sucesivas aproximaciones de un método iterativo. Incluso puede hacer la diferencia entre necesitar diez o un millón de iteraciones.

1.3 Convergencia

Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos.El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente.El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética.Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.

Conclusión

Angel. (2018). METODOS NUMERICOS. 2018, de Tema Filigrana Sitio web: https://mismetnum.blogspot.com/2018/04/convergencia.htmlLenin. (2012). Errores de redondeo y truncamiento. 21 de marzo, de Tema fantástico Sitio web: https://errorredtrun.blogspot.com/Dr. Alejandro S. M. Santa Cruz. (2021). Errores de truncamiento y redondeo. 18 de mayo, de Matemática Superior Aplicada Sitio web: https://www.modeladoeningenieria.edu.ar/images/MatSup/2020/Errores_de_Redondeo_y_Truncamiento_Parte_I.pdfMejia Jervis, Tatiana. (13 de junio de 2017). ¿Qué es el Error Porcentual y Cómo se Calcula? 10 Ejemplos. Lifeder. Recuperado de https://www.lifeder.com/error-porcentual/.Zapata, Fanny. (18 de junio de 2019). Error relativo: fórmulas, cómo se calcula, ejercicios. Lifeder. Recuperado de https://www.lifeder.com/error-relativo/.Pilar Marín Fernández. (2022). ERROR ABSOLUTO. 3 de septiembre, de Microsoft Word Sitio web: https://view.officeapps.live.com/op/view.aspx?src=https%3A%2F%2Fwww.uv.es%2Fvimonmas%2Fmneq%2Ffitxers%2FT01G11&wdOrigin=BROWSELINKEquipo Métodos Numéricos. (2012). Métodos Numéricos . 14 de febrero, de Equipo Métodos Numéricos Sitio web: https://sites.google.com/site/metnum00/home/unidad-i/1-1-algoritmos-y-aproximaciones

Bibliografía