Presentación Tiza y Pizarra

UNIDAD 1

espacios métricos

INTRODUCCIÓN

«Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elementos, lo que nos permitirá precisar la noción de «proximidad»

El concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemático francés M.Fréchet en 1906. Probó que las ideas de Cantor de subconjuntos abiertos y cerrados podían extenderse de manera natural a los espacios métricos. Más tarde, el concepto fue desarrollado por F. Hasdorff . En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes

Un conjunto de elementos que representamos como puntos. Si para cada par de puntos especificamos qué distancia hay entre ellos entonces tenemos un espacio métrico (cuando se cumplen ciertas condiciones).

¿Qué es un espacio métrico?

3. Entre tres puntos se satisface la desigualdad del triángulo. La suma de dos de las distancias entre los vértices de un triángulo es mayor o igual que la distancia restante.

2. En un espacio métrico la distancia entre dos puntos es simétrica. La distancia entre el punto A y B coincide con la distancia entre el punto B y A .

1. La distancia de un punto a sí mismo será 0. La distancia entre puntos distintos será distinta de 0

cuales son las condiciones ?

definamos formalmente

Métrica discreta

ejemplos de espacios métricos

ejemplos de espacios métricos

Métrica del taxistaSupongamos que nos encontramos en un poblado y nos interesa partir del punto A para llegar al punto B usando el camino más corto. No nos es posible caminar sobre la recta que, en la geometría euclideana une a los dos puntos, pues esto implicaría tener que atravesar las casas y las construcciones que se ubiquen sobre ella. En estas circunstancias lo que resta es desplazarse sobre las calles, en la manera en que lo haría un taxista

ejemplo de métricas

Métrica del taxistaSi definimos la distancia como el menor número de cuadras que separan al punto del punto, podemos observar que los caminos verde, azul y naranja representan rutas de distancia mínima.

ejemplo de métricas

Métrica del ascensorAhora nos encontramos en cierta planta de un edificio y nos interesa movernos a otra planta. Si el punto al que vamos se encuentra en el mismo edificio, simplemente nos dirigimos al ascensor, en la misma planta, hasta recorrer la cantidad de pisos deseados.

ejemplo de métricas

Métrica del ascensorPor otra parte, si nos interesa llegar a un piso de otro edificio que está sobre la misma calle, debemos tomar el ascensor del edificio en que nos ubicamos hasta llegar a la planta baja, caminar hasta el otro edificio y, posteriormente, tomar el ascensor ahí hasta llegar a nuestro destino. Este movimiento puede visualizar

ejemplo de métricas

Métrica del ascensor

ejemplo de métricas

Consideremos las piezas Rey, Reina, Alfil, Caballo y Torre en el juego de ajedrez. De acuerdo a las reglas, cada una de estas piezas tiene un movimiento particular definido. Una pieza ubicada en la casilla A requiere una mínima cantidad de movimientos para llegar a la casilla B. Demuestra que cada pieza define una métrica en el conjunto de puntos dado por las casillas del tablero de ajedrez.

El tablero de ajedrez

ejemplo de métricas

Consideremos las piezas Rey, Reina, Alfil, Caballo y Torre en el juego de ajedrez. De acuerdo a las reglas, cada una de estas piezas tiene un movimiento particular definido. Una pieza ubicada en la casilla A requiere una mínima cantidad de movimientos para llegar a la casilla B. Demuestra que cada pieza define una métrica en el conjunto de puntos dado por las casillas del tablero de ajedrez.

El tablero de ajedrez

ejemplo de métricas

dato curioso

ejemplo de métricas para variables cuantitativas

ejercicio de métricas

Qué es una función? una relación que asocia un conjunto de valores de entrada (dominio) con un conjunto de valores de salida (codominio)

Introducción a las Funciones desde el Punto de Vista del Análisis Matemático

Introducción a las Funciones desde el Punto de Vista del Análisis Matemático

Ipropiedades de las funciones

Una función 𝑓 es continua en 𝑥 = 𝑎 si se cumplen tres condicionescalculemos el limite y estudiemos si estas funciones son continuas

Ipropiedades de las funciones

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1. Determina el dominio de la función.2. Simplifica la función. ¿Se puede simplificar la expresión algebraica de 𝑓(𝑥) ? 3.Determina si la función es continua

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