Sesión 4

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Lic. Ingeniería en Sistemas y Tecnologías de la InformaciónSesión 4

Matemáticas para ingeniería

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 4

Bienvenidos a la sesión 4 de nuestra materia Matemáticas para ingeniería.

Para comprender con más detalle los conceptos generales de la asignatura Matemáticas para Ingeniería I (Álgebra) es necesario revisar los siguientes temas:4. Espacios vectoriales y transformaciones lineales 4.1. Definición de espacio vectorial 4.2. Transformaciones lineales y sus propiedades 4.3. Aplicaciones de las transformaciones lineales en la ingeniería 4.3.1. Representación y manipulación de datos en bases de datos relacionales

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 4

Espacios vectoriales y transformaciones lineales:

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Son conceptos fundamentales en el estudio del álgebra lineal, una rama de las matemáticas que tiene amplias aplicaciones en diversos campos como la física, la ingeniería, la informática y la economía. Estos conceptos no solo proporcionan un lenguaje unificado para describir sistemas lineales, sino que también ofrecen herramientas poderosas para resolver problemas complejos de manera sistemática.

Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial es una estructura matemática formada por un conjunto de elementos llamados vectores, que pueden ser sumados entre sí y multiplicados por escalares (números), cumpliendo ciertas propiedades. Formalmente, un espacio vectorial V sobre un campo F (usualmente los números reales R o complejos C) es un conjunto con dos operaciones:

Suma de vectoresPara cualesquiera u, v ∈ V, existe un vector u + v ∈ V.

Multiplicación por un escalarPara cualquier α ∈ F ∈ V, existe un vector α v ∈ V.

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Método de Eliminación Gaussiana:

El método de eliminación gaussiana, también conocido como eliminación de Gauss, es una técnica algorítmica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en transformar el sistema original en un sistema equivalente más sencillo, de tal manera que se pueda resolver de forma directa. Este método utiliza operaciones elementales de fila para convertir la matriz de coeficientes del sistema en una matriz triangular superior.

Asociatividad de la suma

Conmutatividad de la suma

Elemento neutro aditivo

Elemento opuesto

Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de vectores:

Compatibilidad de la multiplicación escalar con la multiplicación de escalares:

U + (v + w) = (u + v) + w para todos u,v,w ∈V

Existe un vector 0 ∈ V tal que v + 0 = v para todo v ∈ V

U + v = v + u para todos u, v ∈ V.

Para cada v ∈ V, exiate un vector –v ∈ V tal que v + (-v) = 0

α ( u + v) = αu + αv para todos α ∈ F y u, v ∈ V.

Distributividad de la multiplicación escalar respecto a la suma de escalares:

( α + b) v = αu + Bu para todos α, B ∈ F y u ∈ V.

( αB) v = α (Bu) para todos α, B ∈ F y u ∈ V.

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OperaTransformaciones lineales:

Una transformación lineal es una función T:V→W entre dos espacios vectoriales V y W que preserva las operaciones de suma y multiplicación escalar. Esto significa que para todos u, v ∈ V y α ∈ F:

Transformaciones lineales y sus propiedades:Las transformaciones lineales son una de las piedras angulares del álgebra lineal y tienen aplicaciones profundas y variadas en matemáticas, física, ingeniería, ciencias de la computación, y muchas otras disciplinas. Estas transformaciones nos permiten comprender y manipular espacios vectoriales de una manera que preserva su estructura.

Linealidad respecto a la suma: T(u+v)=T(u)+T(v).Linealidad respecto a la multiplicación escalar: T(αv)=αT(v).

Propiedades de las Transformaciones Lineales:

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Las operaciones con matrices son esenciales para resolver numerosos problemas matemáticos y prácticos:

Toda transformación lineal T:Rn→Rm se puede representar mediante una matriz A tal que T(x) = Ax La matriz A se denomina la matriz asociada a la transformación lineal T. Esta matriz se construye tomando los vectores base de Rn y calculando sus imágenes bajo T, organizando estas imágenes como columnas de A.

Matriz Asociada

El núcleo (o kernel) de una transformación lineal T:V→W es el conjunto de todos los vectores en V que son mapeados al vector cero en W:ker⁡ (T) = { v ∈ V : T (v) = 0 }El núcleo es un subespacio de V. La imagen (o rango) de T es el conjunto de todos los vectores en W que son imágenes de algún vector en V:Im⁡ (T) = { T (v) : v ∈ V }

Núcleo e Imagen

Una transformación lineal T:V→W es inyectiva si ker⁡ (T) = { 0 }, es decir, si diferentes vectores en V son mapeados a diferentes vectores en W. T es sobreyectiva si Im⁡ ( T ) = W, es decir, si cada vector en W es la imagen de algún vector en V. Una transformación lineal es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Inyectividad y Sobreyectividad:

Aplicaciones de las transformaciones lineales en la ingeniería

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En el vasto campo de la ingeniería, las transformaciones lineales juegan un papel fundamental en la modelación, análisis y solución de problemas complejos. Estas transformaciones, que preservan la estructura aditiva y de multiplicación escalar de los espacios vectoriales, son herramientas matemáticas poderosas que facilitan la manipulación y comprensión de sistemas lineales.

• En la ingeniería eléctrica, las transformaciones lineales son fundamentales para el análisis y diseño de circuitos.
• Los circuitos eléctricos se modelan mediante sistemas de ecuaciones lineales que describen la relación entre las corrientes y las tensiones en diferentes componentes del circuito.
• Utilizando métodos de álgebra lineal, como la matriz de admitancia o la matriz de impedancia, los ingenieros pueden resolver estos sistemas de ecuaciones para determinar las corrientes y tensiones en todo el circuito.

Análisis de Circuitos Eléctricos

Aplicaciones en la Ingeniería Eléctrica:

• Es una herramienta crucial en el procesamiento de señales que convierte una señal del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Esta transformada es una aplicación directa de una transformación lineal, donde una señal continua o discreta se representa como una suma de senoidales de diferentes frecuencias.
• El uso de la transformada de Fourier permite a los ingenieros analizar las características frecuenciales de las señales, lo que es esencial en la filtración, la modulación y la compresión de señales. Además, la transformada de Fourier discreta (DFT) y su algoritmo eficiente, la transformada rápida de Fourier (FFT), se utilizan extensamente en el procesamiento digital de señales (DSP).

Transformada de Fourier y Procesamiento de Señales

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• En la ingeniería mecánica, el análisis de estructuras, como puentes y edificios, implica la resolución de sistemas de ecuaciones lineales que modelan las fuerzas y deformaciones en los elementos estructurales. Las transformaciones lineales permiten a los ingenieros modelar el comportamiento de las estructuras bajo cargas diversas y predecir su respuesta.
• El método de los elementos finitos (FEM) es una técnica numérica que utiliza álgebra lineal para dividir una estructura compleja en elementos más pequeños y manejables. Cada elemento se analiza individualmente utilizando matrices de rigidez, y luego se combinan para obtener una solución global. Este método es esencial para diseñar estructuras seguras y eficientes.

Análisis de Estructuras

Aplicaciones en la Ingeniería Mecánica:

• El análisis dinámico y el control de sistemas mecánicos, como robots y vehículos, también se benefician de las transformaciones lineales.
• Las ecuaciones de movimiento de un sistema mecánico se pueden expresar en forma matricial, lo que facilita el análisis y el diseño de controladores.

Dinámica y Control de Sistemas Mecánicos

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Las transformaciones lineales son esenciales para el análisis estructural y geotécnico. Los modelos de comportamiento de materiales y estructuras bajo cargas y condiciones ambientales diversas se representan mediante ecuaciones lineales.

Análisis Estructural y Geotécnico

Aplicaciones en la Ingeniería Civil:

La optimización es otro campo donde las transformaciones lineales juegan un papel crucial. Los problemas de optimización lineal, como la programación lineal, se utilizan para asignar recursos de manera eficiente en proyectos de construcción, gestión de tráfico y planificación urbana. Estos problemas se resuelven utilizando técnicas de álgebra lineal para encontrar la mejor solución que maximice o minimice un objetivo bajo un conjunto de restricciones lineales.

Optimización de Recursos

Representación y manipulación de datos en bases de datos relacionales:

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Las bases de datos relacionales son una tecnología esencial en la gestión de datos, proporcionando una estructura organizada y eficiente para almacenar, recuperar y manipular información. Desarrolladas inicialmente por Edgar F. Codd en la década de 1970, las bases de datos relacionales han evolucionado para convertirse en la columna vertebral de innumerables aplicaciones, desde sistemas de gestión empresarial hasta aplicaciones web y servicios de comercio electrónico.

El modelo relacional organiza los datos en tablas (o relaciones), donde cada tabla está compuesta por filas (o tuplas) y columnas (o atributos). Cada tabla representa una entidad o concepto específico, y cada fila en la tabla representa una instancia de esa entidad. Las columnas definen los atributos de la entidad. Este modelo permite una representación clara y estructurada de los datos, facilitando su manipulación y consulta.

Modelo Relacional

Fundamentos de las Bases de Datos Relacionales:

En una base de datos relacional, cada tabla debe tener una llave primaria, que es un atributo o un conjunto de atributos que identifica de manera única cada fila en la tabla. Las llaves primarias aseguran la integridad de los datos al evitar duplicados. Las llaves foráneas, por otro lado, son atributos en una tabla que referencian la llave primaria de otra tabla, estableciendo relaciones entre tablas y permitiendo la integridad referencial.

Llaves Primarias y Foráneas

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Lenguaje SQL

El Lenguaje de Consulta Estructurado (SQL) es el estándar para interactuar con bases de datos relacionales. SQL proporciona comandos para definir, manipular y consultar datos. Los comandos principales incluyen:

• DDL (Data Definition Language): Utilizado para definir la estructura de la base de datos, incluyendo la creación, alteración y eliminación de tablas.
• DML (Data Manipulation Language): Utilizado para manipular los datos dentro de las tablas, incluyendo la inserción, actualización y eliminación de filas.
• DQL (Data Query Language): Utilizado para consultar los datos, principalmente mediante el comando ‘SELECT’

Recursos bibliográficos

• Martínez López, Francisco Javier - Gallegos Ruiz, Amalia, 2017, Programación de base de datos relacionales, Editado por RA-MA Editorial

, Consulta el Capítulo I y II. Páginas15-65.

Recuperado de: https://elibro.net/es/ereader/udibiblioteca/106525

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Recursos bibliográficos

• Escuela Superior de Ingenieros. (2011). Espacios vectoriales. Transformaciones lineales, Universidad de Sevilla.

Recuperado de: https://neblan.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/10/tema-4.pdf

Consutla todo el documento.

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8Cifras, (2014). Espacios vectoriales: conceptos básicos,. [Video]. YouTube.

Recuperado de:https://www.youtube.com/watch?v=85INoJkycAU

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