Equazione di secondo grado, grado superiore e parabola

Prof.ssa Eleonora Castagna

Equazioni di secondo grado e grado superiore - parabola

Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020

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Un’equazione di secondo grado in forma normale è un’equazione del tipo: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 dove x è l’incognita e a, b, c sono detti coefficienti dell’equazione. Il coefficiente c è detto anche termine noto. Se tutti i coefficienti dell’equazione sono diversi da 0, l’equazione si dice completa, altrimenti è incompleta. Le equazioni di secondo grado possono avere al massimo due soluzioni, dette anche radici.

Forma normale e soluzioni

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Quindi un’equazione di secondo grado spuria ha sempre due soluzioni reali di cui una è nulla.

• Un’equazione è spuria se non ha il termine noto c, cioè se è della forma ax2 + bx = 0.

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Risoluzione di equazioni incomplete

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Quindi un’equazione di secondo grado pura ha due soluzioni, una opposta dell’altra, oppure è impossibile.

• Un’equazione è pura se b = 0, cioè se è della forma ax2 + c = 0.

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Risoluzione di equazioni incomplete

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Quindi un’equazione di secondo grado monomia ha una soluzione doppia che è x1 = x2 = 0.

• Un’equazione è monomia se b = 0 e c = 0, cioè se è della forma

ax2 = 0.

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Risoluzione di equazioni incomplete

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Risoluzione di equazioni complete

Data l’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, definiamo il discriminante = b2 – 4ac.

• Se < 0, l’equazione non ha soluzioni reali.
• Se = 0, l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti:

• Se > 0, l’equazione è determinata e ha due soluzioni reali e distinte che si trovano con la formula risolutiva:

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ESEMPIO

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Risoluzione di equazioni complete

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Se nella forma normale ax2 + bx + c = 0 il coefficiente b è divisibile per 2, è comodo usare la formula risolutiva ridotta: dove

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Risoluzione di equazioni complete

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Per ripassare...

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Le equazioni di secondo grado numeriche fratte sono equazioni in cui l’incognita compare nel denominatore di almeno una frazione e possono essere ricondotte a equazioni intere di secondo grado.

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Equazioni numeriche fratte

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In un’equazione di secondo grado scritta in forma normale e con il primo coefficiente uguale a 1, il secondo coefficiente è la somma delle soluzioni cambiata di segno e il termine noto è il prodotto delle soluzioni.

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Relazioni tra soluzioni e coefficienti

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Consideriamo il trinomio ax2 + bx + c, con a ≠ 0, e l’equazione associata ax2 + bx + c = 0.

• Se > 0, l’equazione ha due soluzioni x1 e x2,

e il trinomio può essere scomposto in fattori: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

• Se = 0, le soluzioni coincidono, quindi:

ax2 + bx + c = a(x – x1)2

• Se < 0, l’equazione non ha soluzioni, quindi il

trinomio non è scomponibile.

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Scomposizione di un trinomio di secondo grado

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Il coefficiente a è l’ordinata del punto di ascissa 1. Se il valore assoluto di a aumenta, l’apertura della parabola diminuisce.

Una funzione quadratica y = ax2, con a ≠ 0, ha per grafico una parabola che ha l’asse y come asse di simmetria e il vertice nell’origine degli assi.

• Se a > 0, la parabola rivolge la concavità verso l’alto;
• se a < 0, la parabola rivolge la concavità verso il basso.

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Parabola di equazione y = ax2

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Una funzione quadratica y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0, ha per grafico una parabola tale che:

• il vertice è
• l’asse di simmetria ha equazione
• la concavità e l’apertura dipendono dal coefficiente a.

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Parabola di equazione y = ax2 + bx + c

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Per cercare i punti di intersezione di una parabola con l’asse x si risolve il sistema:

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Interpretazione grafica

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Interpretazione grafica

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DISCRIMINANTE NEGATIVO

DISCRIMINANTE NULLO

DISCRIMINANTE POSITIVO

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Interpretazione grafica

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Un’equazione è trinomia se si può scrivere nella forma ax2n + bxn + c = 0, con a, b, c, n ≠ 0. Per risolverla, introduciamo un’incognita ausiliaria t = xn e risolviamo l’equazione at2 + bt + c = 0. Se questa è determinata con radici t1 e t2, le soluzioni dell’equazione trinomia si ottengono risolvendo le due equazioni binomie xn = t1 e xn = t2.

EQUAZIONI TRINOMIE

EQUAZIONI BINOMIE

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Equazioni di grado superiore al secondo

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Alcune equazioni di grado superiore al secondo possono essere risolte scrivendole nella forma polinomiale P(x) = 0, scomponendo il polinomio in fattori, applicando la legge di annullamento del prodotto e unendo le soluzioni delle equazioni ottenute.

EQUAZIONI RISOLUBILI CON SCOMPOSIZIONI IN FATTORI

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Equazioni di grado superiore al secondo

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ESEMPIO

ESEMPIO

ESEMPIO

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