Equazione di secondo grado, grado superiore e parabola
Eleonora Castagna
Created on September 5, 2024
More creations to inspire you
ALL THE THINGS
Presentation
ASTL
Presentation
ENGLISH IRREGULAR VERBS
Presentation
VISUAL COMMUNICATION AND STORYTELLING
Presentation
GROWTH MINDSET
Presentation
BLENDED LEARNING
Presentation
INTRO INNOVATE
Presentation
Transcript
Prof.ssa Eleonora Castagna
Equazioni di secondo grado e grado superiore - parabola
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
‹N›
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Un’equazione di secondo grado in forma normale è un’equazione del tipo: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0 dove x è l’incognita e a, b, c sono detti coefficienti dell’equazione. Il coefficiente c è detto anche termine noto. Se tutti i coefficienti dell’equazione sono diversi da 0, l’equazione si dice completa, altrimenti è incompleta. Le equazioni di secondo grado possono avere al massimo due soluzioni, dette anche radici.
Forma normale e soluzioni
‹N›
Quindi un’equazione di secondo grado spuria ha sempre due soluzioni reali di cui una è nulla.
- Un’equazione è spuria se non ha il termine noto c, cioè se è della forma ax2 + bx = 0.
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Risoluzione di equazioni incomplete
‹N›
Quindi un’equazione di secondo grado pura ha due soluzioni, una opposta dell’altra, oppure è impossibile.
- Un’equazione è pura se b = 0, cioè se è della forma ax2 + c = 0.
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Risoluzione di equazioni incomplete
‹N›
Quindi un’equazione di secondo grado monomia ha una soluzione doppia che è x1 = x2 = 0.
- Un’equazione è monomia se b = 0 e c = 0, cioè se è della forma
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Risoluzione di equazioni incomplete
‹N›
Risoluzione di equazioni complete
Data l’equazione di secondo grado ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, definiamo il discriminante = b2 – 4ac.
- Se < 0, l’equazione non ha soluzioni reali.
- Se = 0, l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti:
- Se > 0, l’equazione è determinata e ha due soluzioni reali e distinte che si trovano con la formula risolutiva:
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
‹N›
ESEMPIO
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Risoluzione di equazioni complete
‹N›
Se nella forma normale ax2 + bx + c = 0 il coefficiente b è divisibile per 2, è comodo usare la formula risolutiva ridotta: dove
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Risoluzione di equazioni complete
‹N›
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Per ripassare...
‹N›
Le equazioni di secondo grado numeriche fratte sono equazioni in cui l’incognita compare nel denominatore di almeno una frazione e possono essere ricondotte a equazioni intere di secondo grado.
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Equazioni numeriche fratte
‹N›
In un’equazione di secondo grado scritta in forma normale e con il primo coefficiente uguale a 1, il secondo coefficiente è la somma delle soluzioni cambiata di segno e il termine noto è il prodotto delle soluzioni.
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Relazioni tra soluzioni e coefficienti
‹N›
Consideriamo il trinomio ax2 + bx + c, con a ≠ 0, e l’equazione associata ax2 + bx + c = 0.
- Se > 0, l’equazione ha due soluzioni x1 e x2,
- Se = 0, le soluzioni coincidono, quindi:
- Se < 0, l’equazione non ha soluzioni, quindi il
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Scomposizione di un trinomio di secondo grado
‹N›
Il coefficiente a è l’ordinata del punto di ascissa 1. Se il valore assoluto di a aumenta, l’apertura della parabola diminuisce.
Una funzione quadratica y = ax2, con a ≠ 0, ha per grafico una parabola che ha l’asse y come asse di simmetria e il vertice nell’origine degli assi.
- Se a > 0, la parabola rivolge la concavità verso l’alto;
- se a < 0, la parabola rivolge la concavità verso il basso.
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Parabola di equazione y = ax2
‹N›
Una funzione quadratica y = ax2 + bx + c, con a ≠ 0, ha per grafico una parabola tale che:
- il vertice è
- l’asse di simmetria ha equazione
- la concavità e l’apertura dipendono dal coefficiente a.
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Parabola di equazione y = ax2 + bx + c
‹N›
Per cercare i punti di intersezione di una parabola con l’asse x si risolve il sistema:
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Interpretazione grafica
‹N›
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Interpretazione grafica
‹N›
DISCRIMINANTE NEGATIVO
DISCRIMINANTE NULLO
DISCRIMINANTE POSITIVO
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Interpretazione grafica
‹N›
Un’equazione è trinomia se si può scrivere nella forma ax2n + bxn + c = 0, con a, b, c, n ≠ 0. Per risolverla, introduciamo un’incognita ausiliaria t = xn e risolviamo l’equazione at2 + bt + c = 0. Se questa è determinata con radici t1 e t2, le soluzioni dell’equazione trinomia si ottengono risolvendo le due equazioni binomie xn = t1 e xn = t2.
EQUAZIONI TRINOMIE
EQUAZIONI BINOMIE
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Equazioni di grado superiore al secondo
‹N›
Alcune equazioni di grado superiore al secondo possono essere risolte scrivendole nella forma polinomiale P(x) = 0, scomponendo il polinomio in fattori, applicando la legge di annullamento del prodotto e unendo le soluzioni delle equazioni ottenute.
EQUAZIONI RISOLUBILI CON SCOMPOSIZIONI IN FATTORI
Bergamini, Barozzi Matematica multimediale © Zanichelli 2019-2020
Equazioni di grado superiore al secondo
‹N›
ESEMPIO
ESEMPIO
ESEMPIO
ESEMPIO
ESEMPIO