U2R8 Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y grado

Ecuaciones diferencialesno lineales de primer orden y grado

Carlos Alberto Delgado Ríos

Si P(t) es el tamaño de una población al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dP/dt= kP para cierta k >0. En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por:

Es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población.

INTRODUCCIÓN

dPdtP

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Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la razón decrezca conforme la población P aumenta de tamaño. Por lo cual esta ecuación no es lineal.

Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de estudiantes infectados sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de cuatro días x (4) = 50

Veamos otro ejemplo:

Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales

dx/dt = kx(1000-x), x (0) = 1

Solución

Las ecuaciones de Bernoulli son un ejemplo excelente de cómo las ecuaciones no lineales pueden ser transformadas y resueltas utilizando métodos de ecuaciones lineales

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Identificando a = 1000k y b = k, vemos de inmediato que

Ahora, usamos la información x (4) = 50 y calculamos k con

Encontramos -1000k= ¼ ln= 19/999 = -0-9906. Por tanto

Finalmente 276 estudiantes

Primero identificamos las variables P(x)=2, Q(x)=3, y n=2

Veamos el siguiente ejemplo:

Después cambiamos la variable

Se sustituye en la ecuación original

Al final multiplicamos por – v2 y se convierte en una ecuación lineal que se puede resolver fácilmente

ReferenciasCengel Yunus (2022) . Ecuaciones Diferenciales. Segunda edición. Mc Graw Hill . México. Capítulo 2.4 Ecuaciones no lineales