U2R8 Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y grado

Carlos Alberto Delgado Ríos

Ecuaciones diferenciales no lineales de primer orden y grado

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dP dt P

INTRODUCCIÓN

Es una constante k. Es difícil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerán restricciones sobre el crecimiento de la población.

Si P(t) es el tamaño de una población al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dP/dt= kP para cierta k >0. En este modelo, la tasa específica o relativa de crecimiento, definida por:

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Las ecuaciones de Bernoulli son un ejemplo excelente de cómo las ecuaciones no lineales pueden ser transformadas y resueltas utilizando métodos de ecuaciones lineales

Solución

dx/dt = kx(1000-x), x (0) = 1

Suponiendo que nadie deja el campus mientras dura la enfermedad, debemos resolver el problema con valores iniciales

Veamos otro ejemplo:

Suponga que un estudiante es portador del virus de la gripe y regresa a su aislado campus de 1000 estudiantes. Si se supone que la razón con que se propaga el virus es proporcional no sólo a la cantidad x de estudiantes infectados sino también a la cantidad de estudiantes no infectados, determine la cantidad de estudiantes infectados después de 6 días si además se observa que después de cuatro días x (4) = 50

Al final multiplicamos por – v2 y se convierte en una ecuación lineal que se puede resolver fácilmente

Se sustituye en la ecuación original

Después cambiamos la variable

Veamos el siguiente ejemplo:

Primero identificamos las variables P(x)=2, Q(x)=3, y n=2

ReferenciasCengel Yunus (2022) . Ecuaciones Diferenciales. Segunda edición. Mc Graw Hill . México. Capítulo 2.4 Ecuaciones no lineales