U2R6 Ecuaciones diferenciales exactas

Ecuaciones diferenciales exactas

Carlos Alberto Delgado Ríos

La ecuación diferencial M (x, y)dx = N (x, y) dy = 0 es una ecuación diferencial exacta si y solo si el primer miembro de la ecuación es una diferencial exacta; esto significa que:

y

García Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales: ( ed.). México D.F, Mexico: Grupo Editorial Patria. Recuperado de https://elibro.net/es/ereader/bibliouag/39438?page=58.

Puesto que M== ∂f/dx y N= ∂f/ dy derivando a M, respecto de y, y a N respecto de x, obtenemos:

∂ M/∂y =∂2f/ ∂y ∂x y ∂ N/∂x =∂2f/ ∂x ∂y

En cálculo sabemos que si las derivadas parciales son continuas, entonces:

∂2f/ ∂y ∂x =∂2f/ ∂x ∂y

Por lo tanto

Determinar la solución de una ecuación diferencial exacta es, pues, encontrar la función f (x, y) tal que su diferencial total sea exactamente la ecuación diferencial dada.

∂ M/∂y =∂ N/∂x

Ejemplo 1

Comprobar que la ecuación diferencial (2x-5y+2)dx +(1-6y-5x)dy es exacta

Derivamos a M respecto de y , N respecto de x

Entonces se satisface la condición de exactitud, la ecuación diferencial es exacta.

M(x, y)= 2x-5y+2 N(x, y) = 1-6y-5x

∂M/ ∂y = ∂/ ∂y (2x-5y+2) =-5 ∂N/ ∂x = ∂/ ∂x (1-6y-5x) =-5 Como ∂ M/∂y = ∂ N/∂x

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Ejemplo 2

Resolver la ecuación diferencial ( 2x-5y+2)dx +( 1-6y-5x) dy

Solución M(x, y)= 2x-5y+2 N(x, y) = 1-6y-5x

Ya habíamos comprobado la exactitud en el ejemplo anterior ∂f/ ∂x = 2x-5y+2

Derivamos f con respeto a y ∂f/ ∂y = - 5x+ dg/dy

Igualamos a N - 5x+ dg/dy = 1-6y-5x dg/dy = 1-6y

Integramos

Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial

Ejemplo 3

Resolver la siguiente ecuación diferencial si es exacta

2

3

7

4

6

5

1

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Primero comprobar que dM/dy = dN/dx

Con esto comprobamos que si son exactas ya que dan el mismo resultado

Integramos respecto de y

Derivamos a f respecto de x

Igualamos df/dx a M

Integramos

Por lo tanto la solución es:

ReferenciasGarcía Hernández, A. E. (2015). Ecuaciones diferenciales: ( ed.). México D.F, Mexico: Grupo Editorial Patria. Recuperado de:

https://elibro.net/es/ereader/bibliouag/39438?page=58