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Triángulo

Haz de rectas

Polígonos

Recta

División de un segmento

Plano Cartesiano

Diferencia entre puntos.

Antecedentes

Rectas y p. notables

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Geometría Analitíca

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El trabajo de apolonio

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Plano polar

Geometría Analitíca

Rotación

Traslación

• Ecuación canónica: • Elementos: • Vértice: (h,k), el punto más cercano al foco. • Foco: Un punto a una distancia p del vértice. • Directriz: Línea perpendicular al eje de simetría, a una distancia p del vértice, en sentido opuesto al foco. • Eje de simetría: Línea que pasa por el vértice y el foco.

conjunto de puntos en el plano que están a la misma distancia de un punto fijo, llamado foco, y de una línea fija, llamada directriz. Es una de las cónicas fundamentales y tiene una forma característica en forma de "U" o "∩".

Δ=0: Parábola.

PARABOLA

Algunas curvas polares famosas son: Rosa polar: Una curva matemática que se parece a una flor con pétalos. Su ecuación es (θ) = 2 sin 4θ. Espiral de Arquímedes: Una espiral uniforme que se desarrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj. Lemniscata: Una curva polar. Caracol de Pascal: Una curva polar. Cardioide: Una curva polar.

CURVAS POLARES

En geometría analítica, el cambio de coordenadas es una técnica que permite transformar la ecuación de una figura geométrica al modificar el sistema de referencia (trasladándolo, rotándolo o ambos). Esto facilita el análisis de la figura al simplificar su ecuación, identificar sus propiedades o estudiar su posición respecto al nuevo sistema.

CAMBIO DE COORDENADAS

La geometría ha evolucionado desde sus aplicaciones prácticas en las primeras civilizaciones hasta convertirse en una disciplina matemática abstracta con diversas ramas. Desde la geometría euclidiana clásica hasta las geometrías modernas y no euclidianas, el campo ha avanzado significativamente gracias a las contribuciones de matemáticos de diferentes épocas y culturas.

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Antecedentes de la geometría analitica

Aplicaciones del plano polar Física: Descripción de fenómenos con simetría circular, como campos eléctricos y magnéticos. Astronomía: Representación de trayectorias orbitales. Ingeniería: Análisis de vibraciones, antenas y señales.

Estructura del plano polar 1. El polo: Es el punto central del plano, que actúa como el origen. 2. Eje polar: Es una línea recta fija, generalmente horizontal, que sirve como referencia para medir los ángulos. 3. Anillos concéntricos: Representan los valores de r (distancias radiales desde el polo). 4. Líneas radiales: Representan los diferentes valores del ángulo θ, divididos en intervalos.

PLANO POLAR

• e=0: Circunferencia.• 0<e<1: Elipse. • e=1: Parábola. • e>1: Hipérbola.

En coordenadas polares, la ecuación de una cónica con uno de sus focos en el polo está dada por: donde: • r: La distancia desde el polo al punto de la cónica. • θ: El ángulo con respecto al eje polar. • e: La excentricidad de la cónica, que determina su forma. • l: La semilatus rectum, que es la distancia desde el foco a la cónica medida perpendicularmente al eje principal.

Las cónicas en el plano polar son representaciones de curvas como la elipse, la parábola y la hipérbola, utilizando coordenadas polares. Estas curvas son importantes porque describen trayectorias en sistemas físicos, como las órbitas planetarias y las trayectorias de proyectiles.

CONICAS

a) Hallar el haz de rectas que pasa por el punto P (2, -1). b) De entre todas las rectas del haz, determina la que pasa por el origen. a) Sustituyendo en la ecuación del haz tenemos que: α(x-2)+β(y+1) = 0. b) Para hallar la recta exacta que pasa por ese punto, sustituimos en la ecuación anterior (x,y)=(0,0) para hallar el valor de α y β: α(0-2)+β(0+1) = 0 → -2 α + β=0 → β= 2 α. Sustituyendo en la ecuación que hemos obtenido en el apartado a, tenemos: α(x-2)+2α (y+1) = 0 → x-2+2y+2=0 → x+2y=0

Ejemplo de un haz de rectas

Definición y clasificación de las cónicas Apolonio definió las cónicas como las curvas generadas al cortar un cono con un plano. Introdujo los nombres elipse, parábola e hipérbola, que se siguen utilizando hoy en día. Este enfoque unificó las propiedades de estas curvas, que habían sido estudiadas anteriormente de forma aislada por matemáticos como Euclides y Aristeo. Desarrolló una metodología rigurosa para describir y analizar las cónicas utilizando las herramientas de la geometría griega clásica. Basándose en las secciones cónicas generadas por un cono recto circular, demostró que estas curvas podían describirse mediante relaciones matemáticas exactas. Apolonio estudió propiedades como las tangentes, los focos y las relaciones métricas de las cónicas. Introdujo el concepto de latus rectum (un segmento relacionado con el foco y la directriz) para describir las propiedades de las parábolas, elipses e hipérbolas.

Contribuciones principales de Apolonio al estudio de las cónicas

Rectas y puntos notables del triángulo

Fórmula y explicación en video

Un punto P en el plano está representado en coordenadas polares como (r,θ)donde: • r: Es la distancia del punto P al origen (polo). Puede ser positiva (hacia afuera del polo) o negativa (en la dirección opuesta al polo). • θ: Es el ángulo, medido desde el eje polar (similar al eje x en coordenadas cartesianas) hasta la línea que conecta el origen con P. Se mide en radianes o grados y puede ser positivo (en sentido antihorario) o negativo (en sentido horario).

Las coordenadas polares son un sistema de coordenadas bidimensional que describe la posición de un punto en un plano en función de su distancia a un origen fijo (llamado polo) y su ángulo respecto a una dirección fija (llamada eje polar).

COORDENADAS POLARES

Cálculo del perimetro y el área

Los triángulos o trígonos son figuras geométricas planas, básicas, que poseen tres lados en contacto entre sí en puntos comunes denominados vértices. Su nombre proviene del hecho de que posee tres ángulos interiores o internos, formados por cada par de líneas en contacto en un mismo vértice. Estas figuras geométricas se nombran y clasifican de acuerdo a la forma de sus lados y al tipo de ángulo que construyen. Sin embargo, sus lados son siempre tres y la suma de todos sus ángulos siempre dará 180°.

Triángulo

Ecuación canónica: o centrada en (h,k)Elementos: ~Centro: (h,k). ~Radio: r.

conjunto de todos los puntos en el plano que están a una distancia constante (r, el radio) de un punto fijo (C, el centro). Matemáticamente, se describe con una ecuación que depende de la ubicación del centro y la magnitud del radio

Si 𝐴=C y 𝐵=0, es un círculo (caso especial de la elipse).

CIRCUNFERENCIA

El plano cartesiano es un sistema de coordenadas bidimensional utilizado para representar gráficamente puntos, líneas y figuras geométricas. Fue desarrollado por el matemático y filósofo francés René Descartes. Este plano está compuesto por:Eje coordenadas: eje x (abscisas) y eje y (ordenadas) Cuadrantes: cuatro cuadrantes. Puntos y cooredenadas

Plano Cartesiano

Elementos de la elipse 1. ~Centro: (h,k).~Ejes principales: ~Eje mayor: Pasa por el centro y los focos; su longitud es 2a. ~Eje menor: Es perpendicular al eje mayor; su longitud es 2b.

Ecuación estándar de la elipse 1. Eje mayor horizontal (a>b): 2. Eje mayor vertical (a>b):

conjunto de puntos en un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Es una de las secciones cónicas y tiene aplicaciones en astronomía, física y más.

Δ<0: Elipse

ELIPSE

Podemos ubicar puntos en el plano cartesiano para poder formas rectas o figuras, para poder ubicarlos necesitamos las coordenadas de estos puntos, dadas de la siguiente forma (x, y)

Ejemplo del plano cartesiano

En geometría se llama polígono a una figura geométrica plana, compuesta por un conjunto de segmentos de recta conectados de manera tal que encierren y delimiten una región del plano, generalmente sin cruzarse una línea con otra. Su nombre proviene de los vocablos griegos poly (“mucho”) y gonos (“ángulo”).

Los polígonos

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La ecuación general de una cónica en el plano cartesiano es: 𝐴 𝑥 2 + 𝐵 𝑥 𝑦 + 𝐶 𝑦 2 + 𝐷 𝑥 + 𝐸 𝑦 + 𝐹 = 0 , donde 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 , 𝐷 , 𝐸 , 𝐹 son constantes reales. La clasificación depende de los valores de 𝐴 , 𝐵 y 𝐶 , en particular del discriminante: Δ = 𝐵 2 − 4 𝐴 𝐶 .

Las cónicas son curvas obtenidas al intersectar un cono doble con un plano. Dependiendo de la inclinación del plano respecto al eje del cono, se obtienen diferentes tipos de cónicas: elipse, parábola, hipérbola y el caso especial del círculo (un tipo particular de elipse). Estas curvas se clasifican según su ecuación general, y cada tipo tiene características y elementos geométricos particulares.

cónicas

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Accediendo al siguiete link podrá observar una línea del timpo sobre la historia de la geometría y todos sus antecedentes :).

Línea del tiempo

1.- Me dan un segmento y una razón (r= 2/52.- Sumar los números del denominador y del numerador (n=2+5=7) 3.- Trazar una línea que forme un ángulo águdo desde un extremo. 4.- Sobre el nuevo segmento hay que tomar una medida cualquiera con el cómpas y trazar n número de líneas 5.- Unir el punto final del segmento con el punto B 6.- Trazar una paralela a la recta trazada que pase porelpunto del numerador.

Ejemplo de un segmento dividimo por una razón dada

Distancia entre puntos

Definición y fórmula

La distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas y abscisas al cuadrado y sumadas entre si. Para entender mejor el concepto, podemos visualizar un triángulo rectángulo, siendo su base la diferencia de abscisas y su altura la diferencia de ordenadas. Si lo entendemos así, entonces la hipotenusa de este sería nuestra distancia.

• Ecuación canónica: • Elementos: • Centro: (h,k), en la ecuación general. • Ejes principales: o Eje real (longitud 2a): contiene los focos y vértices. o Eje imaginario (longitud 2b): perpendicular al eje real. • Focos: Dos puntos F1 y F2, a una distancia c del centro, • Asímptotas: Líneas rectas que la hipérbola se aproxima: • Excentricidad:

conjunto de puntos en el plano donde la diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante. Es otra de las cónicas fundamentales y tiene dos ramas abiertas que se alejan del centro.

Δ>0: Hipérbola

HIPERBOLA

implica dos pasos: 1. Traslación del sistema de coordenadas: Se mueve el origen de coordenadas desde (0,0) a un nuevo punto (h, k). Las nuevas coordenadas (x', y') se relacionan con las originales (x, y) mediante: 2. Rotación del sistema de coordenadas: Se gira el sistema alrededor del origen un ángulo θ Las nuevas coordenadas (x'', y'') están relacionadas con las originales (x', y') por: Combinando, el cambio total queda:

El cambio de coordenadas por rototraslación en geometría analítica combina una rotación y una traslación del sistema de coordenadas. Este método permite transformar la ecuación de una figura geométrica, como una cónica, para simplificar su análisis o ajustarla a un sistema de referencia más conveniente. Es especialmente útil en el estudio de cónicas, al eliminar términos lineales o mixtos en sus ecuaciones.

ROTOTRANSLACION

una rotación de ejes en dos dimensiones es una aplicación de los puntos de un sistema de coordenadas cartesianas xy sobre los puntos de un segundo sistema de coordenadas cartesianas denominado x'y', en la que el origen se mantiene fijo y el los ejes x' e y' se obtienen girando los ejes x e y en sentido contrario a las agujas del reloj a través de un ángulo θ. Un punto P tiene coordenadas (x, y) con respecto al sistema original y coordenadas (x', y') con respecto al nuevo sistema. En el nuevo sistema de coordenadas, el punto P parecerá haber sido girado en la dirección opuesta, es decir, en el sentido de las agujas del reloj a través del ánguloθ.

ROTACION

• Dado un sistema de coordenadas (x, y realizamos una traslación al definir un nuevo sistema (x', y'), donde las coordenadas están relacionadas por: o, equivalentemente: • Aquí, (h, k) es el nuevo origen en el sistema inicial.

el cambio de coordenadas por traslación consiste en mover el origen del sistema de referencia cartesiano (x,y) a un nuevo punto (h,k). Este proceso simplifica ecuaciones al eliminar términos lineales o centrar figuras geométricas, como cónicas o polígonos, en un sistema más conveniente.

TRASLACION

Para encontrar el punto en el plano de la división dados los extremos de la recta y la razón se utilizan las fórmulas:

Para determinar la razón dados los extremos de la recta y el punto de división se utiliza la siguiente fórmula:

División de un segmento

La división de un segmento en partes iguales, consiste en fraccionar un segmento de longitud conocida en varios de la misma longitud. Para ello se suele utilizar el teorema de Tales que dice “cuando dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, determinan en éstas segmentos proporcionales”.

La recta - Representación geometrica

Una recta es una línea geométrica infinita formada por una sucesión de puntos alineados en una misma dirección. Se extiende indefinidamente en ambos sentidos y no tiene principio ni fin. Es una de las figuras fundamentales de la geometría y se caracteriza por: Dimensión : Tiene una sola dimensión (longitud) y no posee grosor ni altura. Forma : Es completamente recta, sin curvas ni quiebres.

Algunas curvas polares famosas son: Rosa polar: Una curva matemática que se parece a una flor con pétalos. Su ecuación es (θ) = 2 sin 4θ. Espiral de Arquímedes: Una espiral uniforme que se desarrolla en sentido contrario a las manecillas del reloj. Lemniscata: Una curva polar. Caracol de Pascal: Una curva polar. Cardioide: Una curva polar.

CURVAS POLARES