Sesión 3

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Lic. Ingeniería en Sistemas y Tecnologías de la InformaciónSesión 3

Matemáticas para ingeniería

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 3

Bienvenidos a la sesión 3 de nuestra materia Matemáticas para ingeniería.

Para comprender con más detalle los conceptos generales de la asignatura Matemáticas para Ingeniería I (Álgebra) es necesario revisar los siguientes temas:3. Matrices y Determinantes 3.1. Definición y propiedades de matrices 3.1.1. Operaciones básicas con matrices 3.2. Operaciones con matrices: suma, producto, inversa 3.3. Cálculo de determinantes y sus propiedades 3.4. Aplicaciones en el análisis de algoritmos y complejidad computacional

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Matrices y Determinantes:

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Una matriz es una disposición rectangular de números, símbolos o expresiones, organizada en filas y columnas. Matemáticamente, una matriz se denota típicamente como A=[aij], donde aij​ representa el elemento en la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz. El determinante es un valor escalar que se asocia con una matriz cuadrada y que proporciona información esencial sobre la matriz, como su invertibilidad y la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Definición y propiedades de matrices:Las matrices pueden tener diferentes dimensiones, y se categorizan principalmente por el número de filas y columnas que contienen. Por ejemplo, una matriz de m×n tiene mm filas y n columnas.

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Método de Eliminación Gaussiana:

El método de eliminación gaussiana, también conocido como eliminación de Gauss, es una técnica algorítmica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en transformar el sistema original en un sistema equivalente más sencillo, de tal manera que se pueda resolver de forma directa. Este método utiliza operaciones elementales de fila para convertir la matriz de coeficientes del sistema en una matriz triangular superior.

Matriz Cuadrada

Matriz Diagonal

Matriz Identidad

Matriz Traspuesta

Matriz Nula

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Operaciones con matrices: suma, producto, inversa

Incluyen la suma y resta de matrices, el producto de matrices, la multiplicación escalar, la transposición y el cálculo de la matriz inversa. Estas operaciones permiten la manipulación y el análisis de matrices en diversas aplicaciones.

Suma y Resta de Matrices: La suma y la resta de matrices son operaciones elementales que se realizan elemento por elemento. Si A y B son matrices de la misma dimensión, entonces su suma C= A+B=A+B y su resta D= A−B son matrices de la misma dimensión donde cada elemento cij=aij+bij y dij = aij−bij​.

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Operaciones con matrices: suma, producto, inversa

Producto de Matrices

Matriz Traspuesta

Multiplicación Escalar

Matriz Inversa

Importancia de las Operaciones con Matrices:

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Las operaciones con matrices son esenciales para resolver numerosos problemas matemáticos y prácticos:

Las matrices permiten formular y resolver sistemas de ecuaciones lineales de manera eficiente y estructurada.

Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales

En geometría y física, las matrices se utilizan para describir y analizar transformaciones lineales como rotaciones, traslaciones y escalamientos.

Transformaciones Lineales

En informática, las matrices son esenciales para el procesamiento de imágenes, algoritmos de búsqueda, optimización y análisis de redes.

Modelos Computacionales

Cálculo de determinantes y sus propiedades:

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El determinante es un valor escalar asociado a una matriz cuadrada. Proporciona información importante sobre la matriz, como si la matriz es invertible y el volumen del paralelogramo definido por sus filas o columnas en un espacio n-dimensional. Matemáticamente, el determinante de una matriz A de n×n se denota como det ⁡(A) det (A) o ∣A∣.

El método para calcular el determinante varía según el tamaño de la matriz. A continuación, se describen los métodos para matrices de orden 2x2 y 3x3:

Cálculo del Determinante

Ingeniería: En ingeniería, los determinantes se utilizan para analizar sistemas y resolver problemas complejos.En física, los determinantes y sus propiedades se utilizan para describir fenómenos cuánticos y relativistas.En economía y finanzas, los determinantes se utilizan para analizar modelos económicos y financieros.En informática, los determinantes son fundamentales en el desarrollo de algoritmos de aprendizaje automático y procesamiento de imágenes.

Aplicaciones Prácticas del Cálculo de Determinantes:

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Propiedades del Determinante:

Los determinantes tienen varias propiedades importantes que son fundamentales para su manipulación y aplicación en diversos problemas matemáticos y prácticos.

Cambio de Filas o Columnas

Filas o Columnas Proporcionales

Determinante de una Matriz Triangular

Multiplicación por un Escalar

Determinante del Producto de Matrices

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Aplicaciones en el análisis de algoritmos y complejidad computacional:

Son áreas fundamentales en la informática teórica y aplicada. Los algoritmos son las secuencias de instrucciones que permiten resolver problemas computacionales, mientras que la complejidad computacional estudia los recursos necesarios (tiempo y espacio) para ejecutar estos algoritmos.

La suma y la resta de matrices son operaciones elementales que se realizan elemento por elemento. Si A y B son matrices de la misma dimensión, entonces su suma C= A+B=A+B y su resta D= A−B son matrices de la misma dimensión donde cada elemento cij=aij+bij y dij = aij−bij​.

La complejidad computacional se refiere al estudio de los recursos necesarios para ejecutar un algoritmo, principalmente tiempo (número de pasos) y espacio (memoria utilizada). La complejidad se clasifica en función del tamaño de la entrada del algoritmo. Las notaciones más comunes para describir la complejidad son la notación Big O, Omega y Theta, que representan el peor caso, el mejor caso y el caso promedio, respectivamente.

Complejidad Computacional

Algoritmo

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Análisis de Algoritmos

Es el proceso de determinar la eficiencia de un algoritmo en términos de tiempo y espacio. Esto implica analizar cómo cambia el tiempo de ejecución y el uso de memoria a medida que aumenta el tamaño de la entrada.

La notación Big O es una forma de describir la complejidad de un algoritmo en términos de su crecimiento asintótico. Se centra en el comportamiento del algoritmo cuando el tamaño de la entrada tiende al infinito. Algunas de las complejidades comunes incluyen:

Notación Big O

Complejidad cuadrática. El tiempo de ejecución crece cuadráticamente con el tamaño de la entrada.

Complejidad log-lineal. Común en algoritmos de ordenamiento eficientes.

Complejidad lineal. El tiempo de ejecución crece linealmente con el tamaño de la entrada.

Complejidad logarítmica. El tiempo de ejecución crece logarítmicamente con el tamaño de la entrada.

Complejidad constante. El tiempo de ejecución no cambia con el tamaño de la entrada.

O(1)

O(log n)

O(n)

O(n log n)

O(n^2)

Complejidad exponencial. El tiempo de ejecución crece exponencialmente con el tamaño de la entrada.

O(2^n)

Recursos bibliográficos

• Autores Varios, 2014, Editorial El Cid Editor, Matrices, determinantes, vectores y tensores, El Cid Editor.

Consulta el tema Producto de Vectores. Página 7-10.

Recuperado de: https://elibro.net/es/ereader/udibiblioteca/30551

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Recursos bibliográficos

• Barnett, Ziegler, Byleen (200): Álgebra de Matrices. McGraw-Hill, Sexta edición. México.

Recuperado de: https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/11d.-ALGEBRA-DE-MATRICES-4.pdf

Consutla todo el documento.

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Matemáticas profe Alez, (2019), Determinante de una matriz de 3x3 Regla de Sarrus. [Video]. YouTube.

Recuperado de:https://www.youtube.com/watch?v=8OnOZvc5rFQ

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La trasposición de una matriz A, denotada AT, se obtiene intercambiando sus filas por columnas. Si A es una matriz de dimensión m×n, su traspuesta AT será de dimensión n×m.

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Multiplicar una fila o una columna de una matriz por un escalar k multiplica el determinante por k.det⁡ (kA) = kn⋅det ⁡(A)donde n es el número de filas (o columnas) de la matriz.

4

Se obtiene al intercambiar las filas por columnas de una matriz original.

La multiplicación escalar de una matriz implica multiplicar cada elemento de la matriz por un número escalar. Si A es una matriz y k es un escalar, entonces kA es una matriz donde cada elemento kaij = k x aij​.

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Intercambiar dos filas o dos columnas de una matriz cambia el signo del determinante.det(B) = −det (A)si B se obtiene de A intercambiando dos filas o columnas.

1

Una matriz es cuadrada si tiene el mismo número de filas y columnas (n×n).

El producto de matrices es una operación más compleja y se define solo para matrices donde el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz. Si A es una matriz de dimensión m × n y B es una matriz de dimensión n×p, entonces el producto C=AB es una matriz de dimensión m×p, donde cada elemento cij se calcula como:Cij = ∑nk = 1aik bkj

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Una matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son 1.

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Si dos filas o dos columnas de una matriz son proporcionales, el determinante de la matriz es cero.det⁡(A)=0si dos filas o columnas son proporcionales.

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El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de las matrices individuales.det⁡(AB) = det⁡(A)⋅det⁡(B)

3

El determinante de una matriz triangular (superior o inferior) es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.det⁡ (A)= a11⋅a22⋅…⋅ann​

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Una matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero.

La matriz inversa es una matriz que, cuando se multiplica por la matriz original, da como resultado la matriz identidad. No todas las matrices tienen inversa. Una matriz A tiene una inversa A−1 si y solo si es cuadrada y su determinante no es cero.

5

Una matriz donde todos los elementos son cero.