Sesión 2

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Lic. Ingeniería en Sistemas y Tecnologías de la InformaciónSesión 2

Matemáticas para ingeniería

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 2

Bienvenidos a la sesión 2 de nuestra materia Matemáticas para ingeniería.

Para comprender con más detalle los conceptos generales de la asignatura Matemáticas para Ingeniería I (Álgebra) es necesario revisar los siguientes temas:2. Sistemas de ecuaciones lineales 2.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: métodos de eliminación y sustitución 2.2. Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales 2.3. Aplicaciones en la resolución de problemas de optimización en ingeniería de software

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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: métodos de eliminación y sustitución

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Son una herramienta fundamental en diversas áreas de las matemáticas aplicadas y la ciencia. Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales con dos o más variables. Estos sistemas pueden ser resueltos utilizando una variedad de métodos algebraicos y geométricos, y tienen aplicaciones en numerosos campos como la física, la ingeniería, la economía y la informática.

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, siendo los métodos de eliminación y sustitución los más básicos y fundamentales. Estos métodos permiten encontrar soluciones exactas y son la base para técnicas más avanzadas en álgebra lineal.

Donde:x1, x2, …, xn son las incógnitas a resolver.aij son los coeficientes constantes correspondientes a la variable xj en la i-ésima ecuación.bi son los términos independientes o constantes que se encuentran en el lado derecho de cada ecuación.m representa el número de ecuaciones en el sistema, y n es el número de incógnitas.

Un sistema de ecuaciones lineales se puede expresar de manera general como:

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Importancia de la Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales:

Matemática y Ciencia

Ingeniería

Economía

Computación y Ciencia de Datos

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Método de Eliminación Gaussiana:

El método de eliminación gaussiana, también conocido como eliminación de Gauss, es una técnica algorítmica utilizada para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Consiste en transformar el sistema original en un sistema equivalente más sencillo, de tal manera que se pueda resolver de forma directa. Este método utiliza operaciones elementales de fila para convertir la matriz de coeficientes del sistema en una matriz triangular superior.

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Se construye la matriz aumentada del sistema de ecuaciones lineales, que incluye los coeficientes de las variables y los términos constantes.

Se aplican operaciones elementales de fila (intercambio de filas, multiplicación de una fila por una constante no nula, y suma o resta de un múltiplo de una fila a otra fila) para transformar la matriz aumentada en una matriz triangular superior.

Una vez que la matriz aumentada está en forma triangular superior, se procede a resolver el sistema mediante sustitución hacia atrás, comenzando con la última ecuación y progresando hacia la primera.

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Formación de la Matriz Aumentada

Aplicación de Operaciones Elementales de Fila

Sustitución Hacia Atrás

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Método de Sustitución:

El método de sustitución es un procedimiento algebraico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este método implica resolver una de las ecuaciones para una de las variables y luego sustituir esta expresión en las otras ecuaciones.

Ventajas y Desventajas del Método de Sustitución Ventajas: Es sencillo y fácil de aplicar a sistemas pequeños. Permite una comprensión intuitiva de la solución del sistema. Desventajas: Puede volverse engorroso y complicado para sistemas grandes. No es tan eficiente como la eliminación gaussiana para sistemas con muchas ecuaciones y variables.

Interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales:

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Proporciona una perspectiva visual y conceptual que facilita la comprensión de las soluciones de estos sistemas. Esta interpretación se basa en representar las ecuaciones lineales en un sistema de coordenadas y analizar las intersecciones y relaciones entre las rectas, planos o hiperplanos que estas ecuaciones representan. Este enfoque no solo ayuda a entender la naturaleza de las soluciones, sino que también proporciona una forma intuitiva de visualizar y resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Una ecuación lineal en dos variables, como ax+by = c, puede representarse como una recta en el plano cartesiano. Cada solución de la ecuación corresponde a un punto en la recta. Por ejemplo, consideremos la ecuación 2x+3y=6. Para graficarla, podemos encontrar dos puntos que satisfacen la ecuación y dibujar la recta que pasa por ellos. Si x = 0, entonces 3y = 6, por lo que y = 2. El punto (0,2) está en la recta. Si y = 0, entonces 2x = 6, por lo que x = 3. El punto (3,0) está en la recta.Dibujando estos puntos en el plano cartesiano y conectándolos, obtenemos la gráfica de la recta 2x+3y=6.

Representación gráfica de Ecuaciones Lineales

Una ecuación lineal en tres variables, como ax + by + cz = d, representa un plano en el espacio tridimensional. Cada solución de la ecuación es un punto en el plano. Por ejemplo, la ecuación x+2y+3z=6 puede graficarse determinando puntos que satisfacen la ecuación y utilizando técnicas de visualización en tres dimensiones.

Ecuaciones Lineales en Tres Variables

Aplicaciones en la resolución de problemas de optimización en ingeniería de software:

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La ingeniería de software es una disciplina que se ocupa del diseño, desarrollo, mantenimiento y gestión de software. Uno de los desafíos más significativos en esta área es la optimización de los procesos y productos de software. La optimización en ingeniería de software implica mejorar la eficiencia, la calidad y el rendimiento del software mientras se minimizan los recursos y costos asociados. La resolución de problemas de optimización es crucial para lograr productos de software de alta calidad y competitivos en el mercado.Definición de Optimización en Ingeniería de Software:La optimización en ingeniería de software se refiere al proceso de mejorar diversos aspectos del software, como el tiempo de ejecución, el uso de memoria, la velocidad de respuesta y la escalabilidad. Esto puede involucrar la optimización del código fuente, la arquitectura del software, los algoritmos y las estructuras de datos utilizadas, así como la configuración del entorno de ejecución.

Mejorar la velocidad y la eficiencia del software para garantizar un tiempo de respuesta rápido y un procesamiento eficiente.

Rendimiento del Software

Minimizar el uso de recursos como memoria, CPU y ancho de banda para mejorar la eficiencia del software.

Uso de Recursos

Asegurar que el software pueda manejar un aumento en la carga de trabajo sin degradar el rendimiento.

Escalabilidad

Hacer que el software sea más fácil de mantener y actualizar mediante la simplificación del código y la mejora de su estructura

Mantenibilidad

Recursos bibliográficos

• Skorniakov, L. A. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Instituto Politécnico Nacional.

Consulta el tema 3. Método de solución de los sistemas de ecuaciones lineales.

Recuperado de: https://elibro.net/es/ereader/udibiblioteca/72649

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Recursos bibliográficos

• UNL. (2017). Sistemas de ecuaciones y desigualdades.

Recuperado de: https://www.unl.edu.ar/ingreso/cursos/matematica/wp-content/uploads/sites/7/2017/07/M%C3%B3dulo-5-Sistemas-de-ecuaciones.pdf

Consutla todo el documento.

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Daniel Carreón. (2020). Resolver sistemas de ecuaciones método de sustitución. [Video]. YouTube.

Recuperado de:https://www.youtube.com/watch?v=L0QuX9RpEoM

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Ingeniería

Los sistemas de ecuaciones lineales son utilizados para modelar y resolver problemas complejos que van desde la análisis de circuitos eléctricos hasta la mecánica estructural. Por ejemplo, en ingeniería civil, se utilizan para determinar las fuerzas y momentos en las estructuras. En ingeniería eléctrica, son fundamentales para el análisis de redes eléctricas y circuitos.

Computación y Ciencia de Datos

En informática y ciencia de datos, los sistemas de ecuaciones lineales son la base de muchos algoritmos de optimización y aprendizaje automático. Se utilizan en el diseño de algoritmos eficientes y en la resolución de problemas de minimización y maximización.

Matemática y Ciencia

En matemáticas puras y aplicadas, los sistemas de ecuaciones lineales son esenciales para resolver problemas que involucran varias variables interdependientes. Permiten encontrar la intersección de hiperplanos en un espacio multidimensional, proporcionando soluciones que son cruciales para el desarrollo teórico y práctico de múltiples disciplinas.

Economía

Y finanzas, los sistemas de ecuaciones lineales ayudan a modelar relaciones entre diferentes variables económicas. Pueden ser utilizados para prever comportamientos del mercado, analizar el impacto de políticas económicas y optimizar la asignación de recursos.