Sesión 1

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Lic. Ingeniería en Sistemas y Tecnologías de la InformaciónSesión 1

Matemáticas para ingeniería

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 1

Bienvenidos a la sesión 1 de nuestra materia Matemáticas para ingeniería.

Para comprender con más detalle los conceptos generales de la asignatura Matemáticas para Ingeniería I (Álgebra) es necesario revisar los siguientes temas:1. Fundamentos del Álgebra lineal 1.1. Conceptos básicos de vectores y espacios vectoriales 1.2. Operaciones vectoriales: suma, producto escalar y producto vectorial 1.3. Propiedad de los vectores en el espacio euclidiano 1.4. Aplicaciones en la representación y manipulación de datos en sistemas informáticos 1.5. Dependencia e independencia lineal

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Fundamentos del Álgebra lineal

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Es una rama fundamental de las matemáticas que se ocupa del estudio de vectores, espacios vectoriales, y las transformaciones lineales que los relacionan. En el contexto de la ingeniería, el álgebra lineal es esencial para modelar y resolver problemas que involucran múltiples variables y dimensiones.Este tema es la piedra angular para áreas avanzadas como el procesamiento de señales, el aprendizaje automático, la computación gráfica, y muchas otras disciplinas dentro de la ingeniería.

Los vectores y los espacios vectoriales son fundamentales en el estudio del álgebra lineal y tienen aplicaciones significativas en diversas áreas de la ciencia y la ingeniería. Comprender estos conceptos es esencial para abordar problemas complejos que involucran múltiples variables y dimensiones.Un vector es una entidad matemática que posee magnitud y dirección. A diferencia de un escalar, que solo tiene magnitud, un vector se representa típicamente como una lista ordenada de números, llamados componentes. En el espacio tridimensional, un vector se puede escribir como:

Conceptos básicos de vectores y espacios vectoriales:

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9

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Cierre bajo la suma

Cierre bajo la multiplicación escalar

Existencia del vector cero

Existencia de vectores inversos

Conmutatividad de la suma

Asociatividad de la suma

Espacios Vectoriales

Un espacio vectorial es una colección de vectores que se pueden agregar entre sí y multiplicar por escalares, cumpliendo ciertas propiedades. Formalmente, un espacio vectorial V sobre un campo F (como los números reales R o los complejos C) es un conjunto que tiene dos operaciones: suma de vectores y multiplicación por un escalar, y cumple con los siguientes axiomas:

Distribución escalar

Asociatividad de la multiplicación escalar

Existencia del escalar unidad

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Suma de Vectores

Operaciones vectoriales: suma, producto escalar y producto vectorial:

En el estudio del álgebra lineal, las operaciones vectoriales son fundamentales para comprender cómo interactúan y se manipulan los vectores. Las operaciones más básicas y esenciales son la suma de vectores, el producto escalar y el producto vectorial. Estas operaciones no solo tienen aplicaciones teóricas en matemáticas, sino también una amplia gama de aplicaciones prácticas en diversas disciplinas como la física, la ingeniería, la informática y muchas otras áreas.

Producto Escalar

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Operaciones vectoriales: suma, producto escalar y producto vectorial:

También conocido como producto cruzado, es una operación matemática fundamental en el álgebra vectorial. Se trata de una operación binaria que toma dos vectores en un espacio tridimensional y produce un tercer vector perpendicular a los dos vectores originales. Esta operación tiene numerosas aplicaciones en física, ingeniería y matemáticas, y su comprensión es crucial para resolver problemas que implican magnitudes vectoriales en el espacio tridimensional.

Definición del Producto VectorialDado dos vectores a y b en R3, el producto vectorial a × b se define como: a x b = ​ Aquí, i, j, y k son los vectores unitarios en las direcciones x, y, y z, respectivamente. El determinante de esta matriz da como resultado un vector que es perpendicular tanto a a como a b.

El producto vectorial es una herramienta clave en el álgebra lineal y la geometría vectorial. Se utiliza para encontrar normales a superficies, calcular áreas de paralelogramos en el espacio y resolver sistemas de ecuaciones vectoriales.

Propiedad de los vectores en el espacio euclidiano:

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Los vectores son fundamentales en el estudio de la matemática y la física, sirviendo como herramientas cruciales para describir magnitudes que poseen tanto dirección como magnitud. En el contexto del espacio euclidiano, los vectores no solo representan posiciones y desplazamientos, sino que también facilitan la resolución de problemas geométricos y físicos. Esta exploración profundiza en las propiedades de los vectores en el espacio euclidiano, destacando su definición formal, importancia, propiedades fundamentales y aplicaciones en diversas disciplinas.

Un vector en el espacio euclidiano Rn se define como un elemento que posee tanto magnitud como dirección. Formalmente, un vector v en Rn se representa como una tupla ordenada de n componentes reales:

Definición de Vectores en el Espacio Euclidiano

V = (v1, v2, …,vn)

Donde cada vi (para i = 1,2,…,n) es un número real. Por ejemplo, en el espacio tridimensional R3, un vector se denota como v = (v1, v2, v3).

Aplicaciones en la representación y manipulación de datos en sistemas informáticos:

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En la era de la información, la representación y manipulación de datos son fundamentales para el funcionamiento de los sistemas informáticos. Desde simples aplicaciones de software hasta complejas infraestructuras de datos a nivel empresarial, la capacidad de manejar datos de manera eficiente y efectiva es crucial.Importancia de la Representación y Manipulación de Datos: son esenciales por varias razones

En los negocios y la ciencia, la toma de decisiones basada en datos es crucial. La capacidad de representar datos de manera comprensible y analizarlos adecuadamente permite a las organizaciones tomar decisiones informadas y estratégicas..

Toma de Decisiones

La correcta manipulación de datos mejora la eficiencia operativa de los sistemas informáticos. Permite el procesamiento rápido y preciso de grandes volúmenes de datos, lo cual es fundamental para aplicaciones en tiempo real y sistemas críticos.

Eficiencia Operativa

La representación y manipulación de datos son fundamentales para la innovación en tecnologías emergentes como inteligencia artificial, aprendizaje automático y análisis de big data. Estas tecnologías dependen en gran medida de datos precisos y bien gestionados.

Innovación y Desarrollo

La representación estándar de datos asegura la interoperabilidad entre diferentes sistemas y plataformas. Facilita el intercambio de información y la integración de sistemas heterogéneos, lo cual es esencial en un mundo interconectado.

Interoperabilidad y Estándares

Dependencia e independencia lineal:

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Son conceptos fundamentales en el álgebra lineal que se utilizan para analizar la relación entre vectores en un espacio vectorial. Estos conceptos permiten determinar si un conjunto de vectores puede ser expresado como combinación lineal de otros, lo cual tiene implicaciones significativas en diversas áreas de las matemáticas y sus aplicaciones.

Un conjunto de vectores {v1,v2,...,vn} en un espacio vectorial V se dice que es linealmente dependiente si existe una combinación lineal de estos vectores que resulta en el vector cero, y no todos los coeficientes de la combinación lineal son cero. Formalmente, los vectores {v1,v2,...,vn} son linealmente dependientes si existen escalares c1,c2,...,cnnno todos cero, tales que:C1 ​v1 ​+ c2 ​v2 ​+...+ cn ​vn ​= 0 Si no existe tal combinación lineal, los vectores se dicen linealmente independientes.

Definición de Dependencia Lineal

Un conjunto de vectores {v1,v2,...,vn} en un espacio vectorial V se dice que es linealmente independiente si la única combinación lineal de estos vectores que resulta en el vector cero es aquella en la que todos los coeficientes son cero. Es decir, los vectores {v1,v2,...,vn} son linealmente independientes si:C1 v1 + c2 v2 +...+ cn vn = 0implica que c1 = c2 = ... = cn = 0

Definición de Independencia Lineal

Recursos bibliográficos

• Gutiérrez, I. (2012), Álgebra lineal. Editorial Universidad del Norte.

Consulta el Capítulo 2 Espacios vectoriales. Página 17-50.

Recuperado de: https://elibro.net/es/ereader/udibiblioteca/69865

Matemáticas para ingeniería. SESIÓN 1

Recursos bibliográficos

• Hernández, R. (s.f). Espacios y Subespacios vectoriales. Universidad Politécnica de Madrid.

Recuperado de: https://www.etsist.upm.es/uploaded/docs_personales/hernandez_heredero_rafael_jose/old/Algebra/ALApC3.pdf

Consutla todo el documento.

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Matemáticas con Grajeda. (2022). Breve introducción al estudio del Álgebra lineal. [Video]. YouTube.

Recuperado de:https://www.youtube.com/watch?v=73ECTT52TS8

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2

Si v ∈ V y c ∈ F, entonces cv ∈ V.

3

Existe un vector 0 ∈ V tal que v + 0 = v para todo v ∈ V.

4

Para cada v ∈ V, existe un –v ∈ V tal que v + (-v) =0.

6

u + (v + w) = (u + v) + w para todo u, v, w ∈ V.

1

Si u, v ∈ V, entonces u + v ∈ V.

5

u + v = v + u para todo u, v ∈ V.

9

1v = v para todo v ∈ V.

8

C (dv) = (cd) v para todo v ∈ V y c,d ∈ F.

7

c (u + v) = cu + cv y (c + d)v = cv + dv para todo u,v ∈ V y c,d ∈ F.

Conmutatividad: a + b = b + a Asociatividad: (a + b) + c = a + (b + c) Elemento Neutro: Existe un vector cero 0 tal que a + 0 = a para cualquier vector a. Inverso Aditivo: Para cada vector a, existe un vector –a tal que + (-a) = 0.

La suma de vectores, el producto escalar y el producto vectorial son tres operaciones clave que permiten manipular y comprender los vectores en distintos contextos. Estas operaciones no solo facilitan la resolución de problemas complejos, sino que también proporcionan una base sólida para el desarrollo de teorías más avanzadas.La suma de vectores es una operación que combina dos vectores para producir un tercer vector. Matemáticamente, si aa y bb son dos vectores en un espacio vectorial, su suma se denota como a + b.Propiedades de la Suma de Vectores:

a . b = |a||b| cos 0donde |a| y |b| son las magnitudes de los vectores a y b, y 0 es el ángulo entre ellos.

El producto escalar (o producto punto) de dos vectores a y b es una operación que resulta en un número (escalar). Se denota como a ⋅ b y se define como:a ⋅ b = ∑ ni = 1 ai bi Propiedades del Producto Escalar Conmutatividad: a . b = b . a Distributividad: (b + c) = a. b + a. c Asociatividad con un Escalar: (ka) . B = k(a . B)Interpretación GeométricaEl producto escalar también puede interpretarse geométricamente como: