MAPA MENTAL. CALCULO DIFERENCIAL

Instituto Politécnico Nacional Unidad Profesional Interdisciplinaria de Ingeniería campus Palenque.

ingenieria civilPrimer Semestre 1CM01 Cálculo Diferencial e Integral.

Tarea No.1 Elaborar un resumen de la sección 2.1Álgebra, trigonometría y geometría. Dennis G. Zill, 3ª. Edición.

Agustin Lara Peñate

Palenque, chiapas.07 de septiembre de 2024.

Lorem ipsum dolor sit

Lorem ipsum dolor sit

El sistema de los números reales

2.1

Introducción

La teoría de conjuntos permite describir de manera muy precisa grupos de números que tienen una propiedad común, lo que resulta muy útil para plantear las soluciones de ciertos tipos de problemas.En esta sección de repaso nos centraremos en el conjunto de los números reales.

Un conjunto es una colección de objetos distintos. Cada objeto de un conjunto se llama elemento. En general, un conjunto se designa con una letra mayúscula, como A o B, y un elemento con una letra minúscula, como x. Para indicar que x es elemento del conjunto A escribimos x [ A. Un conjunto puede especificarse de dos formas: se enumeran los elementos del conjunto o se expresa una propiedad que los determina. En cada caso se usan llaves

Terminología de conjuntos

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que pertenecen por lo menos a uno de los conjuntos, A o B. En notación de conjuntos, escribimos

A U B={xIx∈ A o x∈B}

La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos A y B y se escribe:

A∩B={x|x ∈ A y x∈ B

Si A y B no tienen elementos comunes, es decir, si A y B 5 [, se dice que los conjuntos son disjuntos o ajenos.

si A= {1,2,3,4,5},B={1,3,5},C={2,4,6}, tenemos que B⊂A, por que los numeros 1,3 y 5 son elementos de A. ademas,

A U C= {1,2,3,4,5,6}

A ∩ C= {2,4},

B ∩ C= Ø

LOS ELEMENTOS B Y C NO TIENEN ELEMENTOS COMUNES

°NUMEROS. Recordemos que el conjunto de los numeros naturales o enteros positivos consta de

N= {1,2,3,4,...}-

El conjunto N es un subconjunto del conjunto de los enteros: Z ={...,-3, -2. -1,0,1,2,3,...}.

Los tres puntos (…) que aparecen en los conjuntos N y Z se llaman elipsis e indican que los elementos siguen indefinidamente el mismo patrón que el que siguen los elementos dados.

El conjunto Z incluye tanto los enteros positivos como los negativos y el número cero, el cual no es negativo ni positivo. A su vez, el conjunto de enteros Z es un subconjunto del conjunto de los números racionales

Q= {p/p|p y q son numeros enteros q ≠ 0}

El conjunto Q está compuesto por todos los números que son cocientes de dos enteros, siempre que el denominador sea diferente de cero; por ejemplo,

-1/2 ,17/5 ,10-2=-5, 22/7, 36/4,=9, 0/8=0

Se dice que el cociente p/q es indefinido si q=0. Por ejemplo, 8/0 y 0/0 son indefinidos. El conjunto de números racionales no es suficiente para resolver ciertos problemas elementales algebraicos y geométricos. Por ejemplo, no hay un número racional p/q para el que

(p/q)² =2

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetuer adipiscing elit, sed diam nonummy nibh euismod tincidunt ut laoreet dolore magna aliquam erat volutpat.

El sistema de los números reales

Todo número real puede expresarse en forma decimal. Por ejemplo

1/4 = 0.25 ,25/7 = 3.5714285714287/3 = 2.3333π = 3.14159265 ....

Se dice que números como 0.25 y 1.6 son decimales finitos, en tanto que números como

1.323232... y 3.571428571428

SE REPITE

se llaman decimales periódicos o recurrentes. Un decimal periódico como 1.323232… con frecuencia se escribe 1.32, donde la barra indica el número o números que se repiten. Puede demostrarse que cada número racional posee una representación decimal periódica o finita. Y viceversa, todo decimal periódico o finito es un número racional. Así, los dos números en (2) son racionales. También es un hecho básico que todo número decimal es un número real. Tenemos entonces que el conjunto de los números irracionales se compone de todos los decimales que no son finitos ni periódicos. Así, p y !2 tienen representaciones decimales no periódicas y no finitas.

Los fraccionarios o decimales algunas veces se expresan como porcentajes; por ejemplo, 8% quiere decir 8/100 o 0.08

. En general, b% significa “b partes de 100”, y es simplemente otra forma de escribir b/100

Un modo sencillo de convertir un número decimal en porcentaje es multiplicar el decimal por 1 escrito en forma de 100%. Por ejemplo,

0.35=0.35x1= 0.35 x 100%= 35%

De igual manera, 0.001 5 0.001 3 100% 5 0.1%

Los porcentajes se utilizan con frecuencia para describir los incrementos o reducciones en cantidades como población, salarios y precios. Cuando una cantidad aumenta, el porcentaje de incremento se da por

cantidad de aumento

cantidad original

x100%

De igual forma, cuando una cantidad disminuye, el porcentaje de decrecimiento está dado por

cantidad de crecimiento

cantidad original

x100%

Sistema de los números reales El conjunto de números reales R junto con las operaciones de adición y multiplicación se llama sistema de los números reales. Las reglas básicas del álgebra para este sistema permiten expresar hechos matemáticos en formas simples y concisas, y resolver ecuaciones para dar respuestas a preguntas matemáticas. Las propiedades básicas del sistema de los números reales respecto de las operaciones de adición (simbolizada con 1) y multiplicación (simbolizada con los signos ? o 3) se presentan en el cuadro siguiente, donde a, b y c representan números reales.

En la propiedad 4i), el número 0 se denomina identidad aditiva del sistema de los números reales; en la propiedad 4ii), el número 1 se conoce como identidad multiplicativa del mismo sistema. En la propiedad 5i), el número 2a es el inverso aditivo o el negativo del número a. Todo número real tiene un inverso aditivo, pero en la propiedad 5ii), todo número a que no es cero tiene un inverso multiplicativo 1/a, con a 2 0. El inverso multiplicativo del número a diferente de cero también se conoce como el recíproco de a.

La propiedad distributiva de los números reales combina las dos operaciones de adición y multiplicación. El producto a · b de dos números reales a y b se escribe por lo general sin el punto de multiplicación, es decir, se escribe ab.

a(b + c + d)=ab + ac + ad(a + b + c + d) e =ae + be + ce + de